【文章內(nèi)容簡介】 o s A ， c o s A ＝b2＋ c2－ a22 bc； ( 2 ) b2＝ c2＋ a2－ 2 ca c o s B ， c o s B ＝c2＋ a2－ b22 ca； ( 3 ) c2＝ a2＋ b2－ 2 ab c o s C ， c o s C ＝a2＋ b2－ c22 ab. 第 7講 │ 主干知識整合 3 ．面積公式： ( 1 ) S ＝12a h a ( h a 表示 a 邊上的高 ) ； ( 2 ) S ＝12ab s i n C ＝12ac s i n B ＝12bc s i n A ＝a b c4 R( 其中 R 表示 △ ABC外接圓的半徑 ) ； ( 3 ) S ＝12r ( a ＋ b ＋ c )( 其中 r 表示 △ A B C 內(nèi)切圓的半徑 ) ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 三角函數(shù)的求值 例 1 ( 1 ) 求值：c o s 4 0 176。 ＋ s i n 5 0 176。 ? 1 ＋ 3 t a n 1 0 176。 ?s i n 7 0 176。 1 ＋ c o s 4 0 176。； 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) 原式＝c o s 4 0 176。 ＋ s i n 5 0 176。 c o s 1 0 176。 ＋ 3 s i n 1 0 176。c o s 1 0 176。s i n 7 0 176。 2 c o s 2 0 176。 ＝c o s 4 0 176。 ＋ s i n 5 0 176。 2 c o s ? 60176。 － 10176。 ?c o s 1 0 176。s i n 7 0 176。 2 c o s 2 0 176。 ＝c o s 4 0 176。 ＋s i n 1 0 0 176。c o s 1 0 176。s i n 7 0 176。 2 c o s 2 0 176。＝c o s 4 0 176。 ＋ 1s i n 7 0 176。 2 c o s 2 0 176。 ＝2 c o s22 0 176。2 c o s22 0 176。＝ 2 . 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) 已知 α ∈π2， π ，且 s i nα2＋ c o sα2＝62. ① 求角 α 的值； ② 若 s i n ( α － β ) ＝－35， β ∈π2， π ，求 c o s β 的值． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 2 ) ① 由題意得 1 ＋ s i n α ＝32， ∴ s i n α ＝12， 又 α ∈π2， π ，所以 α ＝5π6； ② 由 ① 得 s i n α ＝12， c o s α ＝－32， 因?yàn)?α ∈π2， π ， β ∈π2， π ， 所以－π2 α － β π2， 又 s i n ( α － β ) ＝－35，所以 c o s ( α － β ) ＝45， 從而 c o s β ＝ c o s [ α － ( α － β )] ＝ c o s α c o s ( α － β ) ＋ s i n α s i n ( α － β ) ＝－3245＋12 －35＝－4 3 ＋ 310. 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評】 ( 1 ) 是給角求值的題型，要統(tǒng)一角和函數(shù)名稱，從切化弦入手，具體的化簡過程不唯一； ( 2 ) 是給值求角和給值求值的題型，給值求角一是要求出角的某種三角函數(shù)值，二是要確定角的范圍，從而確定角的大??；給值求值要注意已知式與要求式之間的聯(lián)系． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 三角函數(shù)的化簡與證明 例 2 化簡：sinπ4＋ α ? cos2α － sin2α ?cosπ4＋ α cos2π4－ α. 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 s i nπ4＋ α ? c o s2α － s i n2α ?c o sπ4＋ α c o s2π4－ α ＝c o sπ4－ α c o s 2 αs i nπ4－ α c o s2π4－ α＝c o s 2 αs i nπ4－ α c o sπ4－ α ＝c o s 2 α12s i nπ2－ 2 α＝2 c o s 2 αc o s 2 α＝ 2. 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評】 三角恒等式的化簡實(shí)質(zhì)就是 “ 統(tǒng)一 ” ， 能找到統(tǒng)一角的途徑也就找準(zhǔn)了解題的切入點(diǎn) ， 注意到π4＋ α ＋π4－ α ＝π2，利用誘導(dǎo)公式就可以實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一 ． 而三角恒等式的證明就是知道結(jié)果的化簡 ， 就有了明確的化簡方向 ( 目標(biāo) ) ， 證明就是 “ 去異求同 ” 的過程 ， 如下變式題 ． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 若 α ∈3π2 ， 2π ，求證：12 －1212 ＋12 c o s 2 α ＝s i nα2 . 【解答】 ∵ α ∈3π2， 2π ， ∴α2∈3π4， π ， 且 cos α 0 ， ∴ 左邊 ＝12－12cos2α ＝12－12cos α ＝ sin2α2＝ sinα2＝ 右邊 ， ∴等式成立 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 正余弦定理的應(yīng)用 例 3 在 △ A B C 中，內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ，c ，已知 c ＝ 2 ， C ＝π3. ( 1 ) 若 △ A B C 的面積等于 3 ，求 a ， b ； ( 2 ) 若 m ＝ ( s i n C ＋ s i n ( B － A ) ， 2) ， n ＝ ( s i n 2 A, 1) ，若 m 與n 共線，求 △ ABC 的面積． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 ( 1) 根據(jù)已知條件和余弦定理可得關(guān)于 a ， b的一個(gè)方程，再根據(jù)三角形面積得關(guān)于 a ， b 的一個(gè)方程，即可求出 a ， b ； ( 2) 根據(jù) m 與 n 共線可得關(guān)于角 A ， B 的三角函數(shù)的方程，通過這個(gè)方程可以尋找角 A ， B 的三角函數(shù)的關(guān)系，求出角或者根據(jù)這個(gè)關(guān)系找到邊的 關(guān)系． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) 由余弦定理及已知條件得 a2＋ b2－ ab ＝ 4 ，12ab s i n C ＝ 3 ， 即 ab ＝ 4. 聯(lián)立方程組????? a2＋ b2－ ab ＝ 4 ，ab ＝ 4 ，解得 a ＝ 2 ， b ＝ 2. ( 2 ) ∵ m 與 n 共線 ， ∴ s i n C ＋ s i n ( B － A ) － 2 s i n 2 A ＝ 0 ， s i n ( A ＋ B ) － s i n ( A － B ) ＝ 4 s i n A c o s A ， 即 s i n B c o s A ＝ 2 s i n A c o s A . 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (i) 當(dāng) c o s A ＝ 0 時(shí)， A ＝π2， B ＝π6， a ＝4 33， b ＝2 33. S ＝12ab s i n C ＝2 33； (ii) 當(dāng) c o s A ≠ 0 時(shí)，得 s i n B ＝ 2 s i n A ，由正弦定理得 b ＝ 2 a ， 聯(lián)立方程????? a2＋ b2－ ab ＝ 4 ，b ＝ 2 a . 解得 a ＝2 33， b ＝4 33. S ＝12ab s i n C ＝2 33. 綜上知 △ A B C 的面積為2 33. 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評】 本題應(yīng)用的主要是方程思想 ． 本題的已知條件給出的是三角形邊角之間的方程 ， 通過把邊角之間的相互轉(zhuǎn)換達(dá)到解題的目的 ． 當(dāng)已知三角形的內(nèi)角的和差的三角函數(shù)時(shí) ， 在對這些三角函數(shù)式進(jìn)行變換時(shí)要注意到三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 ． 三角形內(nèi)角和定理是解任何三角形都離不開的定理 ， 這個(gè)定理雖然人人皆知 ， 但在解題中往往就忽視了這個(gè)定理的應(yīng)用 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)四 解三角形與實(shí)際應(yīng)用 例 4 新華社北京 2 0 1 0 年 8 月 29 日電 ( 記者陳萬軍 ) ，記者從國防部新聞事務(wù)局獲悉，中國人民解放軍海軍北海艦隊(duì)將于 9 月 1 日至 4 日在青島東南我日常訓(xùn)練海區(qū)組織實(shí)兵演練．這是根據(jù)年度計(jì)劃舉行的例行性訓(xùn)練，主要課目是艦炮射擊．在演練中，位于 C ， D 兩處相距 6 k m 兩艘炮艦，要對目標(biāo) A ， B 實(shí)施協(xié)同打擊，為此需要確定炮艦 C ， D 到目標(biāo)的距離和兩目標(biāo) A ， B 之間的距離，在兩艘炮艦上可以測得 ∠ A C B ＝ 7 5 176。 ， ∠ B C D ＝ 4 5 176。 ， ∠ ADC ＝ 3 0 176。 ， ∠ ADB ＝ 4 5 176。 ( 如圖 2 － 7 － 1 所示， A ， B ， C ， D 在同一平面內(nèi) ) ． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1 ) 求炮艦 C ， D 到兩目標(biāo)的距離； ( 2 ) 兩目標(biāo)之間的距離． ( 計(jì)算結(jié)果保留精確值 ) 圖 2 － 7 － 1 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) 如圖，在 △ ACD 中， ∵∠ ACD ＝ ∠ A C B ＋ ∠ BCD ＝ 7 5 176。 ＋ 4 5 176。 ＝ 1 2 0 176。 ， ∠ ADC ＝ 3 0 176。 ， ∴∠ CAD ＝ 3 0 176。 ， ∴ AC ＝ CD ＝ 6. 由 余 弦 定 理 知 AD ＝ AC2＋ CD2－ 2 AC CD c o s 1 2 0 176。 ＝36 ＋ 36 － 2 6 6 ??????－12＝ 6 3 . 在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ 1 8 0 176。 － ∠ B C D － ∠ CDB ＝ 1 8 0 176。 － 4 5 176。 － ( 3 0 176。 ＋4 5 176。 ) ＝ 6 0 176。 . 由正弦定理知B Ds i n ∠ B C D＝BCs i n ∠ B D C＝CDs i n ∠ C B D， ∴ BD ＝CD s i n ∠ BCDs i n ∠ C B D＝6 2232＝ 2 6 ， 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 BC ＝CD s i n ∠ B D Cs i n ∠ C B D＝6 s i n 7 5 176。s i n 6 0 176。， ∵ s i n 7 5 176。 ＝ s i n ( 4 5 176。 ＋ 3 0 176。 ) ＝6 ＋ 24， ∴ BC ＝66 ＋ 2432＝ 3 2 ＋ 6 . 所以，炮艦 C 到目標(biāo) A ， B 的距離分別是 6 k m 和 (3 2 ＋ 6 ) k m ；炮艦 D 到目標(biāo) A ， B 的距離分別是 6 3 k m 和 2 6 k m . ( 2 ) 在 △ A B D 中，由余弦定理知 AB ＝ AD2＋ BD2－ 2 AD BD c o s 4 5 176。 ＝ 1 0 8 ＋ 24 － 2 6 3 2 6 22＝ 2 15 ， 即兩目標(biāo)之間的距離是 2 15 k m . 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評】 不可直接到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離測量是解三角形的實(shí)際應(yīng)用之一，在這類測量問題中必須知道一個(gè)距離，然后再測量觀測點(diǎn)和目標(biāo)之間的各種角度，然后再根據(jù)各個(gè)三角形，分析所要測量的距離所在的三角形的求解所需要的量，這些量可以借助于其他的三角形求解，這就是解決測量問題的基本思想．如本題中為了求解 AB ，只要在 △ A C D ， △ B C D 中根據(jù)正弦定理求出 AD ， BD ，然后在△