排列組合題型大全-展示頁(yè)
2025-08-16 11:23本頁(yè)面
【正文】 解析： 要組成題設(shè)中的句子，則每行讀一字，不能跳讀．每一種讀法須 10 步完成 ( 從上一個(gè)字到下一個(gè)字為一步 ) ，其中 5 步是從左上角到右下角方向讀的，故共有不同讀法 C510 ＝ 252 種． 答案： C 四、枚舉法 [ 例 13] 如果直線 a 與 b 異面，則稱 a 與 b 為一對(duì)異面直線，六棱錐的側(cè)棱與底邊共 12 條棱所在的直線中，異面直線共有 ________ 對(duì)． 解析： 六棱錐的側(cè)棱都相交 ， 底面六條邊所在直線都共面 ， 故異面直線只可能是側(cè)棱與底面上的邊 ． 考察 PA與底面六條邊所在直線可用枚舉法列出所有異面直線 (PA， BC)， (PA， CD)，(PA， DE)， (PA， EF)共四對(duì) ． 同理與共它側(cè)棱異面的底邊也各有 4條 ， 故共有 4 6＝24對(duì) ． 答案： 24 [ 例 1] 若直線方程 ax ＋ by ＝ 0 中的 a 、 b 可以從 0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線一共有 ________ 條． 分類加法計(jì)數(shù)原理 解析： 分兩類：第一類， a 、 b 均不為零， a 、 b 的取值共有 A24 ＝ 12 種方法． 第二類： a 、 b 中有一個(gè)為 0 ，則不同的直線僅有兩條 x ＝ 0 和 y ＝ 0. ∴ 共有不同直線 14 條． 答案： 14 ( 20 10 A34 ＝ 144 種不同的放法． 答案： 144 ( 7) 部分符合條件淘汰法．在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求． [ 例 7] 過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共 15 條，其中異面直線有 ( ) A ． 18 對(duì) B ． 24 對(duì) C ． 30 對(duì) D ． 36 對(duì) 解析： 三棱柱共 6 個(gè)頂點(diǎn)，由此 6 個(gè)頂點(diǎn)可組成 C46 －3 ＝ 12 個(gè)不同四面體，而每個(gè)四面體有三對(duì)異面直線則共有 12 3 ＝ 36 對(duì)． 答案： D ( 8) 數(shù)字問(wèn)題要弄清可否重復(fù)及首位不能為 0 [ 例 8] 用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 ( ) A ． 324 B ． 328 C ． 360 D ． 648 解析： 利用分類計(jì)數(shù)原理，共分兩類： ( 1) 0 作個(gè)位，共 A27 ＝ 72 個(gè)偶數(shù)； ( 2) 0 不作個(gè)位，共 A14 C26 種選法，含 2 名女生有 C22 山東理 ) 某臺(tái)小型晚會(huì)由 6 個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方 案共有 ( ) A． 36種 B． 42種 C． 48種 D． 54種 分析： 丙占最后一位不必考慮 ． “ 甲在前兩位 ， 乙不在第一位 ” ， 故應(yīng)以甲為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類 ． 解析： 若甲在第一位有 A 44 ＝ 24 種方法；若甲在第二位有 C 13 A 33 ＝ 18 種方法，故共有 18 ＋ 24 ＝ 42 種方法． 答案： B ( 5) 至多、至少間接法．含 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 的排列組合問(wèn)題，是需要分類問(wèn)題．可用間接法，即排除法，但僅適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況． [ 例 5] ( 201 1A23 ＝ 24 種． 答案： 24 ( 3) 定序問(wèn)題屬組合．排列時(shí)，如果限定某些元素或所有元素保持一定順序稱為定序問(wèn)題，定序的元素屬組合問(wèn)題． [ 例 3] 6 個(gè)人排一隊(duì)參觀某項(xiàng)目，其中甲、乙、丙三人進(jìn)入展廳的次序必須是先乙，再甲，最后丙，則不同的列隊(duì)方式有 ________ 種． 解析： 解法 1 ：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只須從 6 個(gè)位置中選取 3 個(gè)排上其余 3 人，有 A36種排法，剩下的三個(gè)位置排甲、乙、丙三人，只有一種排法， ∴ 共有 A36＝ 120 種． 解法 2 ：先選取 3 個(gè)位置排甲、乙、丙三人有 C36種方法，剩下 3 個(gè)位置站其 余 3 人，有 A33種方法， ∴ 共有 C36 湘潭期末 ) 2022 年上海世博會(huì)某國(guó)將展出 5 件藝術(shù)作品，其中不同書(shū)法作品 2 件、不同繪畫作品2 件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì) 1 件，在展臺(tái)上將這 5 件作品排成一排，要求 2 件書(shū)法作品必須相鄰， 2 件繪畫作品不能相鄰，則該國(guó)展出這 5 件作品不同的方案有 ______ _ _ 種． ( 用數(shù)字作答 ) 解析： 將兩件書(shū)法作品排在一塊看作 “ 一件 ” 作品與標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)一塊排好，有 A22 ? n － m ＋ 1 ?m ！ ＝n ！m ！ ? n － m ? ！. 規(guī)定： C0n＝ 1. ( 2) Cmn＝ Cn － mn； Cmn ＋ 1＝ Cmn＋ Cm － 1n. 誤區(qū)警示 1 ．正確區(qū)分 “ 分類 ” 與 “ 分步 ” ，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，使分類后不重、不漏． 2 ．正確區(qū)分是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，要把 “ 定序 ”和 “ 有序 ” 區(qū)分開(kāi)來(lái)． 3 ．正確區(qū)分分堆問(wèn)題和分配問(wèn)題 一、 “ 分類 ” 與 “ 分步 ”
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