【文章內(nèi)容簡介】 此時(shí)點(diǎn) N 在線段 BC 上，所以 FM ＝214. 【點(diǎn)評】 處理平面圖形的折疊或翻折問題要注意分析折疊前后各幾何元素的變 化情況，弄清折疊后空間圖形各元素之間的 關(guān)系，還要作出折前的平面圖與折后直觀圖，從而結(jié)合圖形尋找突破． 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如圖 4 － 12 － 4 ( 1) ，直角梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， ∠ ABC ＝ 90176。 ， E ， F 分別為邊 AD 和 BC 上的點(diǎn)，且EF ∥ AB ， AD ＝ 2 AE ＝ 2 AB ＝ 4 FC ＝ 4. 將四邊形 EFCD 沿EF 折起成如圖 4 － 12 － 4 ( 2) 的位置，使 AD ＝ AE . ( 1) 求證： BC ∥ 平面 D A E ； ( 2) 求四棱錐 D － AEFB 的體積； ( 3) 求平面 CBD 與平面 D A E 所成銳二面角的余弦值． 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1) 證明： CF ∥ DE ， FB ∥ AE ， BF ∩ CF ＝ F ， AE ∩ DE ＝ E ， ∴ 平面 CBF ∥ 面 D A E ，又 ∵ BC ? 平面 CBF ， ∴ BC ∥ 平面 D A E . ( 2) 取 AE 的中點(diǎn) H ，連接 DH . ∵ EF ⊥ ED ， EF ⊥ EA ， ∴ EF ⊥ 平面 D A E ， 又 DH ? 平面 D A E ， ∴ EF ⊥ DH . ∵ AE ＝ ED ＝ DA ＝ 2 ， ∴ DH ⊥ AE ， DH ＝ 3 ， ∴ DH ⊥ 平面 AEFB . 所以四棱錐 D － AEFB 的體積 V ＝13 3 2 2 ＝4 33. 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 3) 如圖以 AE 中點(diǎn)為原點(diǎn)， AE 為 x 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 A ( － 1,0,0) ， D ( 0,0 ， 3 ) ， B ( － 1 ，－ 2,0) ， E ( 1,0,0 ) ，所以 DE 的中點(diǎn)坐標(biāo)為????????12， 0 ，32， 因?yàn)?CF→＝12DE→，所以 C????????12，－ 2 ，32. 易知 BA→是平面 A DE 的一個(gè)法向量， BA→＝ n1＝ ( 0,2,0 ) ． 設(shè)平面 BCD 的一個(gè)法向量為 n2＝ ( x ， y ， z ) ， 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 由????? n2 BC→＝ ? x ， y ， z ? ????????32， 0 ，32＝32x ＋32z ＝ 0 ，n2 BD→＝ ? x ， y ， z ? ? 1 ， 2 ， 3 ? ＝ x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 0 ， 令 x ＝ 2 ，則 y ＝ 2 ， z ＝－ 2 3 ， ∴ n2＝ ( 2,2 ，－ 2 3 ) ， c os 〈 n1， n2〉＝2 0 ＋ 2 2 － 2 3 02 2 5＝55， 所以平面 CBD 與平面 D A E 所成銳二面角的余弦值為55. 教師備用習(xí)題 第 12講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2010 北京卷 ] 如圖，正方形 ABCD 和四邊形 ACEF所在的平面互相垂直． EF ∥ AC ， AB ＝ 2 ， CE ＝ EF ＝ 1 ( 1) 求證： AF ∥ 平面 B D E ； ( 2) 求證： CF ⊥ 平面 B D E ； 第 12講 │ 教師備用習(xí)題 證明： ( 1) 設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) G . 連接 EG ，在正方形ABCD 中， ∵ AB ＝ 2 ，所以 AC ＝ 2 ， 又因?yàn)?EF ∥ AG ，且 EF ＝ 1 ， AG ＝12AC ＝ 1 ， ∴ EF ＝ AG ， ∴ 四邊形 A G E F 為平行四邊形， ∴ AF ∥ EG ， ∵ EG ? 平面 B D E ， AF ? 平面 B D E ， ∴ AF ∥ 平面 B D E . 第 12講 │ 教師備用習(xí)題 ( 2) 連接 FG .因?yàn)?EF ∥ CG ， EF ＝ CG ＝ 1 ，且 CE ＝ 1 ，所以平行四邊形 CEFG 為菱形． 所以 CF ⊥ EG . 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為正方形，所以 BD ⊥ AC . 又因?yàn)槠矫?ACEF ⊥ 平面 ABCD ， 且平面 ACEF ∩ 平面 ABCD ＝ AC ， 所以 BD ⊥ 平面 ACEF . 所以 CF ⊥ BD . 又BD ∩ EG ＝ G ， 所以 CF ⊥ 平面 B D E . 第 12講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． 如圖，已知 AB ⊥ 平面 ACD ， DE ∥ AB ， △ A C D是正三角形， AD ＝ DE ＝ 2 AB ，且 F 是 CD 的中點(diǎn)． ( 1) 求證： AF ∥ 平面 BCE ； ( 2) 求證：平面 BCE ⊥ 平面 C DE . 第 12講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 ( 1 ) 證明 ： 取 CE 的中點(diǎn) G ， 連接 BG ， FG ∴ F 為 CD 的中點(diǎn) ， ∴ FG ＝12DE ， 又 AB ＝12DE ， ∴ AB ＝ FG 故四邊形 A B G F 為平行四邊形 ， ∴ AF ∥ BG . 又 ∵ BG ? 平面 BCE ， ∴ AF ∥ 平面 BCE . ( 2 ) F 為正 △ ACD 的邊 CD 的中點(diǎn) ， ∴ AF ⊥ CD 又 ∵ AB ⊥ 平面 ACD ， ∴ AB ⊥ AF ， 又 ∵ AB ∥ DE ， ∴DE ⊥ AF ， ∴ AF ⊥ 平面 CED ， 又 ∵ BG ∥ AF ， ∴ BG ⊥ 平面 C E D . 而 BG ? 平面 BCE ， ∴ 平面 BCE ⊥ 平面 C D E . 規(guī)律技巧提煉 第 12講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．線線平行、線面平行和面面平行這三種平行關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化，平行關(guān)系的應(yīng)用實(shí)質(zhì)上是實(shí)現(xiàn)一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化過程中，要合理準(zhǔn)確地運(yùn)用定理．類似地，我們可得到垂直關(guān)系相應(yīng)的處理策略． 2 ．平面圖形的翻折問題是將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為立體幾何問題，要注意轉(zhuǎn)化過程中，各幾何元素及幾何量是否發(fā)生了變化，要注意兩種圖形的聯(lián)系． 第 13講 │ 空間向量與立體幾何 第 13講 空間向量與立體幾何 主干知識整合 第 13講 │ 主干知識整合 一、利用空間向量證明空間位置關(guān)系 首先對直線與平面分別選擇其方向向量和法向量來定位，再將線、面的平行問題、垂直問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的平行與垂直問題． 二、利用空間向量求空間角 1 ．異面直線成角 異面直線成角問題是通過轉(zhuǎn)化為它們的方向向量的夾角來解決的．但要注意，異面直線成角的范圍是 （ 0 ，π2] ，而兩向量的夾角范圍是 [0 ， π] ，異面直線方向向量的夾角 第 13講 │ 主干知識整合 有可能是其補(bǔ)角，因此，求出后要注意檢驗(yàn)．也可直接取絕對值處理．即若兩異面直線 m ， n 的方向向量分別是a ， b ，它們所成的角為 θ ，則有 c os θ ＝ | c os 〈 a ， b 〉 |＝| a b || a | | b |. 2 ．直線與平面所成的角 直線與平面所成的角要轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角來解決．但要注意的是這個(gè)夾角的余弦值的絕對值與直線與平面所成的角的正弦值相等．如圖所示，設(shè)直線 PA 與平面 α 所成的角是 θ ，平面 α 的法向量為 n ，則有 s in θ ＝ | c os 〈 PA→， n 〉 |＝| PA→ n || PA→| | n |. 第 13講 │ 主干知識整合 3 ．二面角 利用向量求二面角的大小，有兩種方法：一種是轉(zhuǎn)化為與二面角棱垂直且分別在兩個(gè)面內(nèi)的兩個(gè)向量的夾角問題．即： 如圖 4 － 13 － 2 所示，在二面角 α － l － β 中， AB ， CD分別在平面 α ， β 中，且分別垂直于棱 l ，則此二面角的大小 θ 的余弦值為： c os θ ＝ c os 〈 BA→， DC→〉． 注意兩個(gè)向量的起點(diǎn)都要在棱上． 另一種是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量 的夾角問題．但都要注意二面角的范圍 是 [0 ， π] ，求出后也要檢驗(yàn)． 第 13講 │ 主干知識整合 如圖 4 － 13 － 3 所示二面角 α － l － β 兩個(gè)面的法向量分別是 m ， n ，設(shè)二面角 α － l － β 的大小為 θ ，則有 | c o s θ |＝ | c os 〈 m ， n 〉 |，通?？上扰袛喽娼堑姆秶僮魈幚?，或利用法向量的指向來做判斷． 圖 4 － 13 － 3 第 13講 │ 主干知識整合 三、空間距離的求法 空間距離往往通過轉(zhuǎn)化為空間向量的模，或通過計(jì)算向量的夾角來構(gòu)造直角三角形求解．空間中線與面、面與面之間的距離往往要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來求，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)．其求法是： 用法向量可求點(diǎn)到平面的距離，如圖 4 － 13 － 4 所示，設(shè) n 是平面 α 的法向量， AB 是平面 α 的一條斜線，其中 A ∈ α ，則 點(diǎn) B 到平面 α 的距離為| AB→ n || n |.( 實(shí) 質(zhì)是 AB→ 在法向量 n 方向上的投影 的絕對值 ) 特別說明，上面公式不必死 記， 只要結(jié)合圖形，利用直角三 角形邊 角關(guān)系可得 BC ＝ AB | c os 〈 AB→， n 〉 |. 從而得上面的公式． 圖 4－ 13－ 4 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 利用空間向量證明空間位置關(guān)系 第 13講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 1 在如圖 4 － 13 － 5 所示的多面體中，已知正方形ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直， EC ⊥ AC ，EF ∥ AC ， AB ＝ 2 ， EF ＝ EC ＝ 1 ， ( 1) 求證：平面 BEF ⊥ 平面 D E F ； ( 2) 若 M 、 N 、 P 分別為 AC 、 EB 、 FB 的中點(diǎn)， Q 為 MN 上一 點(diǎn)，且 PQ→＝12( PM→＋ PN→) ，求證： PQ ∥ 平面 D E F . 圖 4－ 13－ 5 【解答】 ( 1) ∵ 平面 ACEF ⊥ 平面 ABCD ， EC ⊥ AC ， ∴ EC ⊥ 平面 ABCD ； 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C － xy z ， A ( 2 ， 2 ， 0) ， B (0 ， 2 ， 0) ， D ( 2 ， 0,0) ， E ( 0,0,1) ， F????????22，22， 1 ， ∴ EF→＝????????22，22， 0 ， BE→＝ (0 ，－ 2 ， 1) ， DE→＝ ( － 2 ， 0,1) ，設(shè)平面 BEF 、平面 DE F 的法向量分別為 m ＝ ( x1， y1,1) ， n ＝ ( x2， y2,1) ，則 m EF→＝22x1＋22y1＝ 0 ① m BE→＝－ 2 y1＋ 1 ＝ 0 ② n EF→＝22x2＋22y2＝ 0 ③ n DE→＝－ 2 x2＋ 1 ＝ 0 ④ 第 13講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 由 ①②③④ 解得 x1＝－22， y1＝22； x2＝22， y2＝－22， ∴ m ＝??????－22，22， 1 ， n ＝??????22，－22， 1 ， ∴ m n ＝－12－12＋ 1 ＝ 0 ， ∴ m ⊥ n ， 故平面 BEF ⊥ 平面 DE F . ( 2 ) 因 PQ→＝12( PM→＋ PN→) ，則 Q 為 MN 的中點(diǎn)，因 M??????22，22， 0 ，N