【正文】 ( ) A.33 B ． 1 C.32 D ． 2 第 11講 │ 教師備用習(xí)題 A 【解析】 由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，底面是一個等腰直角三角形，且過底面直角頂點(diǎn)的一側(cè)棱與底面垂直，由所給的數(shù)據(jù)可得，底面直角三角形的斜邊長為 2 ，斜邊上的高為 1 ，垂直于底面的棱的長為 3 ， 故有 V ＝1312 2 1 3 ＝33. 第 11講 │ 教師備用習(xí)題 3 ． 如下圖所示，在等腰梯形 P DC B 中， PB ＝3 ， DC ＝ 1 ， PD ＝ BC ＝ 2 ， A 為 PB 邊上一點(diǎn)，且PA ＝ 1 ，將 △ P A D 沿 AD 折起，使平面 P A D ⊥ 平面ABCD . ( 1) 求證： CD ⊥ 平面 P A D ； ( 2) 若 M 是 PB 側(cè)棱中點(diǎn)，求截面 A M C 把幾何體分成的兩部分的體積之比． 第 11講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 ( 1 ) 證明：依題意知， PA ＝ 1 ， PD ＝ 2 ， ∴ AD ⊥ AB ，又 CD ∥ AB ， ∴ CD ⊥ AD 又 ∵ 平面 P A D ⊥ 平面 ABCD ，平面 P A D ∩ 平面 A B C D ＝ AD ， 由面面垂直的性質(zhì)定理知 CD ⊥ 平面 P A D ( 2 ) 設(shè) N 是 AB 的中點(diǎn)，連接 MN ，依題意， PA ⊥ AD ， PA ⊥ AB ， 所以 PA ⊥ 面 ABCD ，因?yàn)?MN ∥ PA ，所以 MN ⊥ 面 A B C D . VM A B C＝13MN S △ABC＝131212 2 2 ＝16， VP A B C D＝13PA SA B C D＝13PA CD ＋ AB2AD ＝131 1 ＋ 221 ＝12， 所以， VP A D C M＝ VP A D C B－ VM A C B＝12－16＝13， VP A D C M∶ VM A C B＝兩部分體積比為 2 ∶ 1. 規(guī)律技巧提煉 第 11講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．關(guān)于三視圖的應(yīng)用，要善于觀察，善于想象，要從不同的角度去理解圖形的特點(diǎn)，三視圖之間的 規(guī)律是：正俯長對正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相等． 2 ．計算多面體表面積要弄清多面體各個面的形狀，然后逐個求出面積，再取和．計算旋轉(zhuǎn)體的表面 積，要注意合理運(yùn)用公式計算，特別要熟悉它們的側(cè)面展開圖的形狀． 3 ．關(guān)于體積計算問題，要特別關(guān)注三棱錐體積的計算方法，注意靈活選擇底面． 4 ．有關(guān)球的組合體問題，作圖是難點(diǎn)，此時可不作出球的直觀圖，要注意給球定位、定量，球的位 置由球心確定，球的大小由半徑確定，還要注意有關(guān)的截面圖形特點(diǎn)． 第 12講 │ 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 第 12講 點(diǎn)、直線、平面 之間的位置關(guān)系 主干知識整合 第 12講 │ 主干知識整合 一、平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常常轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖． 第 12講 │ 主干知識整合 二、解決平行問題時要注意以下結(jié)論的應(yīng)用 1 ．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行． 2 ．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面． 3 ．一條直線與兩平行平面中的一個相交，那么它與另一個也相交． 4 ．平行于同一條直線的兩條直線平行． 5 ．平行于同一個平面的兩個平面平行． 6 ．如果一條直線與兩個相交平面都平行，那么這條直線必與它們的交線平行． 第 12講 │ 主干知識整合 三、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖． 在垂直的相關(guān)定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面．當(dāng)題目中有面面垂直的條件時，一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 線線、線面的平行與垂直的應(yīng)用 例 1 在直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 ＝2 ，底面是邊長為 1 的正方形， E 、 F 分別是棱 B 1 B 、DA 的中點(diǎn)． ( 1) 求證： BF ∥ 平面 AD 1 E ； ( 2) 求證： D 1 E ⊥ 平面 AEC . 圖 4－ 12－ 1 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 ( 1) 方法一：取 DD1的中點(diǎn) G ，連接 GB ， GF . ∵ E 、 F 分別是棱 BB DA 的中點(diǎn)， ∴ GF ∥ AD1， BE ∥ D1G 且 BE ＝ D1G ， ∴ 四邊形 BED1G 為平行四邊形， ∴ BG ∥ D1E . 又 D1E 、 D1A ? 平面 AD1E ， BG 、 GF ? 平面 AD1E ， ∴ BG ∥ 平面 AD1E ， GF ∥ 平面 AD1E . ∵ BG 、 GF ? 平面 B G F ，且 BG ∩ GF ＝ G ， ∴ 平面 B G F ∥ 平面 AD1E . ∵ BF ? 平面 B G F ， ∴ BF ∥ 平面 AD1E . 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 方法二： ( 1 ) 取 AD1的中點(diǎn)為 M ，連接 FM 、 EM ，則 FM ∥DD1，且 FM ＝12DD1，又因 BE ∥ DD1，且 BE ＝12DD1，則有 FM ∥BE 且 FM ＝ BE ， ∴ 四邊形 B E M F 為平行四邊形， ∴ BF ∥ EM ，又 ∵ BF ? 平面 AD1E ， EM ? 平面 AD1E ， ∴ BF ∥ 平面 AD1E . ( 2) ∵ AA1＝ 2 ， A1D1＝ 1 ， ∴ AD1＝ AA21＋ A1D21＝ 5 . 同理可得 AE ＝ 2 ， D1E ＝ 3 . ∵ AD21＝ D1E2＋ AE2， ∴ D1E ⊥ AE . 同理可證得 D1E ⊥ CE . 又 AE ∩ CE ＝ E ， AE ? 平面 AEC ， CE ? 平面 AEC ， ∴ D1E ⊥ 平面 AEC . 【 點(diǎn)評 】 證明線面平行有兩個途徑，一是由線線平行得到，另一個是由面面平行得到，它體現(xiàn)了三種關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的化歸思想．證明線面垂直道理一樣． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 面面平行與垂直的應(yīng)用 例 2 如圖 4 － 12 － 2 所示，棱柱 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 為菱形，平面AA 1 C 1 C ⊥ 平面 ABCD . ( 1) 求證： BD ⊥ AA 1 ； ( 2) 求證：平面 AB 1 C ∥ 平面 DA 1 C 1 ； ( 3) 在直線 CC 1 上是否存在點(diǎn) P ，使 BP ∥平面 DA 1 C 1 ？若存在，確定點(diǎn) P 的位置；若不存在，說明理由． 圖 4－ 12－ 2 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 證明： ( 1) 連接 BD ， ∵ 面 ABCD 為菱形， ∴ BD ⊥AC ，由于平面 AA1C1C ⊥ 平面 ABCD ，則 BD ⊥ 平面AA1C1C ，又因 AA1? 平面 AA1C1C ，故 BD ⊥ AA1. ( 2) 連接 AB1， B1C ，由棱柱 ABCD － A1B1C1D1的性質(zhì)知 AB1∥ DC1，因 AB1? 平面 DA1C1， DC1? 平面DA1C1， AB1∥ 平面 DA1C1， 同理可證 B1C ∥ 平面 DA1C1，而 AB1∩ B1C ＝ B1， 由面面平行的判定定理知 平面 AB1C ∥ 平面 DA1C1 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【 點(diǎn)評 】 面面的平行與線面的平行可等價轉(zhuǎn)化；同理 ， 面面的垂直與線面的垂直也可等價轉(zhuǎn)化；要注意判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 平面圖形的折疊問題 例 3 [ 2010 浙江卷 ] 如圖 4 － 12 － 3 所示 ，在矩形 ABCD 中 ， 點(diǎn) E ， F 分別在線段 AB ，AD 上 ， AE ＝ EB ＝ AF ＝23FD ＝ 4. 沿直線 EF將 △ AEF 翻折成 △ A ′ EF ， 使平面 A ′ EF ⊥平面 BEF . ( 1 ) 求二面角 A ′ － FD － C 的余弦值 ； ( 2 ) 點(diǎn) M ， N 分別在線段 FD ， BC 上 ， 若沿直線 MN 將四邊形 M N C D 向上翻折 ， 使 C與 A ′ 重合 ， 求線段 FM 的長 ． 圖 4－ 12－ 3 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 方法一： ( 1) 取線段 EF 的中點(diǎn) H ， AF 的中 點(diǎn) G ，連接 A ′ G ， A ′ H ， GH . 因?yàn)?A ′ E ＝ A ′ F 及 H 是 EF 的中點(diǎn)， 所以 A ′ H ⊥ 平面 AEF ， 又因?yàn)槠矫?A ′ EF ⊥ 平面 BEF ， 所以 A ′ H ⊥ 平面 BEF ， 又 AF ? 平面 BEF ，故 A ′ H ⊥ AF ， 又因?yàn)?G 、 H 是 AF 、 EF 的中點(diǎn)， 易知 GH ∥ AB ，所以 GH ⊥ AF ，于是 AF ⊥ 面 A ′ GH ， 所以 ∠ A ′ GH 為二面角 A ′ － DH － C 的平面角， 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 在 Rt △ A ′ GH 中， A ′ H ＝ 2 2 ， GH ＝ 2 ， A ′ G ＝ 2 3 ， 所以 c os ∠ A ′ GH ＝33. 故二面角 A ′ － DF － C 的余弦值為33. ( 2) 設(shè) FM ＝ x ， 因?yàn)榉酆螅?C 與 A ′ 重合， 所以 CM ＝ A ′ M ， 而 CM2＝ DC2＋ DM2＝ 82＋ (6 － x )2， A ′ M2＝ A ′ H2＋ MH2＝ A ′ H2＋ MG2＋ GH2＝ (2 2 )2 得 x ＝214， 經(jīng)檢驗(yàn)，此時點(diǎn) N 在線段 BC 上，所以 FM ＝214. 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 方法二： ( 1) 取線段 EF 的中點(diǎn) H ，連接 A ′ H ，因?yàn)锳 ′ E ＝ A ′ F 及 H 是 EF 的中點(diǎn)，所以 A ′ H ⊥ EF ，又因?yàn)槠矫?A ′ EF ⊥ 平面 BEF . 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A － xy z 則 A ′ ( 2,2,2 2 ) ， C ( 10,8,0) ， F ( 4,0,0) ， D ( 10,0,0 ) ． 故 FA→＝ ( － 2,2,2 2 ) ， FD→＝ ( 6,0,0 ) ． 設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 為平面 A ′ FD 的一個法向量， 所以????? － 2 x ＋ 2 y ＋ 2 2 z ＝ 0 ，6 x ＝ 0. 第 12講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 取 z ＝ 2 ，則 n ＝ (0 ，－ 2 ， 2 ) ． 又平面 BEF 的一個法向量 m ＝ ( 0,0, 1) ， 故 c os 〈 n ， m 〉＝n m| n || m |＝33. 所以二面角的余弦值為33， ( 2) 設(shè) FM ＝ x ，則 M (4 ＋ x, 0,0) ， 因?yàn)榉酆螅?C 與 A 重合，所以 CM ＝ A ′ M ， 故， (6 － x )2＋ 82＋ 02＝ ( － 2 － x )2＋ 22＋ (2 2 )2，得 x ＝214， 經(jīng)檢驗(yàn)，