【正文】 ①② ，得所求 a 的取值范圍是 a ≤ － 2. 【 點(diǎn)評(píng) 】 一次、二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，本題在設(shè)置上含有絕對(duì)值運(yùn)算，這是該題的一個(gè)亮點(diǎn)， (1)中對(duì)方程有兩個(gè)解的等價(jià)轉(zhuǎn)化以及 (2)中對(duì)不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，這都是考查的重點(diǎn)，應(yīng)認(rèn)真體會(huì)、應(yīng)用． 教師備用習(xí)題 第 3 講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2010 30 t 150% ＋t2 x元 / 件． 于是， y ＝ x 本課件為 “ 逐字編輯 ” 課件，使用時(shí)欲修改課件，請(qǐng)雙擊對(duì)應(yīng)內(nèi)容，即可進(jìn)入可編輯狀態(tài)。 山東卷 ] 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f ( x ) ，滿足 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) ，且在區(qū)間 [ 0,2] 上是增函數(shù)，若方程 f ( x )＝ m ( m 0) 在區(qū)間 [ － 8,8 ] 上有四個(gè)不同的根 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ，則 x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ＝ ________. 第 3 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 － 8 【解析】 因?yàn)槎x在 R 上的奇函數(shù) f ( x ) ，滿足 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) ，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線 x ＝ 2 對(duì)稱且 f ( 0 )＝ 0 ，所以 f ( x ＋ 4) ＝ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ＋ 8) ＝－ f ( x ＋ 4)＝ f ( x ) ，所以函數(shù)是以 8 為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)?f ( x ) 在區(qū)間 [ 0,2 ] 上是增函數(shù)，所以 f ( x ) 在區(qū)間 [ － 2,0 ] 上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程 f ( x ) ＝ m ( m 0) 在區(qū)間 [ － 8,8] 上有四個(gè)不同的根 x1， x2， x3， x4，不妨設(shè) x1 x2 x3 x4由對(duì)稱性知 x1＋ x2＝－ 12 ， x3＋ x4＝ 4 所以 x1＋ x2＋ x3＋ x4＝－ 12 ＋ 4 ＝－ 8. 第 3 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 抽象函數(shù)的求解可以具體化 、 形象化 ，本小題有兩點(diǎn)要注意 ， 一是要全面弄清它的性質(zhì) ( 奇偶性 ， 周期性 ， 單調(diào)性 ， 對(duì)稱性 ) ， 二是要遷移 、 聯(lián)想和類比 ( 在此聯(lián)想到 y ＝ s in x 的圖象和性質(zhì) ) ， 這樣該抽象函數(shù)的這些性質(zhì)就可以用一個(gè)簡單的圖形直觀地表達(dá)出來 ． 第 3 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 2 【解析】 方程 ex＋ x ＝ 2 與 ln x ＋ 2 ＝ 2 可化為 ex＝－ x ＋ 2 ， ln x ＝－ x ＋ 2 ，分別作出 y ＝ ex， y ＝ ln x ， y ＝－ x ＋ 2 的圖象，如圖所示： 因?yàn)楹瘮?shù) y ＝ ex， y ＝ ln x 的圖象 關(guān)于直線 y ＝ x 對(duì)稱，由????? y ＝ x ，y ＝－ x ＋ 2 ， 解得 x ＝ 1 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 2. 已知實(shí)數(shù) x 1 ， x 2 分別是方程 ex＋ x ＝ 2 與 ln x ＋x ＝ 2 的根，則 x 1 ＋ x 2 的值為 ________ ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 3 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 函數(shù)模型及其應(yīng)用 例 3 某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在 2010 年度將進(jìn)行系列促銷活動(dòng)．經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀(jì)念品的年銷售量 x 萬件與年促銷費(fèi)用 t 萬元之間滿足 3 － x 與 t ＋ 1 成反比例．若不搞促銷活動(dòng)，紀(jì)念品的年銷售量只有 1 萬件．已知工廠 2010 年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為 3 萬元，每生產(chǎn) 1 萬件紀(jì)念品另外需要投資 32 萬元．當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為： “ 年平均每件生產(chǎn)成本的 150 % ” 與 “ 年平均每件所占促銷費(fèi)一半 ” 之和時(shí)，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等． ( 利潤＝收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)用 ) 第 3 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1) 求出 x 與 t 所滿足的關(guān)系式； ( 2) 請(qǐng)把該工廠 2010 年的年利潤 y 萬元表示成促銷費(fèi)t 萬元的函數(shù)； ( 3) 試問：當(dāng) 2010 年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，該工廠的年利潤最大？ 【解答】 ( 1) 設(shè)比例系數(shù)為 k ( k ≠ 0) ． 由題知，有 3 － x ＝kt ＋ 1. 又 t ＝ 0 時(shí)， x ＝ 1. ∴ 3 － 1 ＝k0 ＋ 1，解得 k ＝ 2. ∴ x 與 t 的關(guān)系式是 x ＝ 3 －2t ＋ 1( t ≥ 0) ． 第 3 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) 依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn) x 萬件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為 (3 ＋ 32 x ) 萬元，促銷費(fèi)用為 t 萬元，則每件紀(jì)念品的定價(jià) 為 3 ＋ 32 xx 20 上海 ] 若 x 0 是方程式 lg x ＋ x ＝ 2 的解，則 x 0 屬于區(qū)間 ( ) A ． ( 0,1 ) B ． ( 1,1 .25 ) C ． ( 5,1 .75 ) D ． ( 5,2 ) D 【解析 】 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ lg x ＋ x － 2 ， 由 f ( 5) ＝ f （74） ＝ lg （74－14） 0 ， f ( 2) ＝ lg2 0 知 x 0 屬于區(qū)間 ( 5,2 ) ． 第 3 講 │ 教師備用習(xí)題 【解析】 C 由題意 2 x 1 ＋ 2 x 1 ＝ 5 ， ① 2 x 2 ＋ 2log 2 ( x 2 － 1) ＝ 5 ， ② 所以 2 x 1 ＝ 5 － 2 x 1 ， x 1 ＝ log 2 (5 － 2 x 1 ) ， 即 2 x 1 ＝ 2log 2 (5 － 2 x 1 ) ， 令 2 x 1 ＝ 7 － 2 t ，代入上式得 7 － 2 t ＝ 2log 2 (2 t － 2) ＝ 2 ＋ 2log 2 ( t － 1) ， ∴ 5 － 2 t ＝ 2log 2 ( t － 1) 與 ② 式比較得 t ＝ x 2 ， 于是 2 x 1 ＝ 7 － 2 x 2 . 2 ． 若 x 1 滿足 2 x ＋ 2 x ＝ 5 ， x 2 滿足 2 x ＋ 2 log 2 ( x － 1) ＝ 5 ，x 1 ＋ x 2 等于 ( ) A.52 B ． 3 C .72 D ． 4 第 3 講 │ 教師備用習(xí)題 3 ． 已知二次函數(shù) f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c . ( 1) 若 f ( － 1) ＝ 0 ，試判斷函數(shù) f ( x ) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； ( 2) 若對(duì) ? x1， x2∈ R ，且 x1 x2， f ( x1) ≠ f ( x2) ，試證明? x0∈ ( x1， x2) ，使 f ( x0) ＝12[ f ( x1) ＋ f ( x2)] 成立； ( 3) 是否存在 a ， b ， c ∈ R ，使 f ( x ) 同時(shí)滿足以下條件：① ? x ∈ R ， f ( x － 4) ＝ f (2 － x ) ，且 f ( x ) 的最小值是 0 ； ②? x ∈ R ，都有 0 ≤ f ( x ) － x ≤12( x － 1)2. 若存在，求出 a ， b ，c 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 ． 【解答】 ( 1 ) ∵ f ( － 1) ＝ 0 ， ∴ a － b ＋ c ＝ 0 , b ＝ a ＋ c ， ∴ Δ ＝ b2－ 4 ac ＝ ( a ＋ c )2－ 4 ac ＝ ( a － c )2. 當(dāng) a ＝ c 時(shí)， Δ ＝ 0 ，函數(shù) f ( x ) 有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng) a ≠ c 時(shí)， Δ 0 ，函數(shù) f ( x ) 有兩個(gè)零點(diǎn)． ( 2 ) 令 g ( x ) ＝ f ( x ) －12[ f ( x1) ＋ f ( x2)] ，則 g ( x1) ＝ f ( x1) －12[ f ( x1) ＋ f ( x2)] ＝f ? x1? － f ? x2?2， g ( x2) ＝ f ( x2) －12[ f ( x1) ＋ f ( x2)] ＝f ? x2? － f ? x1?2， ∴ g ( x1) 遼寧卷 ] 已知 a 0 ，則 x0滿足關(guān)于 x 的方程 ax ＝ b 的充要條件是 ( ) A ． ? x ∈ R ，12ax2－ bx ≥12ax20－ bx0 B ． ? x ∈ R ，12ax2－ bx ≤12ax20－ bx0 C ． ? x ∈ R ，12ax2－ bx ≥12ax20－ bx0 D ． ? x ∈ R ，12ax2－ bx ≤12ax20－ bx0 第１講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 C 【解析】 由于 a 0 ，令函數(shù) y ＝12ax2－ bx ＝12ax －ba2－b22 a，此時(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的開口向上，當(dāng) x ＝ba時(shí)，取得最小值－b22 a，而 x0滿足關(guān)于 x 的方程 ax ＝ b ，那么 x0＝ba， ym i n＝12ax20－ bx0＝－b22 a，那么對(duì)于任意的 x ∈ R ，都有 y ＝12ax2－ bx ≥ －b22 a＝12ax20－ bx0，反之，當(dāng) ? x ∈ R ，12ax2－ bx ≥12ax20－ bx0成立時(shí)，必有 x0＝ba，即 x0滿足關(guān)于 x 的方程 ax ＝ b ，故 x0滿足關(guān)于 x 的方程 ax ＝ b的充要條件是 ? x ∈ R ，12ax2－ bx ≥12ax20－ bx0. 第１講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 設(shè)不等式 |2 x － a | 2 的解集為 M ，則“ 0 ≤ a ≤ 4 ” 是 “ 1 ∈ M ” 的 ( ) A ．充分不必要條件 B ．必要不充分條件 C ．充要條件 D ．既不充分也不必要條件 B 【解析】 不等式 |2 x － a | 2 的解集為 M = （a2－ 1, a2+1 ），若 a = 0, 則 M = （ － 1, 1 ），此時(shí) 1 ? M ；若 1 ∈ M ， 則 0 a 4 , 故選 B . 教師備用習(xí)題 第１講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2 0 1 0 山東理數(shù) ] 已知全集 U ＝ R ，集合 M ＝ { x || x － 1| ≤ 2} ，則 ? U M 等于 ( ) A ． { x |－ 1 x 3 } B ． { x | － 1 ≤ x ≤ 3} C ． { x | x － 1 或 x 3 } D ． { x | x ≤ － 1 或 x ≥ 3} C 【解析】 因?yàn)榧?M ＝ { x || x － 1| ≤ 2} ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 3} ，全集 U ＝ R ，所以 ? U M ＝ { x | x － 1 或 x 3 } ． 第１講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． 下列命題中的假命題是 ( ) A ． ? x ∈ R , 2x － 1 0 B ． ? x ∈ N*， ( x － 1)20 C ． ? x ∈ R ， lg x 1 D ． ? x ∈ R ， t a n x ＝ 2 B 【解析】 對(duì)選項(xiàng) B ，若 x ＝ 1 ，則 ( x － 1) 2 ＝ 0. 第１講 │ 教師備用習(xí)題 3 ． “ m 14” 是 “ 一元二次方程 x2＋ x ＋ m ＝ 0 ” 有實(shí)數(shù)解的 ( ) A ．充分非必要條件 B ．充分必要條件 C ．必要非充分條件 D ．非充分必要條件 A 【解析】 由 x 2 ＋ x ＋ m ＝ 0 知 ， x ＋122 ＝ 1 － 4 m4≥ 0 ?m ≤14. 第１講 │ 教師備用習(xí)題 4 ． 已知函數(shù) y ＝ l g ( － x2＋ x ＋ 2) 的定義域