【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0176。 2 c os 20176。＝2c os220176。2 c os220176。＝ 2 . 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) ① 由題意得 1 ＋ s in α ＝32， ∴ s in α ＝12，又 α ∈ （π2， π ） ，所以 α ＝5π6； ② 由 ① 得 s in α ＝12， c os α ＝－32， 因?yàn)?α ∈ （π2， π ） ， β ∈ （π2， π ） ，所以－π2 α － β π2， 又 s in ( α － β ) ＝－35，所以 c os ( α － β ) ＝45， 從而 c os β ＝ c os [ α － ( α － β )] ＝ c os α c os ( α － β ) ＋ s in α s in ( α － β ) ＝－3245＋12 －35＝－4 3 ＋ 310. 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 ( 1 ) 是給角求值的題型 ， 要統(tǒng)一角和函數(shù)名稱(chēng) ， 從切化弦入手 ， 具體的化簡(jiǎn)過(guò)程不唯一 ； ( 2 ) 是給值求角和給值求值的題型 ， 給值求角一是要求出角的某種三角函數(shù)值 ， 二是要確定角的范圍 ， 從而確定角的大小 ； 給值求值要注意已知式與要求式之間的聯(lián)系 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明 例 2化簡(jiǎn)： 【 解答 】 原式 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 三角恒等式的化簡(jiǎn)實(shí)質(zhì)就是 “ 統(tǒng)一 ” ，能找到統(tǒng)一角的途徑也就找準(zhǔn)了解題的切入點(diǎn)，注意到 （π4＋ α ） ＋ （π4－ α ） ＝π2，利用誘導(dǎo)公式就可以實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一．而三角恒等式的證明就是知道結(jié)果的化簡(jiǎn)，就有了明確的化簡(jiǎn)方向 ( 目標(biāo) ) ，證明就是“ 去異求同 ” 的過(guò)程，如下變式題． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 若 α ∈3π2， 2π ， 求證 ：12－1212＋12c os 2 α ＝ s inα2. 【解答】 ∵ α ∈ （3π2， 2π ） ， ∴α2∈ （3π4， π ） ，且 c os α 0 ， ∴ 左邊＝12－12c os2α ＝12－12c os α ＝ s in2α2＝ s inα2＝右邊， ∴ 等式成立． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 正余弦定理的應(yīng)用 例 3 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分別為內(nèi)角 A ， B ，C 的對(duì)邊，且 2 a s in A ＝ (2 b ＋ c ) s in B ＋ (2 c ＋ b ) s in C . ( 1) 求 A 的大小； ( 2) 求 s in B ＋ s in C 的最大值． 【解析】 ( 1) 由已知，根據(jù)正弦定理得 2 a2＝ (2 b ＋ c ) b ＋ (2 c ＋ b ) c ，即 a2＝ b2＋ c2＋ bc ， 由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c os A ， 故 c os A ＝－12， A ＝ 120176。 . 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) 由 ( 1) 得： s in B ＋ s in C ＝ s in B ＋ s in ( 60 176。 － B ) ＝32c os B ＋12s in B ＝ s in ( 60 176。 ＋ B ) ． 故當(dāng) B ＝ 30176。 時(shí)， s in B ＋ s in C 取得最大值 1. 【點(diǎn)評(píng)】 解三角形要把已知條件統(tǒng)一化簡(jiǎn)到角( 或邊 ) ， 本題就是利用正弦定理統(tǒng)一到邊 ， 再用余弦定理求角 ， 其中 ( 2 ) 中的最值是一個(gè)難點(diǎn) ， 注意到式子中包含兩個(gè)角 ， 這時(shí)一般要考慮消去一個(gè)角 ， 這樣就實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)四 解三角形與實(shí)際應(yīng)用 例 4 某廣告公司為 2010 年上海世博會(huì)設(shè)計(jì)了一種霓虹燈，樣式如圖 2 － 7 － 1 所示中實(shí)線(xiàn)部分所示．其上部分是以 AB 為直徑的半圓，點(diǎn) O 為圓心，下部分是以 AB 為斜邊的等腰直角三角形， DE ， DF 是兩根支桿，其中 AB ＝ 2 米， ∠ E O A ＝∠ F O B ＝ 2 x （ 0 x π4） . 現(xiàn)在弧 EF 、線(xiàn)段 DE 與 DF 線(xiàn)段上裝彩燈，在弧 AE 、弧 BF 、線(xiàn)段 AD 與 BD 線(xiàn)段上裝節(jié)能燈．若每種燈的 “ 心悅效果 ” 均與相應(yīng)的線(xiàn)段或弧的長(zhǎng)度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為 2 k ，節(jié)能燈的比例系數(shù)為 k ( k 0) ，假定該霓虹燈整體的 “ 心悅效果 ” y 是所有燈 “ 心悅效果 ” 的和． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1) 試將 y 表示為 x 的函數(shù)； ( 2) 試確定當(dāng) x 取何值時(shí)，該霓虹燈整體的 “ 心悅效果 ” 最佳？ 圖 2 － 7 － 1 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1) 因?yàn)?∠ E O A ＝ ∠ F O B ＝ 2 x ，所以弧 EF 、AE 、 BF 的長(zhǎng)分別為 π － 4 x, 2 x, 2 x . 連接 OD ，則由 OD ＝ OE ＝ OF ＝ 1 ， ∠ F O D ＝ ∠ E O D ＝2 x ＋π2， 所以由余弦定理得 DE ＝ DF ＝ 1 ＋ 1 － 2c os 2 x ＋π2＝2 ＋ 2s in 2 x ＝ 2 ( s in x ＋ c os x ) ， 所以 y ＝ 2 k [(2 2 ( s in x ＋ c os x ) ＋ π － 4 x ] ＋ k (2 2 ＋ 4 x ) ＝ 2 k [ ( 2 2 ( s in x ＋ c os x ) － 2 x ＋ 2 ＋ π] ． 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【 點(diǎn)評(píng) 】 本題是解三角形的實(shí)際應(yīng)用題，題目的背景新穎，構(gòu)思巧妙．解決本題一是要把握將文字?jǐn)⑹龊蛨D形結(jié)合起來(lái)讀懂，才能正確列出函數(shù)關(guān)系式；二是這個(gè)最值要用導(dǎo)數(shù)來(lái)處理，就很容易． ( 2) 因?yàn)橛?y ′ ＝ 4 k [( 2 ( c os x － s in x ) － 1] ＝ 0 ， 解得 c os x ＋π4＝12，即 x ＝π12. 又當(dāng) x ∈ （ 0 ，π12） 時(shí)， y ′ 0 ，所以此時(shí) y 在 （ 0 ，π12） 上單調(diào)遞增； 當(dāng) x ∈ （π12，π4） 時(shí)， y ′ 0 ，所以此時(shí) y 在 （π12，π4） 上單調(diào)遞減． 故當(dāng) x ＝π12時(shí)，該霓虹燈整體的 “ 心悅效果 ” 最佳． 教師備用習(xí)題 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2009 天津卷 ] 在 △ ABC 中， BC ＝ 5 ，AC ＝ 3 ， s in C ＝ 2s in A . ( 1) 求 AB 的值． ( 2) 求 s in 2 A －π4的值． 【解答】 ( 1) 在 △ ABC 中，根據(jù)正弦定理，ABs in C＝BCs in A， 于是 AB ＝ s in CBCs in A＝ 2 BC ＝ 2 5 . 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 ( 2) 在 △ ABC 中，根據(jù)余弦定理，得 c os A ＝AB2＋ AC2－ BC22 AB AC＝2 55， 于是 s in A ＝ 1 － c os2A ＝55， 從而 s in 2 A ＝ 2s in A c os A ＝45， c os 2 A ＝ c os2A － s in2A ＝35， s in 2 A －π4＝ s in 2 A c osπ4－ c os 2 A s inπ4＝210. 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． [ 2010 安徽理數(shù) ] 設(shè) △ ABC 是銳角三角形， a ， b ， c 分別是內(nèi)角 A ， B ， C 所對(duì)邊長(zhǎng)，并且 s in2A ＝ s in （π3＋ B ） s in （π3－ B ） ＋ s in2B . ( 1) 求角 A 的值； ( 2) 若 AB→ AC→＝ 12 ， a ＝ 2 7 ，求 b ， c ( 其中b c ) ． 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 ( 1 ) s in2A ＝ s in （π3＋ B ） s in （π3－ B ） ＋ s in2B ＝－14s in2B ＋34c os2B ＋ s in2B ＝34c os2B ＋34s in2B ， 得 s in2A ＝34， 又 A 是銳角三角形 △ ABC 的內(nèi)角，所以 A ＝π3. ( 2) 由 AB→ AC→＝ 12 得 bc c osπ3＝ 12 ，即 bc ＝ 24 ， 又 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c osπ3＝ b2＋ c2－ 24 ，即 b2＋ c2＝ 52 ， 所以 ( b ＋ c )2＝ 100 ， b ＋ c ＝ 10 ，因此 b ， c 是方程 x2－ 10 x ＋ 24 ＝ 0 的兩個(gè)根， 又 b c ，所以 b ＝ 4 ， c ＝ 6. 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 3 ． 已知向量 m ＝ s in （ A ，12） 與 n ＝ (3 ， s in A ＋ 3c os A ) 共線(xiàn)，其中 A 是 △ ABC 的內(nèi)角． ( 1) 求角 A 的大??； ( 2) 若 BC ＝ 2 ，求 △ ABC 面積 S 的最大值，并判斷 S 取得最大值時(shí) △ ABC 的形狀． 【解答】 ( 1) 因?yàn)?m ∥ n ，所以 s in A ( s in A ＋ 3 c os A ) －32＝ 0. 所以1 － c os 2 A2＋32s in 2 A －32＝ 0 ， 即32s in 2 A －12c os 2 A ＝ 1 ，即 s in （ 2 A －π6） ＝ 1. 因?yàn)?A ∈ (0 ， π) ，所以 2 A －π6∈ （ －π6，1 1π6） . 故 2 A －π6＝π2， A ＝π3. 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 ( 2) 由余弦定理，得 4 ＝ b2＋ c2－ bc . 又 S △AB C＝12bc s in A ＝34bc ， 而 b2＋ c2≥ 2 bc ? bc ＋ 4 ≥ 2 bc ? bc ≤ 4 ， ( 當(dāng)且僅當(dāng) b ＝ c 時(shí)等號(hào)成立 ) 所以 S △ABC＝12bc s in A ＝34bc ≤34 4 ＝ 3 . 當(dāng) △ ABC 的面積取最大值時(shí)， b ＝ c . 又 A ＝π3， 故此時(shí) △ ABC 為等邊三角形． 規(guī)律技巧提煉 第 7講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．三角函數(shù)恒等變換一般遵循：從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析，再利用三角公式使異角化同角，異名化同名，高次化低次等，體現(xiàn)統(tǒng)一的思想． 2 ．三角函數(shù)恒等變換的基本策略： ( 1) 常值代換：特別是 “1” 的代換， 1 ＝ s in2θ ＋ c os2θ ＝ t an 45 176。 等； ( 2) 項(xiàng)的分拆與角的配湊： 如 s in2α ＋ 2c os2α ＝ ( s in2α ＋ c os2α ) ＋ c os2α ； α ＝ ( α － β ) ＋ β ， β ＝α ＋ β2－α － β2等； 第 7講 │ 規(guī)律技巧提煉 ( 3) 降次與升次： 正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ( 4) 弦、切互化：一般是切化弦； ( 5) 公式的變形應(yīng)用：如 s in α ＝ c os α t an α ， s in2α ＝1 － c os 2 α2， c os2α ＝1 ＋ c os 2 α2， t an α