微積分在不等式中應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-07-17 06:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 微積分 微積分定義概念微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。①設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的一個(gè)常數(shù)，是的高階無(wú)窮小，則稱在點(diǎn)處可微。叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即②設(shè)函數(shù)在上有解，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，并作出和如果不論對(duì)怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，和總趨于確定的極限， 這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分， 記作即 微積分的發(fā)展史從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。從17世紀(jì)開(kāi)始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開(kāi)始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門(mén)學(xué)科。十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。隨著時(shí)代的發(fā)展微積分在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了很重要的發(fā)展十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門(mén)學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。 牛頓在1671年寫(xiě)了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書(shū)直到1736年才出版，它在這本書(shū)里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。 德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一篇說(shuō)理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)，才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)來(lái)。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開(kāi)始，進(jìn)而達(dá)到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)具有相對(duì)性，受到時(shí)代的局限。隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí)、不全面到比較全面地發(fā)展，人類對(duì)自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn)。 本章小結(jié)微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣，這和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣。微積分是證明許多定理與公式的工具，特別是在不等式中具有更重要的意義?！?3 微積分在不等式中的應(yīng)用 利用微分中值定理證明不等式 微分中值定理（拉格朗日中值定理）定理 若函數(shù)滿足如下條件：（ⅰ）在閉區(qū)間上連續(xù)，（ⅱ） 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 注：這里沒(méi)有給出的確切位置，而對(duì)于不等式而言，這時(shí)的關(guān)鍵是選擇及區(qū)間.拉格朗日中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，雖然它的結(jié)論形式似乎是一條等式，但是由于，因此將有一個(gè)取值范圍，于是就可將等式轉(zhuǎn)化為不等式。 微分中值定理在不等式中的應(yīng)用一般地，若所要證明的函數(shù)不等式或數(shù)值不等式含有增量或者可以生成增量（或增量的商），則可考慮借助于拉格朗日中值定理證明，證明的關(guān)鍵是函數(shù)和區(qū)間的選??；證明區(qū)間上的不等式，特別是含有兩個(gè)不等號(hào)時(shí)，可考慮利用拉格朗日中值定理。例1：證明：當(dāng)x0，證明證明：設(shè),區(qū)間為 顯然，在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件則有
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