【正文】 in x c os x ) ＋ ( 2c os2x － 1) ＝ 3 s in 2 x ＋ c os 2 x ＝ 2s in 2 x ＋π6， 所以函數(shù) f ( x ) 的最小正周期為 π ， 因為 f ( x ) ＝ 2s in 2 x ＋π6在區(qū)間 [ 0 ，π6] 上為增函數(shù)，在區(qū)間[π6，π2] 上為減函數(shù)，又 f ( 0) ＝ 1 ， f (π6) ＝ 2 ， f??????π2＝－ 1 ，所以函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ 0 ，π2] 上的最大值為 2 ，最小值為－ 1. 第 6講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 f ( x ＋ φ ) ＝ s in ( 2 x ＋ 2 φ ＋π6) ，且為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的定義可知 f ( － x ＋ φ ) ＝ f ( x ＋ φ ) ，即 2 s in ( － 2 x ＋ 2 φ ＋π6) ＝2 s in ( 2 x ＋ 2 φ ＋π6) ，整理得 2 s in 2 x c o s ( 2 φ ＋π6) ＝ 0 ，所以 c o s ( 2 φ ＋π6) ＝ 0 , 2 φ ＋π6＝ k π ＋π2，又 | φ |π2，所以 k ＝－ 1 ， φ ＝－π3，或 k ＝0 ， φ ＝π6. 【點評】 解決本題注意三點： ( 1 ) 三角函數(shù)式的化簡， ( 2 ) 弄清函數(shù)在 0 ，π2上的單調(diào)性， ( 3 ) 本題也可直接用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化：因函數(shù) f ( x ＋ φ ) ＝ 2 s in 2 x ＋ 2 φ ＋π6為偶函數(shù)，則必有 2 φ ＋π6＝ k π ＋π2， ( k ∈ Z) ；若條件變?yōu)?“ 函數(shù) f ( x ＋ φ ) ＝ 2 s in 2 x ＋ 2 φ ＋π6為奇函數(shù) ” ，則 2 φ ＋π6＝ k π ， ( k ∈ Z) ． 教師備用習(xí)題 第 6講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2010 四川卷 ] 將函數(shù) y ＝ s in x 的圖象上所有的點向右平行移動π10個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍 ( 縱坐標(biāo)不變 ) ，所得圖象的函數(shù)解析式是 ( ) A ． y ＝ s in ( 2 x －π10) B ． y ＝ s in ( 2 x －π5) C ． y ＝ s in (12x －π10) D ． y ＝ s in (12x －π20) 第 6講 │ 教師備用習(xí)題 C 【解析】 將函數(shù) y ＝ s in x 的圖象上所有的點向右平行移動π10個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為y ＝ s in ( x －π10) ；再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍 ( 縱坐標(biāo)不變 ) ，所得圖象的函數(shù)解析式是 y ＝ s in (12x －π10) . 第 6講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． [ 2010 廣東卷 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( 3 x ＋ φ ) ( A 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ )) ， 0 φ π 在 x ＝π12時取得最 大值 4. ( 1) 求 f ( x ) 的最小正周期； ( 2) 求 f ( x ) 的解析式； ( 3) 若 f (23α ＋π12) ＝125，求 s i n α . 第 6講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 ( 1) T ＝2π3； ( 2) 由 f ( x ) 的最大值是 4 知， A ＝ 4 ， f ( x )m a x＝ f (π12) ＝ 4s in ( 3 π12＋ φ ) ＝ 4 ，即 s in (π4＋ φ ) ＝ 1 ， ∵ 0 φ π ， ∴π4π4＋ φ 5π4. ∴π4＋ φ ＝π2， ∴ φ ＝π4， ∴ f ( x ) ＝ 4s in 3 x ＋π4； ( 3) f (23α ＋π12) ＝ 4s in [ 3 (23α ＋π12) ＋π4] ＝125， 即 s in [ 3 (23α ＋π12) ＋π4] ＝35． S in ( 2 α ＋π2) ＝35， c os 2 α ＝35， 1 － 2s in2α ＝35， s in2α ＝15， s in α ＝ 177。55. 第 6講 │ 教師備用習(xí)題 3 ． 若函數(shù) f ( x ) ＝ s in2ax － 3 s in c os ax ( a 0) 的圖象與直線 y ＝ m 相切，相鄰切點之間的距離為π2. ( 1) 求 m 的值； ( 2) 若點 A ( x 0 ， y 0 ) 是 y ＝ f ( x ) 圖象的對稱中心，且 x 0 ∈［ 0 ，π2］ ，求點 A 的坐標(biāo)． 【解答】 ( 1) f ( x ) ＝ s in2ax － 3 s in ax c os ax ＝1 － c os 2 ax2－32s in 2 ax ＝－ s in ( 2 ax ＋π6) ＋12， 由題意知， m 為 f ( x ) 的最大值或最小值， 所以 m ＝－12或 m ＝32. 第 6講 │ 教師備用習(xí)題 ( 2) 由題設(shè)知函數(shù) f ( x ) 的周期為π2， ∴ a ＝ 2 ， ∴ f ( x ) ＝－ s in ( 4 x ＋π6) ＋12， 令 s in ( 4 x ＋π6) ＝ 0 ， 4 x ＋π6＝ k π( k ∈ Z) ， ∴ x ＝k π4－π24( k ∈ Z) ， 由 0 ≤k π4－π24≤π2( k ∈ Z) ，得 k ＝ 1 或 k ＝ 2. 因此點 A 的坐標(biāo)為 (5π24，12) 或 (1 1π24，12) . 規(guī)律技巧提煉 第 6講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．五點法是作圖的基礎(chǔ)，五點的橫坐標(biāo)由 ωx ＋ φ 分別取 0 ，π2，π ，3π2， 2π 來確定；由 y ＝ A s in ( ωx ＋ φ ) 的圖象的一部分求其解析式，其中 A 是圖象最高點和最低點縱坐標(biāo)之差的一半， ω 由公式 T ＝2π| ω |確定， φ 由 ωx ＋ φ 所對應(yīng)的五點中的 “ 關(guān)鍵點 ” 的坐標(biāo)來確定． 2 ．求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上是解不等式 ( 組 ) ，一般根據(jù)三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線直接寫出三角不等式的解，求三角函數(shù)的值域 ( 最值 ) ，一般要結(jié)合函數(shù)的圖象，利用單調(diào)性和定義域求解． 3 ． 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心等體現(xiàn)了化歸及整體代換的思想，將問題轉(zhuǎn)化為最基本的三角函數(shù) y ＝ s in x 或 y ＝c o s x 來處理． 第 7講 │ 三角變換及解三角形 第 7講 三角變換及解三角形 主干知識整合 第 7講 │ 主干知識整合 一、三角公式 1 ．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式： s in2θ ＋ c os2θ ＝ 1 ， t an θ ＝s in θc os θ . 2 ．誘導(dǎo)公式：對于 “ k π2177。 α ， k ∈ Z 的三角函數(shù)值 ”與 “ α 角的三角函數(shù)值 ” 的關(guān)系可按下面口訣記憶：有奇變偶不變，符號看象限． ( 對于 k π2177。 α ， k ∈ Z 來說，奇、偶是指的 k 奇偶性；看象限是指把 α 當(dāng)做銳角來看時，角 k π2177。 α ， k ∈ Z 所處于的象限 ) 第 7講 │ 主干知識整合 3 ．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： s in ( α 177。 β ) ＝ s in α c o s β 177。 c o s α s in β ， c o s ( α 177。 β ) ＝ c o s α c o s β ? s in α s in β ， t a n ( α 177。 β ) ＝t a n α 177。 t a n β1 ? t a n α t a n β ( α ， β ， α 177。 β ≠ k π177。π2， k ∈ Z) ． 4 ．二倍角公式： s in 2 α ＝ 2 s in α c o s α ， c o s 2 α ＝ c o s2α － s in2α ＝ 2 c o s2α － 1 ＝ 1 － 2 s in2α ， t a n 2 α ＝2 t a n α1 － t a n2α . 5 ．輔助角公式： a s in x ＋ b c o s x ＝ a2＋ b2s in ( x ＋ φ ) ， 其中 φ 角的值由 t a n φ ＝ba確定， φ 角所在的象限由 a ， b 的 符號確定，也可以理解為 φ 角的終邊過點 ( a ， b ) ． 第 7講 │ 主干知識整合 二、正弦、余弦定理 1 ．正弦定理： 在 △ ABC 中，as i n A＝bs i n B＝cs i n C＝ 2 R ， ( 其中 R 表示 △ ABC 外接圓的半徑 ) ( 1) a ＝ 2 R s i n A ， b ＝ 2 R s i n B ， c ＝ 2 R s i n C ； ( 2) s i n A ＝a2 R， s i n B ＝b2 R， s i n C ＝c2 R； ( 3) a s i n B ＝ b s i n A ， b s i n C ＝ c s i n B ， a s i n C ＝ c s i n A ； ( 4) a ∶ b ∶ c ＝ s i n A ∶ s i n B ∶ s i n C . 第 7講 │ 主干知識整合 2 ．余弦定理： ( 1) a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c os A ， c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc； ( 2) b2＝ c2＋ a2－ 2 ca c os B ， c os B ＝c2＋ a2－ b22 ca； ( 3) c2＝ a2＋ b2－ 2 ab c os C ， c os C ＝a2＋ b2－ c22 ab. 3 ．面積公式： ( 1) S ＝12a ha( ha表示 a 邊上的高 ) ； ( 2) S ＝12ab s in C ＝12ac s in B ＝12bc s in A ＝abc4 R ( 其中 R 表示 △ ABC 外接圓的半徑 ) ； ( 3) S ＝12r ( a ＋ b ＋ c ) ( 其中 r 表示 △ ABC 內(nèi)切圓的半徑 ) ． 要點熱點探究 第 7講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 三角函數(shù)的求值 例 1 ( 1 ) 求值：c os 40176。 ＋ s in 50176。 ? 1 ＋ 3 t an 10176。 ?s in 70176。 1 ＋ c os 40176。； ( 2) 已知 α ∈ （π2， π ） ，且 s inα2＋ c osα2＝62. ① 求角 α 的值； ② 若 s in ( α － β ) ＝－35， β ∈ （π2， π ） ，求 c os β 的值． 第 7講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1) 原式 ＝c os 40176。 ＋ s in 50176。 c os 10176。 ＋ 3 s in 10176。c os 10176。s in 70176。 2 c os 20176。 ＝c os 40176。 ＋ s in 50176。 2c os ? 60176。 － 10176。 ?c os 10176。s in 70176。 2 c os 20176。＝c os 40176。 ＋s in 100176。c os 10176。s in 70176。 2 c os 20176。 ＝c os 40176。 ＋ 1s in 7