排列組合題型大全(編輯修改稿)
2024-09-03 11:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 個(gè)位置，只要從中選取 m 個(gè)放 0 即可． ∴ f ( m ， n ) ＝ Cmm ＋ n . 答案： C mm ＋ n 點(diǎn)評： ① 例如 f ( 3,4) ＝ C37 其中 00101 1 1 表示從原點(diǎn)出發(fā)后，沿右右上右上上上的路徑爬行． ② 抽象建模后就是一個(gè)含相同數(shù)字的純粹排列組合問題． [ 例 10] 方程 x ＋ y ＋ z ＝ 8 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 ________ ． 解析： 把 x 、 y 、 z 分別看作是 x 個(gè) 1 ， y 個(gè) 1 和 z 個(gè) 1 ，則共有 8 個(gè) 1 ，問題抽象為 8 個(gè) 1 和兩個(gè)十號的一個(gè)排列問題．由于 x 、 y 、 z 非負(fù)，故允許十號相鄰， 如 11 ＋＋ 111111表示 x ＝ 2 ， y ＝ 0 ， z ＝ 6 ，＋ 11111111 ＋表示 x ＝ 0 ， y ＝ 8 ， z＝ 0 等等， ∴ 不同排法總數(shù)為從 10 個(gè)位置中選取 2 個(gè)放十號， ∴ 方程的非負(fù)整數(shù)解共有 C210＝ 45 個(gè)． 答案： 45 [ 例 1 1] 一條街道上共有 12 盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，決定每天晚上十點(diǎn)熄滅其中的 4 盞，并且不能熄滅相鄰兩盞也不能熄滅兩頭兩盞，問不同熄燈方法有多少種． 解析： 記熄滅的燈為 0 ，亮燈為 1 ，則問題是 4 個(gè) 0和 8 個(gè) 1 的一個(gè)排列，并且要求 0 不相鄰，且不排在兩端，故先將 1 排好，在 8 個(gè) 1 形成的 7 個(gè)空中，選取 4 個(gè)插入0 ，共有方法數(shù) C47 ＝ 35 種． 點(diǎn)評： 實(shí)際解題中，先找出符合題設(shè)條件的一種情形，然后選取一種替代方案，注意是否相鄰、相間等受限條件，然后確定有無順序是排列還是組合，再去求解． [ 例 1 2] 如圖，從上往下讀 ( 不能跳讀 ) 構(gòu)成句子 “ 構(gòu)建和諧社會，創(chuàng)美好未來 ” 的不同讀法種數(shù)是 ( ) 構(gòu) 建 建 和 和 和 諧 諧 諧 諧 社 社 社 社 社 會 會 會 會 會 會 創(chuàng) 創(chuàng) 創(chuàng) 創(chuàng) 創(chuàng) 美 美 美 美 好 好 好 未 未 來 A． 250 B． 240 C． 252 D． 300 解析： 要組成題設(shè)中的句子，則每行讀一字，不能跳讀．每一種讀法須 10 步完成 ( 從上一個(gè)字到下一個(gè)字為一步 ) ，其中 5 步是從左上角到右下角方向讀的，故共有不同讀法 C510 ＝ 252 種． 答案： C 四、枚舉法 [ 例 13] 如果直線 a 與 b 異面，則稱 a 與 b 為一對異面直線，六棱錐的側(cè)棱與底邊共 12 條棱所在的直線中，異面直線共有 ________ 對． 解析： 六棱錐的側(cè)棱都相交 ， 底面六條邊所在直線都共面 ， 故異面直線只可能是側(cè)棱與底面上的邊 ． 考察 PA與底面六條邊所在直線可用枚舉法列出所有異面直線 (PA， BC)， (PA， CD)，(PA， DE)， (PA， EF)共四對 ． 同理與共它側(cè)棱異面的底邊也各有 4條 ， 故共有 4 6＝24對 ． 答案： 24 [ 例 1] 若直線方程 ax ＋ by ＝ 0 中的 a 、 b 可以從 0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線一共有 ________ 條． 分類加法計(jì)數(shù)原理 解析： 分兩類：第一類， a 、 b 均不為零， a 、 b 的取值共有 A24 ＝ 12 種方法． 第二類： a 、 b 中有一個(gè)為 0 ，則不同的直線僅有兩條 x ＝ 0 和 y ＝ 0. ∴ 共有不同直線 14 條． 答案： 14 ( 20 10 湖南考試院調(diào)研 ) 從 5 位男生， 4 位女生中選派4 位代表參加一項(xiàng)活動，其中至少有兩位男生，且至少有1 位女生的選法共有 ( ) A ． 80 種 B ． 100 種 C ． 120 種 D ． 240 種 解析： 分兩類，第一類是 2 男 2 女，有 C25 C24 種方法，第二類是 3 男 1 女，有 C35 C14 種方法， ∴ 共有 C25 C24 ＋C35 C14 ＝ 100 種方法． 答案： B 分步乘法計(jì)數(shù)原理 [ 例 2] 如圖所示，用五種不同的顏色分別給 A 、 B 、 C 、D 四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有 ( ) A ． 180 種 B ． 120 種 C ． 96 種 D ． 60 種 解析： 按區(qū)域分四步：第一步 A區(qū)域有 5種顏色可選； 第二步 B區(qū)域有 4種顏色可選； 第三步 C區(qū)域有 3種顏色可選； 第四步 D區(qū)域也有 3種顏色可選 ． 由分步計(jì)數(shù)原理 ， 共有 5 4 3 3＝ 180(種 )． 答案： A 點(diǎn)評： 課標(biāo)要求掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決問題，這就要求我們不僅要準(zhǔn)確地理解兩個(gè)基本原理，更要能靈活地運(yùn)用兩個(gè)原理分析和解決問題，運(yùn)用兩個(gè)原理解題的關(guān)鍵在于正確區(qū)分 “ 類 ” 與 “ 步 ” ． (2022山東日照?？?)某校園有一橢圓型花壇 ， 分成如圖四塊種花 ， 現(xiàn)有 4種不同顏色的花可供選擇 ， 要求每塊地只能種一種顏色 ， 且有公共邊界的兩塊不能種同一種顏色 ，則不同的種植方法共有 ( ) A． 48種 B． 36種 C． 30種
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