排列組合解決常見策略(編輯修改稿)
2025-09-11 22:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ；以某些元素不能相鄰為附加條件的 ,可采用“ 插空法 ” 。 “ 插空 ” 有同時(shí)“ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ” ,并要注意條件的限定 . 回目錄 定序問題倍縮、空位、插入策略 基本方法 (三 ) 定序問題 定序問題倍縮、空位、插入策略 例： 7人排隊(duì) ,其中甲乙丙 3人順序一定共有多 少不同的排法 解 : (倍縮法 )對于某幾個元素順序一定的排列 問題 ,可先把這幾個元素與其他元素一起 進(jìn)行排列 ,然后用總排列數(shù)除以 這幾個元 素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù) 是： 7733AA（ 空位法 ）設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有 種方法，其余的三個 位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法 47A1 47A思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ? （ 插入法 )先排甲乙丙三個人 ,共有 1種排法 ,再 把其余 4四人 依次 插入共有 方法 4*5*6*7 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插 空模型處理 練習(xí)題 10人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5人 ,要 求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 510C練習(xí)： 期中安排考試科目 9門 ,語文要在數(shù)學(xué)之前考 ,有多少種不同的安排順序 ? 9921A結(jié)論 對等法 :在有些題目中 ,它的限制條件的肯定與否定是對等的 ,各占全體的二分之一 .在求解中只要求出全體 ,就可以得到所求 . 基本方法 (四 ) 分房問題 又名：住店法， 重排問題求冪策略 例： 七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ） A. B. C D. 分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得 n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作 7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作 5名“客”，每個“客”有 7種住宿法，由乘法原理得 種。 注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是 呢？ 5757 75 57A 57C75用分步計(jì)數(shù)原理看， 5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。 回目錄 允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究 對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排 各個元素的位置，一般地 n不同的元素沒有限 制地安排在 m個位置上的排列數(shù)為 種 n m 某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人 ,他們 到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 （ ） 87練習(xí)題 回目錄 基本方法 (五 ) 環(huán)排問題和 多排問題 環(huán)排問題線排策略 例 1. 5人圍桌而坐 ,共有多少種坐法 ? 解： 圍桌而坐與 坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人 A并從 此位置把圓形展成直線其余 4人共有 ____ 種排法即 44AA B C E D D A A B C E （ 51)！ 一般地 ,n個不同元素作圓形排列 ,共有 (n1)!種排法 .如果從 n個不同元素中取出 m個元素作圓形排列共有 1 mnm A練習(xí)題 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？ 60 多排問題直排策略 例 ,每排 4人 ,其中甲乙在 前排 ,丁在后排 ,共有多少排法 解 :8人排前后兩排 ,相當(dāng)于 8人坐 8把椅子 ,可以 把椅子排成一排 . 先在前 4個位置排甲乙兩 個特殊元素有 ____種 ,再排后 4個位置上的 特殊元素有 _____種 ,其余的 5人在 5個位置 上任意排列有 ____種 ,則共有 _________種 . 前排 后排 24A14A55A24A 55A14A一般地 ,元素分成多排的排列問題 ,可歸結(jié)為一排考慮 ,再分段研究 . 回目錄 有兩排座位，前排 11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3個座位不能坐，并且這 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 ______ 346 練習(xí)題 基本方法 (六 ) 小集團(tuán)問題 小集團(tuán)問題先整體局部策略 例：計(jì)劃展出 10幅不同的畫 ,其中 1幅水彩畫 ,４ 幅油畫 ,５幅國畫 , 排成一行陳列 ,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩 端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 _______ 2 5 42 5 4A A A練習(xí)： 5男生和５女生站成一排照像 ,男生相 鄰 ,女生也相鄰的排法有 _______種 2 5 52 5 5A A A 基本方法 (七 ) 元素相同問題隔板策略 ： 相同元素的名額分配問題。 ： 相同的元素分成若干部分，每部分至少一個。 元素相同問題隔板策略 例 .有 10個運(yùn)動員名額，分給 7個班，每 班至少一個 ,有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?10個名額沒有差別，把它們排成 一排。相鄰名額之間形成９個空隙。 在９個空檔中選６個位置插個隔板， 可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個 班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法
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