【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＋ 1) 與 f ( x － 1) 都是奇函數(shù)，所以f ( － x ＋ 1) ＝－ f ( x ＋ 1) ， f ( － x － 1) ＝－ f ( x － 1) ，則 f ( x ) ＝ f ( x －4) ，所以 f ( x ＋ 3) ＝ f ( x － 1) ＝－ f ( － x － 1) ＝－ f ( － x ＋ 3) ，則 f ( x＋ 3) 是奇函數(shù)． 【試題評(píng)價(jià)】 試題的設(shè)計(jì)充分考查了考生對(duì)函數(shù)奇偶性的理解和判斷，試題目的明確，針對(duì)性強(qiáng)，注重通性通法，有效檢測(cè)考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握． 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知定義在 R 上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，且在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上是增函數(shù)，則 ( ) A ． f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 1 1 ) f ( 2 0 0 8 ) B ． f ( 2 0 1 1 ) f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 0 8 ) C ． f ( 2 0 0 8 ) f ( 2 0 1 1 ) f ( 2 0 0 7 ) D ． f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 0 8 ) f ( 2 0 1 1 ) 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 D 【解析】 因?yàn)?f ( x ) 滿(mǎn)足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x － 8)＝ f ( x ) ，所以，函數(shù) f ( x ) 是以 8 為周期的周期函數(shù)，則 f ( 2 0 0 7 )＝ f ( － 1) ， f ( 2 0 0 8 ) ＝ f ( 0 ) ， f ( 2 0 1 1 ) ＝ f ( 3 ) ，又因?yàn)?f ( x ) 在 R 上是奇函數(shù)， f ( 0 ) ＝ 0 ，得 f ( 2 0 0 8 ) ＝ 0 ， f ( 2 0 0 7 ) ＝ f ( － 1) ＝－ f ( 1 ) ，而由 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) 得 f ( 2 0 1 1 ) ＝ f ( 3 ) ＝－ f ( － 3) ＝ f ( 1 ) ，又因?yàn)?f ( x )在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上是增函數(shù)，所以 f ( 1 ) f ( 0 ) ＝ 0 ，所以－ f ( 1 ) 0 ，即 f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 0 8 ) f ( 2 0 1 1 ) ，故選 D. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例 3 ( 1) [ 2010 山東卷 ] 函數(shù) y ＝ 2x－ x2的圖象大致是 ( ) 圖 1 － 2 － 1 A 【解析】 因?yàn)楫?dāng) x ＝ 2 或 4 時(shí)， 2x－ x2＝ 0 ，所以排除 B 、C ；當(dāng) x ＝－ 2 時(shí)， 2x－ x2＝14－ 4 0 ，故排除 D ，所以選 A. 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) 若函數(shù) f ( x ) ＝ ( k － 1) ax－ a－ x( a 0 ， a ≠ 1) 在 R 上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則 g ( x ) ＝ l o ga( x ＋ k ) 的圖象是 ( ) 圖 1 － 2 － 2 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 由解析式判斷函數(shù)圖象一般應(yīng)研究它的性質(zhì) ，比如定義域 、 值域 、 奇偶性 、 單調(diào)性等 ， 然后再選圖象 ， 或由變換法選圖 ， 也可以通過(guò)驗(yàn)證特征點(diǎn) ( 圖象和坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 、 極值點(diǎn)等 ) 來(lái)判斷圖象 ． 本題 ( 2 ) 中據(jù)條件確定 k 的值及 a 的范圍是關(guān)鍵 ． A 【解析】 ∵ f ( x ) ＝ ( k － 1) ax－ a－ x( a 0 ， a ≠ 1) 是 R 上的奇函數(shù)， ∴ f ( 0 ) ＝ 0 ，則 ( k － 1) － 1 ＝ 0 ， ∴ k ＝ 2 ，驗(yàn)證知 k ＝ 2時(shí) f ( x ) 是奇函數(shù)． ∴ f ( x ) ＝ ax－ a－ x，又 ∵ f ( x ) 是減函數(shù)， ∴ 0 a 1 ，則 g ( x ) ＝ l o g a ( x ＋ 2) 的圖象為 A. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)四 基本初等函數(shù)的應(yīng)用 例 4 已知函數(shù) f ( x ) ＝ l n ( ex＋ a )( a 為常數(shù) ) 是 R 上的奇函數(shù)． ( 1 ) 求 a 的值； ( 2 ) 討論關(guān)于 x 的方程ln xf ? x ?＝ x2－ 2e x ＋ m 的根的個(gè)數(shù)． 【解答】 ( 1 ) ∵ f ( x ) ＝ l n ( ex＋ a ) 是奇函數(shù)， ∴ l n ( e－ x＋ a ) ＝－ l n ( ex＋ a ) ， ∴ (e－ x＋ a )(ex＋ a ) ＝ 1 ， ∴ 1 ＋ a e－ x＋ a ex＋ a2＝ 1 ， ∴ a (ex＋ e－ x＋ a ) ＝ 0 ， ∴ a ＝ 0. 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) 由 ( 1) 知： f ( x ) ＝ x ，則ln xf ? x ?＝ln xx＝ x2－ 2e x ＋ m . 令 f1( x ) ＝ln xx， f2( x ) ＝ x2－ 2e x ＋ m ， ∵ f1′ ( x ) ＝1 － ln xx2，當(dāng) x ∈ (0 ， e] 時(shí)， f1′ ( x ) ≥ 0 ， ∴ f1( x ) 在 (0 ， e] 上為增函數(shù)； 當(dāng) x ∈ [e ，＋ ∞ ) 時(shí)， f1′ ( x ) ≤ 0 ， ∴ f1( x ) 在 [e ，＋ ∞ ) 上為減函數(shù)； ∴ 當(dāng) x ＝ e 時(shí)， [ f1( x )]m a x＝ f1( e ) ＝1e，而 f2( x ) ＝ ( x － e)2＋ m － e2， ∴ 當(dāng) m － e21e，即 m e2＋1e時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng) m － e2＝1e時(shí)，即m ＝ e2＋1e時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng) m － e21e時(shí)， m e2＋1e時(shí)，方程有兩個(gè)根． 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 對(duì) ( 1 ) ，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得到關(guān)于參數(shù)a 的方程，且方程對(duì)定義域內(nèi)任意的 x 均成立，從而可求得參數(shù) a 的值．對(duì) ( 2 ) ，因?yàn)榉匠讨泻袇?shù) m ，故要討論因 m 的取值不同，導(dǎo)致方程根的個(gè)數(shù)不同，分別考察函數(shù) y ＝ln xx和 y＝ x2－ 2e x ＋ m 的性質(zhì)與圖象可得：當(dāng) x ＝ e 時(shí)，函數(shù) y ＝ln xx有最大值為1e；函數(shù) y ＝ x2－ 2e x ＋ m 有最小值為 m － e2，從而分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)就是比較 m － e2與1e的大?。旅孀兪筋}，是關(guān)于指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，請(qǐng)嘗試． 設(shè) x ∈ R ， ? ?xxf ???????21. ( 1) 請(qǐng)?jiān)谒o的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù) f ( x ) 的大致圖象； ( 2) 若不等式 f ( x ) ＋ f (2 x ) ≤ k 對(duì)于任意的 x ∈ R 恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍． 圖 1 － 2 － 3 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 ２ 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 教師備用習(xí)題 第２講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2010 山東卷 ] 設(shè) f ( x ) 為定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x ≥ 0 時(shí)， f ( x ) ＝ 2x＋ 2 x ＋ b ( b 為常數(shù) ) ，則 f ( － 1) 等于( ) A ． 3 B ． 1 C ．－ 1 D ．－ 3 D 【解析】 因?yàn)?f ( x ) 為定義在 R 上的奇函數(shù) ，所以有 f ( 0 ) ＝ 20＋ 2 0 ＋ b ＝ 0 ， 解得 b ＝－ 1 ， 所以當(dāng)≥ 0 時(shí) ， f ( x ) ＝ 2x＋ 2 x － 1 ， 即 f ( － 1 ) ＝－ f ( 1 ) ＝－ ( 21＋2 1 － 1 ) ＝－ 3 ， 故選 D. 第２講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． [ 2010 重慶卷 ] 函數(shù) f ( x ) ＝4x＋ 12x 的圖象是 ( ) A ． 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B ． 關(guān)于直線 y ＝ x 對(duì)稱(chēng) C ． 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng) D ． 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) D 【解析】 因?yàn)槎x域是 R ，且 f ( － x ) ＝4－ x＋ 12－ x ＝1 ＋ 4x2x ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 是偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)． 第２講 │ 教師備用習(xí)題 3 ． 定義在 R 上的函數(shù) f ( x ) 滿(mǎn)足 f ( x ) ＝ ????? log2? 1 － x ? ， x ≤ 0 ，f ? x － 1 ? － f ? x － 2 ? ， x 0 ，則 f ( 201 1) 的值為 ( ) A ．－ 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 A 【解析】 由已知得 f ( － 1) ＝ log22 ＝ 1 ， f ( 0 ) ＝ 0 ， f ( 1) ＝ f ( 0) － f ( － 1) ＝－ 1 ， f ( 2) ＝ f ( 1) － f ( 0) ＝－ 1 ， f ( 3) ＝ f ( 2) － f ( 1 ) ＝－ 1 － ( － 1) ＝ 0 ， f ( 4) ＝ f ( 3) － f ( 2 ) ＝ 0 － ( － 1) ＝ 1 ， f ( 5) ＝ f ( 4) － f ( 3 ) ＝ 1 ， f ( 6) ＝ f ( 5) － f ( 4) ＝ 0 ， 所以函數(shù) f ( x ) 的值以 6 為周期重復(fù)性出現(xiàn)， 所以 f ( 201 1) ＝ f ( 1) ＝－ 1 ，故選 A. 第２講 │ 教師備用習(xí)題 4 ． 已知 y ＝ f ( x ) 是偶函數(shù)，而 y ＝ f ( x ＋ 1) 是奇函數(shù)，且對(duì)任意0 ≤ x ≤ 1 ，都有 f ′ ( x ) ≥ 0 ，則 a ＝ f (9819) ， b ＝ f (10117), c ＝ f (10615) 的大小關(guān)系是 ( ) A ． c a b B ． c b a C ． a c b D ． a b c A 【解析】 由題意知 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， f ( － x ＋ 1) ＝－ f ( x ＋ 1) ，所以 f ( x ) ＝－ f ( x ＋ 2) ，所以函數(shù) f ( x ) 的周期 T ＝ 4 ，所以函數(shù)f ( x ) 在 [ 0,2 ] 上單調(diào)遞增， f (9819) ＝ f (2219) ＝ f (10117) ＝ f (3317) ， f (10615) ＝f ( －1415) ＝ f (1415) ，所以 f (10615) f (9819) f (10117) . 第２講 │ 教師備用習(xí)題 5 ． 給出下列三個(gè)命題： ① 函數(shù) y ＝12ln x1 － c os x1 ＋ c os x與 y ＝ ln t anx2是同一函數(shù)； ② 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 與 y ＝ g ( x ) 的圖象關(guān)于直線 y ＝ x 對(duì)稱(chēng)，則函數(shù) y ＝ f (2 x ) 與 y ＝12g ( x ) 的圖象也關(guān)于直線 y ＝ x 對(duì)稱(chēng)； ③ 若奇函數(shù) f ( x ) 對(duì)定義域內(nèi)任意 x 都有 f ( x ) ＝ f (2 － x ) ，則 f ( x ) 為周期函數(shù)． 其中真命題是 A ． ①② B ． ①③ C ． ②③ D ． ② 第２講 │ 教師備用習(xí)題 C 【解析】 考查相同函數(shù)、函數(shù)對(duì)稱(chēng) 性的判斷、周期性知識(shí)．考慮定義域不同， ① 錯(cuò)誤；排除A 、 B ，驗(yàn)證 ③ ， f ( － x ) ＝ f [2 － ( － x )] ＝ f (2 ＋ x ) ，又通過(guò)奇函數(shù)得 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ) 是周期為 4 的周期函數(shù)，選擇 C. 規(guī)律技巧提煉 第２講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．函數(shù)概念的內(nèi)涵揭示了函數(shù)運(yùn)動(dòng)變化的思想，反映了變量間互相依賴(lài)、互相制約的對(duì)應(yīng)關(guān)系，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都?xì)w結(jié)為函數(shù)問(wèn)題． 2 ．畫(huà)函數(shù)草圖是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，有描點(diǎn)法和變換法，解決圖形問(wèn)題常用：定量分析法、定性分析法和函數(shù)模型法． 3