【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】
+ 1) 與 f ( x - 1) 都是奇函數(shù),所以f ( - x + 1) =- f ( x + 1) , f ( - x - 1) =- f ( x - 1) ,則 f ( x ) = f ( x -4) ,所以 f ( x + 3) = f ( x - 1) =- f ( - x - 1) =- f ( - x + 3) ,則 f ( x+ 3) 是奇函數(shù). 【試題評(píng)價(jià)】 試題的設(shè)計(jì)充分考查了考生對(duì)函數(shù)奇偶性的理解和判斷,試題目的明確,針對(duì)性強(qiáng),注重通性通法,有效檢測(cè)考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握. 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知定義在 R 上的奇函數(shù),滿足 f ( x - 4) =- f ( x ) ,且在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上是增函數(shù),則 ( ) A . f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 1 1 ) f ( 2 0 0 8 ) B . f ( 2 0 1 1 ) f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 0 8 ) C . f ( 2 0 0 8 ) f ( 2 0 1 1 ) f ( 2 0 0 7 ) D . f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 0 8 ) f ( 2 0 1 1 ) 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 D 【解析】 因?yàn)?f ( x ) 滿足 f ( x - 4) =- f ( x ) ,所以 f ( x - 8)= f ( x ) ,所以,函數(shù) f ( x ) 是以 8 為周期的周期函數(shù),則 f ( 2 0 0 7 )= f ( - 1) , f ( 2 0 0 8 ) = f ( 0 ) , f ( 2 0 1 1 ) = f ( 3 ) ,又因?yàn)?f ( x ) 在 R 上是奇函數(shù), f ( 0 ) = 0 ,得 f ( 2 0 0 8 ) = 0 , f ( 2 0 0 7 ) = f ( - 1) =- f ( 1 ) ,而由 f ( x - 4) =- f ( x ) 得 f ( 2 0 1 1 ) = f ( 3 ) =- f ( - 3) = f ( 1 ) ,又因?yàn)?f ( x )在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上是增函數(shù),所以 f ( 1 ) f ( 0 ) = 0 ,所以- f ( 1 ) 0 ,即 f ( 2 0 0 7 ) f ( 2 0 0 8 ) f ( 2 0 1 1 ) ,故選 D. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例 3 ( 1) [ 2010 山東卷 ] 函數(shù) y = 2x- x2的圖象大致是 ( ) 圖 1 - 2 - 1 A 【解析】 因?yàn)楫?dāng) x = 2 或 4 時(shí), 2x- x2= 0 ,所以排除 B 、C ;當(dāng) x =- 2 時(shí), 2x- x2=14- 4 0 ,故排除 D ,所以選 A. 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) 若函數(shù) f ( x ) = ( k - 1) ax- a- x( a 0 , a ≠ 1) 在 R 上既是奇函數(shù),又是減函數(shù),則 g ( x ) = l o ga( x + k ) 的圖象是 ( ) 圖 1 - 2 - 2 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 由解析式判斷函數(shù)圖象一般應(yīng)研究它的性質(zhì) ,比如定義域 、 值域 、 奇偶性 、 單調(diào)性等 , 然后再選圖象 , 或由變換法選圖 , 也可以通過驗(yàn)證特征點(diǎn) ( 圖象和坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 、 極值點(diǎn)等 ) 來判斷圖象 . 本題 ( 2 ) 中據(jù)條件確定 k 的值及 a 的范圍是關(guān)鍵 . A 【解析】 ∵ f ( x ) = ( k - 1) ax- a- x( a 0 , a ≠ 1) 是 R 上的奇函數(shù), ∴ f ( 0 ) = 0 ,則 ( k - 1) - 1 = 0 , ∴ k = 2 ,驗(yàn)證知 k = 2時(shí) f ( x ) 是奇函數(shù). ∴ f ( x ) = ax- a- x,又 ∵ f ( x ) 是減函數(shù), ∴ 0 a 1 ,則 g ( x ) = l o g a ( x + 2) 的圖象為 A. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)四 基本初等函數(shù)的應(yīng)用 例 4 已知函數(shù) f ( x ) = l n ( ex+ a )( a 為常數(shù) ) 是 R 上的奇函數(shù). ( 1 ) 求 a 的值; ( 2 ) 討論關(guān)于 x 的方程ln xf ? x ?= x2- 2e x + m 的根的個(gè)數(shù). 【解答】 ( 1 ) ∵ f ( x ) = l n ( ex+ a ) 是奇函數(shù), ∴ l n ( e- x+ a ) =- l n ( ex+ a ) , ∴ (e- x+ a )(ex+ a ) = 1 , ∴ 1 + a e- x+ a ex+ a2= 1 , ∴ a (ex+ e- x+ a ) = 0 , ∴ a = 0. 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) 由 ( 1) 知: f ( x ) = x ,則ln xf ? x ?=ln xx= x2- 2e x + m . 令 f1( x ) =ln xx, f2( x ) = x2- 2e x + m , ∵ f1′ ( x ) =1 - ln xx2,當(dāng) x ∈ (0 , e] 時(shí), f1′ ( x ) ≥ 0 , ∴ f1( x ) 在 (0 , e] 上為增函數(shù); 當(dāng) x ∈ [e ,+ ∞ ) 時(shí), f1′ ( x ) ≤ 0 , ∴ f1( x ) 在 [e ,+ ∞ ) 上為減函數(shù); ∴ 當(dāng) x = e 時(shí), [ f1( x )]m a x= f1( e ) =1e,而 f2( x ) = ( x - e)2+ m - e2, ∴ 當(dāng) m - e21e,即 m e2+1e時(shí),方程無解;當(dāng) m - e2=1e時(shí),即m = e2+1e時(shí),方程有一個(gè)根;當(dāng) m - e21e時(shí), m e2+1e時(shí),方程有兩個(gè)根. 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 對(duì) ( 1 ) ,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得到關(guān)于參數(shù)a 的方程,且方程對(duì)定義域內(nèi)任意的 x 均成立,從而可求得參數(shù) a 的值.對(duì) ( 2 ) ,因?yàn)榉匠讨泻袇?shù) m ,故要討論因 m 的取值不同,導(dǎo)致方程根的個(gè)數(shù)不同,分別考察函數(shù) y =ln xx和 y= x2- 2e x + m 的性質(zhì)與圖象可得:當(dāng) x = e 時(shí),函數(shù) y =ln xx有最大值為1e;函數(shù) y = x2- 2e x + m 有最小值為 m - e2,從而分類的標(biāo)準(zhǔn)就是比較 m - e2與1e的大?。旅孀兪筋},是關(guān)于指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,請(qǐng)嘗試. 設(shè) x ∈ R , ? ?xxf ???????21. ( 1) 請(qǐng)?jiān)谒o的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù) f ( x ) 的大致圖象; ( 2) 若不等式 f ( x ) + f (2 x ) ≤ k 對(duì)于任意的 x ∈ R 恒成立,求實(shí)數(shù) k 的取值范圍. 圖 1 - 2 - 3 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 2 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 教師備用習(xí)題 第2講 │ 教師備用習(xí)題 1 . [ 2010 山東卷 ] 設(shè) f ( x ) 為定義在 R 上的奇函數(shù),當(dāng) x ≥ 0 時(shí), f ( x ) = 2x+ 2 x + b ( b 為常數(shù) ) ,則 f ( - 1) 等于( ) A . 3 B . 1 C .- 1 D .- 3 D 【解析】 因?yàn)?f ( x ) 為定義在 R 上的奇函數(shù) ,所以有 f ( 0 ) = 20+ 2 0 + b = 0 , 解得 b =- 1 , 所以當(dāng)≥ 0 時(shí) , f ( x ) = 2x+ 2 x - 1 , 即 f ( - 1 ) =- f ( 1 ) =- ( 21+2 1 - 1 ) =- 3 , 故選 D. 第2講 │ 教師備用習(xí)題 2 . [ 2010 重慶卷 ] 函數(shù) f ( x ) =4x+ 12x 的圖象是 ( ) A . 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B . 關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱 C . 關(guān)于 x 軸對(duì)稱 D . 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 D 【解析】 因?yàn)槎x域是 R ,且 f ( - x ) =4- x+ 12- x =1 + 4x2x = f ( x ) , ∴ f ( x ) 是偶函數(shù),圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱. 第2講 │ 教師備用習(xí)題 3 . 定義在 R 上的函數(shù) f ( x ) 滿足 f ( x ) = ????? log2? 1 - x ? , x ≤ 0 ,f ? x - 1 ? - f ? x - 2 ? , x 0 ,則 f ( 201 1) 的值為 ( ) A .- 1 B . 0 C . 1 D . 2 A 【解析】 由已知得 f ( - 1) = log22 = 1 , f ( 0 ) = 0 , f ( 1) = f ( 0) - f ( - 1) =- 1 , f ( 2) = f ( 1) - f ( 0) =- 1 , f ( 3) = f ( 2) - f ( 1 ) =- 1 - ( - 1) = 0 , f ( 4) = f ( 3) - f ( 2 ) = 0 - ( - 1) = 1 , f ( 5) = f ( 4) - f ( 3 ) = 1 , f ( 6) = f ( 5) - f ( 4) = 0 , 所以函數(shù) f ( x ) 的值以 6 為周期重復(fù)性出現(xiàn), 所以 f ( 201 1) = f ( 1) =- 1 ,故選 A. 第2講 │ 教師備用習(xí)題 4 . 已知 y = f ( x ) 是偶函數(shù),而 y = f ( x + 1) 是奇函數(shù),且對(duì)任意0 ≤ x ≤ 1 ,都有 f ′ ( x ) ≥ 0 ,則 a = f (9819) , b = f (10117), c = f (10615) 的大小關(guān)系是 ( ) A . c a b B . c b a C . a c b D . a b c A 【解析】 由題意知 f ( - x ) = f ( x ) , f ( - x + 1) =- f ( x + 1) ,所以 f ( x ) =- f ( x + 2) ,所以函數(shù) f ( x ) 的周期 T = 4 ,所以函數(shù)f ( x ) 在 [ 0,2 ] 上單調(diào)遞增, f (9819) = f (2219) = f (10117) = f (3317) , f (10615) =f ( -1415) = f (1415) ,所以 f (10615) f (9819) f (10117) . 第2講 │ 教師備用習(xí)題 5 . 給出下列三個(gè)命題: ① 函數(shù) y =12ln x1 - c os x1 + c os x與 y = ln t anx2是同一函數(shù); ② 若函數(shù) y = f ( x ) 與 y = g ( x ) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱,則函數(shù) y = f (2 x ) 與 y =12g ( x ) 的圖象也關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱; ③ 若奇函數(shù) f ( x ) 對(duì)定義域內(nèi)任意 x 都有 f ( x ) = f (2 - x ) ,則 f ( x ) 為周期函數(shù). 其中真命題是 A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ② 第2講 │ 教師備用習(xí)題 C 【解析】 考查相同函數(shù)、函數(shù)對(duì)稱 性的判斷、周期性知識(shí).考慮定義域不同, ① 錯(cuò)誤;排除A 、 B ,驗(yàn)證 ③ , f ( - x ) = f [2 - ( - x )] = f (2 + x ) ,又通過奇函數(shù)得 f ( - x ) =- f ( x ) ,所以 f ( x ) 是周期為 4 的周期函數(shù),選擇 C. 規(guī)律技巧提煉 第2講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 .函數(shù)概念的內(nèi)涵揭示了函數(shù)運(yùn)動(dòng)變化的思想,反映了變量間互相依賴、互相制約的對(duì)應(yīng)關(guān)系,許多數(shù)學(xué)問題都?xì)w結(jié)為函數(shù)問題. 2 .畫函數(shù)草圖是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ),有描點(diǎn)法和變換法,解決圖形問題常用:定量分析法、定性分析法和函數(shù)模型法. 3