【正文】 在化簡(jiǎn)和求值中， 重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，對(duì)角的范圍尤其要注意討論 . （ 3）證明恒等式的過(guò)程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式 . 證明時(shí)常用的方法有： ① 從一邊開始，證明它等于另一邊； ② 證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子； ③ 證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立； ④ 分析法等 . （ 4）近年的考綱明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查，且常結(jié)合三角形內(nèi)的三角恒等變換進(jìn)行考查．解三角形這類題目的解答程序是：一是看方向（是從角化邊入手還是邊化角入手）；二是用定理（合理且靈活運(yùn)用正弦定理和 余弦定理）；三是定答案（根據(jù)取值范圍討論并確定答案） .還要特別注意三角形中三個(gè)角 A、 B、 C，三條邊 a、 b、 c，中線 ma，角平分線 AD，外接圓半徑 R，內(nèi)切圓半徑 r，三角形面積 S 之間的關(guān)系和三角形的形狀 . （ 5）三角函數(shù)的綜合問(wèn)題常常與向量，二次函數(shù)等有關(guān)，但著力點(diǎn)還是三角知識(shí)，尤其是利用二倍角公式、 “切化弦 ”、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差等進(jìn)行恒等變形，是高考考查的重中之重 . 解答這類綜合問(wèn)題的原則是三點(diǎn)： 降次 ——化次數(shù)較高的三角式為次數(shù)較低的三角式； 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 減元 ——化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù)； 變角 ——化多角的三角函數(shù)為單角的三角函數(shù) . 還要特別注意： ① 1 的變化： 2 2 2 21 sin c os ta n c ot c os 2 2 sin 2 c os c os 2x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? sin c o s 0 ta n24??? ? ? ② 角的變化： ? ? ? ? ? ? ? ?, 2 , 2 ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ 化切為弦、升冪公式、降冪公式的合理運(yùn)用； ④ 在理解的基礎(chǔ)上熟記和靈活運(yùn)用各種公式，包括正用公式、反用公式和變用公式 . 習(xí)習(xí) 題題 2－－ 1 1. 已知 cos? +sinβ= 3 ， sin? +cosβ的取值范圍是 D， x∈ D，則函數(shù) y=104 32log21 ??xx的最小值為 ( ). A. 28 B. 52 C. 12? D. 2 2. △ ABC 的角 A、 B、 C的對(duì)邊分別為 a、 b、 c， →m＝ (2b－ c， a)， → n ＝ (cosA，－ cosC)，且 →m⊥ → n ． 則 當(dāng) y＝ 2sin2B＋ sin(2B＋ ?6)取最大值時(shí)，角 B 的大小 為 ． 3 1 7 7c o s ,4 5 1 2 4xx? ? ???? ? ? ?????，求 2sin 2 2 sin1 tanxxx?? 的值． 4．已知 ),c os (sinsin ???? ?? 其中 ??, 為銳角 . （ 1）求證： ??? 2cos3 2sintan ?? ； （ 2）求 ?tan 的最大值 . 5. 在 ABC? 中，角 CBA , 滿足 .02c os2c osc os4 2 ??? BCAB (1)求角 B 的大小； (2)求 CA sinsin ? 的取值范圍 . 第二節(jié) 三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其變換 近幾年高考對(duì) “三角函數(shù) ”一章三角的考查要求略有降低，而對(duì)三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)的考查有逐步加強(qiáng)的趨勢(shì) . “考試大綱 ”將三角函數(shù)的圖 象和性質(zhì)，由 “了解 ”改為 “理解 ”，提高了一個(gè)層次 .因此，考生在復(fù)習(xí)中要作出相應(yīng)的調(diào)整 .它們的難度值一般控制在 之間，且在解答題中大多需要利用 三角函數(shù)的 變換和 性質(zhì)求解 . 考試要求 ⑴ 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、性質(zhì) ,理解正切函數(shù)的單調(diào)性； ⑵ 了解函數(shù)我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 的物理意義，會(huì)用 “五點(diǎn)法 ”畫正弦函數(shù)、余弦 函數(shù)和函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，了解參數(shù) 對(duì)函數(shù)圖像變化的影響 . 題題 型型 一一 由 “參 ”定 “形 ”，由 “形 ”定 “參 ” 【 例 1】 點(diǎn)撥 ：（ 1）在 函數(shù) y＝ Asin（ ωx＋ ?）的有關(guān)問(wèn)題中，只要確定了這三個(gè)參數(shù) A， ω， φ，則該函數(shù)的圖像、性質(zhì)等就出來(lái)了；同理，（ 2）中，已知圖 像求 解析式問(wèn)題，關(guān)鍵也是 確定三個(gè)參數(shù) A， ω， φ，最困難的就是求 φ. 于是，本題的答案為 ② 、 ③ ． 例 si n ( ) ( 0 , 0 , | | )y A x A? ? ? ? ?? ? ? ? ?的圖象如圖所示 , 則它的解析式為 _______ . 圖 2 2 1?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 點(diǎn)撥 ： 已知圖像求 解析式問(wèn)題，關(guān)鍵也是 確定三個(gè)參數(shù) A， ω， φ， 尤其 是求 φ. 解析 :由圖知 以下求 ? 的值有多種方法可供選擇： 易錯(cuò)點(diǎn) 例 （１）中，選項(xiàng) “ ”的含義容 易被誤解； 例 （ 2）中， 已知圖像求 解析式中的 φ時(shí)，常常由于方法不當(dāng)或范圍不清晰而不能求出準(zhǔn)確值 . 點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的圖像由若干個(gè)參數(shù)確定 (即由 “參 ”定 “形 ”)，同時(shí)，已知三角函數(shù)的圖像也能夠確定這若干個(gè)參數(shù)（即由 “形 ”定 “參 ”).本例所用的方法帶有普遍性，用來(lái)求解有關(guān)函數(shù)y＝ Asin（ ωx＋ ?）的圖象問(wèn)題十分奏效 . 變變 式式 與與 引引 申申 1：： 若將函數(shù) ? ?c o s 04yx ?????? ? ?????的圖像向右平移 6? 個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù) cos6yx??????????的圖像重合，則 ? 的最小值為（ ） A． 16 B. 14 C. 13 D. 12 題題 型型 二二 利用圖像的 性質(zhì) 解題 【 例 3】 設(shè)函數(shù) f (x)的圖象與直線 x =a， x =b 及 x 軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù) f(x)在 [a， b]上的 面積，已知函數(shù) y＝ sinnx 在 [0， n? ]上的面積為 n2 （ n∈ N* ）， 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 （ 1） y＝ sin3x 在 [0,32?]上的面積為 ；（ 2） y＝ sin（ 3x－ π ）＋ 1在 [3?，34?]上的面積為 . 點(diǎn)撥 ： 本題解題的關(guān)鍵是審題，可以畫個(gè)草圖幫助理解題意，如 圖 222?? .第（ 1）問(wèn)簡(jiǎn)單，第（ 2）問(wèn)的函數(shù)圖像有了變化：向右移動(dòng)3?個(gè)單位，再 向上移動(dòng) 1個(gè)單位；其 所求的 面積就是圖中直線3x ??, 43x ?? ， x 軸以及 y＝ sin（ 3x－ π）＋ 1 的圖像 所圍成圖形的面積 . 可以把直線 y=1上方的兩 個(gè)“波峰”拿一個(gè)填入“波谷”，得到一個(gè)矩形 和一個(gè)“波峰”，其 面積容易求出 . 【 解析 】 （ 1） T=32?, n=3,一個(gè)周期的面積為 43. （ 2） S=1 ( 34? 3? )+23 = 32?? . 易錯(cuò)點(diǎn) : 第（ 2）問(wèn)審題容易出問(wèn)題，結(jié)合圖像能夠幫助理解題意 . 點(diǎn)評(píng) ： 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象的平移變換、對(duì)稱變換及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意觀察題目函數(shù)圖像的特點(diǎn)隨機(jī)應(yīng)變，如本題可利用圖像的對(duì)稱性解題 . 變變 式式 與與 引引 申申 2：： 已知函數(shù) xy cos2? ， x∈ [0, ?2 ]的圖象和直線 y=2 圍成一個(gè)封閉的平面圖形，求該圖形的面積 . 題題 型型 三三 三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 性質(zhì)的應(yīng)用 【 例 4】 已知函數(shù) ? ? bxaxxxf ???????? ???????? ?? c os6s i n6s i n ??（ ,Rab? ，且均為常數(shù)）， （ 1）求函數(shù) ??xf 的最小正周期； （ 2）若 ??xf 在區(qū)間 ??????? 0,3?上單調(diào)遞增 ，且恰好能夠取到 ??xf 的最小值 2，試求 ba, 的值． 點(diǎn)撥 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性等）時(shí)，首先應(yīng)該對(duì)所給的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最好化為一個(gè)角（形如 ??wx ）、一種三角函數(shù)的形式． 【 解析 】 （ 1） ? ? bxaxxxf ???????? ???????? ?? c os6s i n6s i n ?? bxax ??? c os6c oss in2 ? bxax ??? c o ss in3 ? ? bxa ???? ?s in32 （其中 tan 3a?? ）， 所以，函數(shù) ??xf 的最小正周期為 ?2 ． 圖 222?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 （ 2） 由（ 1）可知： ??xf 的最小值為 ba ??? 32 ，所以， 232 ???? ba ． ……… ① 另外，由 ??xf 在區(qū)間 ??????? 0,3?上單調(diào)遞增，可知 ??xf 在區(qū)間 ??????? 0,3?上的最小值為???????3?f ， 所以， 2 , 2 73f a b???? ? ? ????? 得， ……… ② 聯(lián)立 ① ② 232 ???? ba 解得： 1, 4ab?? ? . 易錯(cuò)點(diǎn) : 在題（ 2）中， 不能利用隱含條件 ” ??xf 的最小值 2”正確列出方程組，還有計(jì)算1, 4ab?? ? 時(shí)也容易出錯(cuò) . 變變 式式 與與 引引 申申 3 ：： 已 知 函 數(shù) )0,0)(s i n ()( ????? ????? xxf 的 圖 象 與 直 線by? )01( ??? b 的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是 1， 2 ， 4 . （ 1） 求 )(xf 的解析式， 并寫出 )(xf 的 單調(diào)遞減區(qū)間 ； （ 2）設(shè) )()2()( xfxfxg ?? ，求函數(shù) )(xg 的值域 . 題題 型型 四四 三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 的的 圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【 例 4】 已知函數(shù) cxbxay ??? co ssi n 的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn) )1,611( ?，將圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的?3倍，然后再向左平移 1 個(gè)單位得到 )(xfy? 的圖象，且方程 3)( ?xf 的所有正根構(gòu)成一個(gè)以 3為公差的等差數(shù)列，求 )(xfy? 的解析式及其最小正周期、單調(diào)遞減區(qū)間 . 點(diǎn)撥 本題比較難，首先難在審題上，要理清各層題目意思；其次，原題中的函數(shù)不但有a,b,c 三個(gè) 參數(shù)，而且圖像也不在標(biāo)準(zhǔn)位置上；第三難在通過(guò)圖像變換后，會(huì)得到什么樣的函數(shù)圖像，還有方程的根正好構(gòu)成等差數(shù)列又怎么理解 .解題思路分析如下：第一步，要 化成同名函數(shù)；其次是利用轉(zhuǎn)化的思想，把“三元”化為“一元”，這可以通過(guò)圖象上有一個(gè)最低點(diǎn) )1,611( ?來(lái)轉(zhuǎn)化得到；然后處理圖像變換，得出 y=f(x)的含參解析式；最后利用 等差數(shù)列求出參數(shù) c. 此題是三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用題，要正確解答必須對(duì)三角函數(shù)圖象變換的基本特性有較深刻的認(rèn)識(shí)，考查綜合應(yīng)用知識(shí)的能力，和數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 .解決 三角函數(shù)的圖象變換問(wèn)題，要注意以下兩方面：首先要化為同名函數(shù)；其次是 周期變換發(fā)生在相位變換之前時(shí)，應(yīng)明確平移的量是什么 .還要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、 轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解題 . 【 解析 】 將函數(shù)化為 abcxbay ????? ?? t a n,)s i n (22 其中，由條件得 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 2 2 2 21 1 722 76 2 3 ( 1 ) sin ( 2 )311kk y c x k ca b c a b c? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? cxcy ????? )3s in ()1( ?， 下一步是關(guān)鍵是求出參數(shù) c，顯然 )(xfy? 的周期 2 63T ????，其半周期的長(zhǎng)度恰好為 3.而 3)( ?xf 可看成 )(xfy? 的圖象與直線 3?y 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且由半 周期的長(zhǎng)度為 3可知，相鄰交點(diǎn)間的距離也為 3，從而由 三角函數(shù)圖象的特征知道， 3?c ，否則無(wú)法滿足半周期為 3. )(xfy? 的圖象與與直線 3?y 的交點(diǎn)只可能是在 )(xfy? 的各 對(duì)稱中心 ),3( ck ，對(duì)稱軸向上平移了 3個(gè)單位，即 3?c ，如 圖 2 2 3?? .從而 33sin2)( ??? xxfy ?,單調(diào)遞減區(qū)間為 39[ 6 ,