高三數(shù)學(xué)排列組合及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-12-16 00:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ”問題，可分別用相應(yīng)方法． 【自主解答】 (1) 從 7 個(gè)人中選 5 個(gè)人來排列，有 A57 ＝ 7 6 5 4 3 ＝ 2 520 種． (2) 分兩步完成，先選 3 人排在前排，有 A37種方法，余下 4 人排在后排，有 A44 種方法，故共有 A37 A44 ＝ 5 040 種．事實(shí)上，本小題即為 7 人排成一排的全排列，無任何限制條件． (3)( 優(yōu)先法 ) 方法一 ： 甲為特殊元素 ． 先排甲，有 5 種方法；其余 6 人有 A66 種方法，故共有 5 A66＝ 3 600 種 ． 方法二： 排頭與排尾為特殊位置 ． 排頭與排尾從非甲的 6 個(gè)人中選 2 個(gè)排列，有 A26 種方法，中間 5 個(gè)位置由余下 4 人和甲進(jìn)行全排列有 A55 種方法，共有 A26 A55 ＝ 3 600 種 ． (4)( 捆綁法 ) 將女生看成一個(gè)整體，與 3 名男生在一起進(jìn)行全排列，有 A44種方法，再將4 名女生進(jìn)行全排列，也有 A44種方法，故共有 A44 A44＝ 576 種 ． (5)( 插空法 ) 男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有 A44種方法，再在女生之間及首尾空出的 5 個(gè)空位中任選 3 個(gè)空位排男 生，有 A35種方法，故共有 A44 A35＝ 1 440 種 ． (6) 把甲、乙及中間 3 人看作一個(gè)整體，第一步先排甲、乙兩人有 A22 種方法，再從剩下的 5 人中選 3 人排到中間，有 A35 種方法，最后把甲、乙及中間 3 人看作一個(gè)整體，與剩余 2 人全排列，有 A33 種方法， 故共有 A22 A35 A33 ＝ 720 種 ． ? 求排列應(yīng)用題的主要方法有： ? (1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算． ? (2)特殊元素 (或位置 )優(yōu)先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置． ? (3)排列、組合混合問題先選后排的方法． ? (4)相鄰問題捆綁處理的方法．即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列． ? (5)不相鄰問題插空處理的方法．即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中． ? (6)分排問題直排處理的方法． ? (7)“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法． ? (8)定序問題除法處理的方法．即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列． ? (9)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法． ? 1．由四個(gè)不同數(shù)字， 1,2,4， x組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)． ? (1)若 x＝ 5，其中能被 5整除的共有多少個(gè)？ ? (2)若 x＝ 9，其中能被 3整除的共有多少個(gè)？ ? (3)若 x＝ 0，其中的偶數(shù)共有多少個(gè)？ ? (4)若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之總和是 252，求 x. 【解析】 (1)5 必在個(gè)位，所以能被 5 整除的三位數(shù)共 有 A23＝ 6 個(gè) ． (2) ∵ 各位數(shù)字之和被 3 整除時(shí)，該數(shù)能被 3整除， ∴ 這種三位數(shù)只能由 2 , 4 , 9 或 1 , 2 , 9 排列組成， ∴ 共有 2A33＝ 12 個(gè) ． (3) 偶數(shù)數(shù)字有 3 個(gè)，個(gè)位數(shù)必是一個(gè)偶數(shù)，同時(shí) 0 不能在百位，可分兩類考慮： ① 0 在個(gè)位時(shí)，有 A23＝ 6 個(gè)， ② 個(gè)位是 2 或 4 的，有 A12A12A12＝ 8 個(gè)， ∴ 這種偶數(shù)共有 6 ＋ 8 ＝ 14 個(gè) ． (4) 顯然 x ≠ 0 ， ∵ 1,2,4 ， x 在各個(gè)數(shù)位上出現(xiàn)的次數(shù)都相同，且各自出現(xiàn) A14 A23 次， ∴這樣的數(shù)字和是 (1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ x ) A13 A23 ，即 (1＋ 2 ＋ 4 ＋ x ) A13 A23 ＝ 252 ， ∴ 7 ＋ x ＝ 14 ， x ＝ 7. 組合應(yīng)用題 7 名男生 5 名女生中選取 5 人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？ (1) A ， B 必須當(dāng)選； (2) A ， B 必不當(dāng)選； (3) A ， B 不全當(dāng)選； (4) 至少有 2 名女生當(dāng)選； ? (5)選取 3名男生和 2名女生分別擔(dān)任班長、體育委員等 5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長必須由女生擔(dān)任． ? 【 思路點(diǎn)撥 】 (1)(2)屬于組合問題，可用直接法； (3)(4)屬于組合問題可用間接法； (5)屬于先選后排問題應(yīng)分步完成． 【解析】 (1) 由于 A ， B 必須當(dāng)選，那么從剩下的 10 人中選取 3 人即可， ∴ 有 C310＝ 120 種 ． (2) 從除去 A ， B 兩人的 10 人中選
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