高考數(shù)學第一輪復習——立體幾何(二)(理)-文庫吧
2025-07-04 15:14 本頁面
【正文】 ， PB=2 ∴ BE=DE= 210 ， BD=2 第 6頁 版權所有 不得復制 ∴ BF=15152 另 hSVVP A DA B DPA B C DP ??? ??? 3121 5152?h （ 2） ? ? dPABCd ?, （ BC，面 PAD） =d （ B，面 PAD） = 5152 （ 3）過 H作 HM⊥ PD于 M HMPDHM MHACP D HAC ???????? 面 為公垂線 231,2,3 ????? HMDHPDPH [例 6] 直二面角 ?? ??l ， AB∩ A?? ， BAB ??? ， AB 與 ? 所成角為 ? ， AB 與 ? 所成角為 ? ，求證： 2??? ?? 。 證明： 過 A作 AC⊥ l 于 C，過 B作 BD⊥ l 于 D ∴ AC⊥ ? BD⊥ ? ∠ BAD=? ∠ ABC=? ∴ ABBD??sin ∴ 2??? ?? ABBCBAC ??sin BCBD? 第 7頁 版權所有 不得復制 ∴ BAC??? 2?????BAC 當且僅當 C、 D重合時，2??? ?? [例 7] 如圖所示，已知直線 AB⊥平面 ? ，線段 BC? ? ， CD⊥ BC且 CD與平面 ? 成 30176。的角，設 AB=BC=CD=2， CE是 CD 在平面 ? 內的射影。 （ 1）求證： AD 與 BC是異面直線； （ 2）求 AC 與 DE之間距離； （ 3）求 AD 與 BC所成角的度數(shù)。 解析： （ 1） 證明： 假設 AD 與 BC在同一個平面內， ∵ AB⊥ ? ， BC? ? ∴ AB⊥ BC，又 CD⊥ BC，∴ AB//CD，∴ CD⊥ ? ，這與 CD與 ? 成 30176。角矛盾 ∴ AD 與 BC是異面直線 （ 2）∵ CE是 CD在平面 ? 內的射影 ∴ DE⊥ ? ，從而 DE⊥ CE 由 BC⊥ CD得 BC⊥ CE，由 AB⊥ ? ， CE? ? 得 CE⊥ AB ∴ CE⊥平面 ABC， AC? 平面 ABC ∴ CE⊥ AC ∴ CE是 AC 與 DE的公垂線， CD=2，∠ DCE=30176。 ∴ CE= 3 （ 3）延長 DE到 F，使 EF=DE，則 DF?//AB 連接 BF，則 BF?//AD ∴ ∠ FBC是 AD 與 BC所成的角 ∴ ∠ FBC=45176。 [例 8] 如圖所示，四面體 ABCS中， SA、 SB、 SC兩兩垂直，∠ SBA=45176。，∠ SBC=60176。，M為 AB 的中點，求： （ 1） BC與平面 SAB所成的角； （ 2） SC與平面 ABC所成角的正切值。 第 8頁 版權所有 不得復制 解析： （ 1）∵ CS⊥ SB， CS⊥ SA ∴ SC⊥平面 SAB ∴ BC在平面 SAB上的射影為 SB ∴ ∠ SBC為 SB與平面 SAB所成的角，又∠ SBC=60176。 故 BC與平面 SAB 所成的角為 60176。 （ 2）連結 MC，在 ASBRt? 中，∠ SBA=45176。 ∴ SM⊥ AB 又 AB⊥ SC ∴ AB⊥面 SMC ∴ 面 SMC⊥面 ABC 過點 S作 SO⊥ MC于點 O ∴ SO⊥面 ABC ∴ ∠ SCM為 SC與平面 ABC所成的角 設 SB=a ，則 SM= a22 ，在△ SBC中， SC=SBtan60176。 = a3 ∴ 66tan ??? SCSMSCM [例 9] 如圖，已知四棱錐 P— ABCD的底面為直角梯形， AB//DC，∠ DAB=90176。， PA⊥底面ABCD，且 PA=AD=DC=21 AB=1， M是 PB的中點。 （ 1）證明：面 PAD⊥面 PCD； （ 2）求 AC 與 PB所成的角余弦值； （ 3）求面 AMC與面 BMC所成二面角的余弦值。 第 9頁 版權所有 不得復制 解析： （ 1） 證明： ∵ PA⊥面 ABCD， CD⊥ AD ∴ 由三垂線定理得： CD⊥ PA 因而， CD與面 PAD 內兩條相交直線 AD， PD都垂直 ∴ CD⊥面 PAD 又 CD?面 PCD ∴ 面 PAD⊥面 PCD （ 2）過點 B作 BE//CA，且 BE=CA，則∠ PBE是 AC 與 PB所成的角（或為其補角） 連結 AE，可知 AC=CB=BE=AE= 2 ，又 AB=2 所以四邊形 ACBE為正方形，由 PA⊥面 ABCD得∠ PEB=90176。 在 PEBRt? 中， BE= 2 ， PB= 5 ∴ 510c os ??? PBBEPBE ∴ AC 與 PB所成角的余弦值為 510 （ 3）作
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