【正文】 注意應(yīng)用軸截面． 此類問題的解題關(guān)鍵是能夠正確探求出幾何體與其外接球、內(nèi)切球間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，這也是此類問題解答的易錯點． 4 ．求空間幾何體的體積除了利用公式法外，還常用到分割、補形、轉(zhuǎn)化法等．特別是利用轉(zhuǎn)化法 ( 或等積法 ) 求三棱錐高的問題，用補形法解決球內(nèi)接多面體的問題，是一種好方法．但在利用 “ 割 ”“ 補 ” 法求幾何體的體積時一定要 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 辨清 “ 割 ”“ 補 ” 后幾何體的結(jié)構(gòu)特征，若辨析不清則易出現(xiàn)錯解． 5 ．空間向量法解立體幾何問題，不僅可以判斷線面間的位置關(guān)系，也是求空間角及距離的常用方法．求點面距離，離不開以該點為端點的平面的斜線 段，找對斜線段是關(guān)鍵．注意點面距離、線面距離、面面距離的相互轉(zhuǎn)化．空間向量法解答立體幾何問題的關(guān)鍵是要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，若空間直角坐標系建立不當，或空間向量的坐標出現(xiàn)錯誤，則失分較高，甚至整題皆錯，要引起足夠重視． 6 ．空間角，特別是二面角的求解，是每年高考的熱點和必考點，有時也考查線面角．求二面角最常用的方法是空間向量法，即分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，關(guān)鍵要找對法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 二面角的大小．各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來運算，但要注意結(jié)合實際圖形，能夠正確判斷 出兩向量所成的角與線線角、線面角、二面角間的關(guān)系，注意角的取值范圍，這是同學(xué)們的易混淆點，此外，運算錯誤也是常見的易錯點． 7 ．探索型 ( 或開放性 ) 試題是近年高考試題命制的 “ 新寵 ” ，此類問題的命制非常靈活，角度新穎，能夠很好地考查學(xué)生對知識的靈活運用及知識的遷移能力．解答開放性問題的基本策略是先猜結(jié)論，后證明，因此大膽假設(shè)，嚴格證明是解決開放性問題的基本策略．此類問題不知如何作答是同學(xué)們常見的困惑． 8 ．翻折問題體現(xiàn)了平面問題和空間問題間的相互轉(zhuǎn)化，能夠很好地考查學(xué)生的空間想象能力、圖形變換能力及識圖能力．在 解題過程中，若不能分清翻折前后基本量間的位置 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 關(guān)系或數(shù)量關(guān)系則易造成錯解． 【知識整合】 一、空間幾何體 1 ．三視圖 (1) 三視圖的正 ( 主 ) 視圖、側(cè) ( 左 ) 視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．畫三視圖的基本要求：正俯 ( 主俯 ) 一樣長，俯側(cè) ( 俯左 ) 一樣寬，正側(cè) ( 主左 ) 一樣高；長對正，高平齊，寬相等． 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) (2) 三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正 ( 主 ) 視圖的下面，長度與正 ( 主 ) 視圖一樣；側(cè) ( 左 ) 視圖放在正 ( 主 ) 視圖的右面，高度和正 ( 主 ) 視圖一樣，寬度與俯視圖一樣． 2 ．直觀圖 斜二測畫法：在坐標系 x ′ O ′ y ′中畫直觀圖時，已知圖形中平行于坐標軸的線段保持平行性不變，平行于 x 軸( 或在 x 軸上 ) 的線段保持長度不變，平行于 y 軸 ( 或在 y 軸上 ) 的線段長度減半． 3 ．柱體、錐體、臺體和球的表面積與體積 (1) 表面積公式： ① 圓柱的表面積 S ＝ 2 π r ( r ＋ l )( 圓柱的底面半徑為 r ，母線長為 l ) ； ② 圓錐的表面積 S ＝π r ( r ＋ l )( 圓錐的底面半徑為 r ，母線長為 l ) ； 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) ③ 圓臺的表面積 S ＝π ( r ′2＋ r2＋ r ′ l ＋ rl )( 圓臺的上、下底面半徑分別為 r ′、 r ， 母線長為 l ) ； ④ 球的表面積 S ＝ 4 π R2( 球的半徑為 R ) ． (2) 體積公式： ① 柱體的體積 V ＝ Sh ( S 為底面面積， h為高 ) ； ② 錐體的體積 V ＝13Sh ( S 為底面面積， h 為錐體的高 ) ； ③ 臺體的體積 V ＝13( S ′＋ SS ′ ＋ S ) h ( S ′， S 分別為上、下底面面積， h 為臺體的高 ) ； ④ 球的體積 V ＝43π R3( 球的半徑為 R ) ． (3) 正四面體： 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 對于棱長為 a 的正四面體可將它補成一個邊長為22a 的正方體． 對棱間的距離為22a ( 正方體的邊長 ) ． 正四面體的高為63a (23l 正方體體對角線長 ) ． 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 正四面體的體積為212a3( V 正方體 － 4 V 小三棱錐 ＝13V 正方體 ) ． 正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為 1 ∶ 3 ( 即16l正方體體對角線長 ∶12l 正方體體對角線長 ) ． 外接球的半徑為64a ( 是正方體的外接球，則半徑等于12l 正方體體對角線長 ) ． 內(nèi)切球的半徑為612a ( 是正四面體中心到四個面的距 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 離，則半徑等于16l 正方體體對角線長 ) ． 二、點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1 ．直線與平面的位置關(guān)系 (1) 線線平行的判斷： ① 平行于同一條直線的兩條直線平行． ② 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行． ③ 如果兩個平行平面同時和 第三個平面相交，那么它們的交線平行． ④ 垂直于同個一平面的兩條直線平行． ⑤ 如果一條直線與兩個相交平面都平行，那么這條直線必與它們的交線平行． 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) (2) 線面平行的判斷： ① 判定定理：如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行．一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則不一定線面平行． ② 轉(zhuǎn)化為面面平行再推證線面平行．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面． ③ 一條直線在兩個平行平面外，且與其中一個平面平行，則這一直線與另一個平面也平行． (3) 線面垂直的判斷： ① 如果一條直線 和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面． ② 如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面． 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) ③ 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面． ④ 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面． (4) 直線與平面的垂直問題 ① 在判定定理中，易忽視兩條直線為 “ 相交直線 ”． ② 過一點有且只有一條直線與一個平面垂直；過一點有且只有一個平面和一條直線垂直． 2 ．平面與平面的位置關(guān)系 (1) 平面與平面的平行問題： ① 在面面平行的判定定理中 “ 兩條相交 直線 ” 中的 “ 相交 ” 兩個字不能忽略，否則結(jié)論不一定成立． ② 若由兩個平面平行來推證兩條直線平行時，則這兩條 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 直線必須是第三個平面與這兩個平面的交線． ③ 分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，它們可能平行，也可能異面． ④ a 、 b 為兩條異面直線， a ? α ， b ? β ，且 a ∥ β ， b∥ α ，則 α ∥ β . ⑤ 過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． ⑥ 證明兩個平面同時和第三個平面平行，則這兩個平面平行． ⑦ 空間中直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行三者之間可以互相轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) (2) 平面與平面的垂直問題： ① 判定的關(guān)鍵是結(jié)合圖形、利用條件，在一個平面內(nèi)找到一條線是另一個平面的垂線，由此可知，凡是包含此線的面都與另一個面垂直． ② 空間中直線與直線垂直，直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以互相轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為 ③ 利用面面垂直的性質(zhì)定理添加面的垂線時，一定要注意是在某一平面內(nèi)作交線的垂線．此線即為另一個平面的垂 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 線，否則結(jié)論不一定成立． ④ 幾個常用結(jié)論：垂直于同 一條直線的兩個平面平行；垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交；垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交或異面． 三、空間向量與立體幾何 1 ． (1) 證明線面平行： ① 證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行； ② 證明這條直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直． (2) 證明面面平行：證明兩個平面的法向量相互平行． (3) 證明線線垂直： a ⊥ b ? a 178。 b ＝ 0. 2 ．空間角的類型與范圍 (1) 異面直線 a ， b 所成的角 ( θ ) ： cos θ ＝ |co s 〈 a ， b 〉 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) | ， 0 ＜ θ ≤π2( a ， b 分別為直線 a 、 b 的方向向量 ) ； (2)直線 a 與平面 α 所成的角 ( θ ) ： sin θ ＝ |cos 〈 n ， a 〉 |( n為平面 α 的法向量， a 為直線 a 的方向向量 ) ， 0 ≤ θ ≤π2；(3) 二面角 α — l — β ( θ ) ： cos 〈 m ， n 〉＝m 178。 n| m | 178。 | n |( m ， n為平面 α ， β 的法向量 ) ， θ ＝〈 m ， n 〉或π－〈 m ， n 〉， 0≤ θ ≤ π . 3 ．求空間距離：直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離．點 P 到平面 α 的距離： d ＝ 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) | PM→178。 n || n |( 其中 n 為 α 的法向量， M 為平面 α 內(nèi)的任意一點 ) ． 【考點聚焦】 熱點一：空間幾何體的三視圖、表面積和體積 空間幾何體的表面積、體積問題一直是高考的熱點內(nèi)容，此考點多結(jié)合三視圖綜合考查，由三視圖中的數(shù)據(jù)得到原幾何體的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵，要牢牢抓住各種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．此熱點試題多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，有時也以解答題的形式考查，屬較容易題或中檔題． 三棱錐 V — ABC 的底面 ABC 為正三角形，側(cè)面 VAC 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 垂直于底面， VA ＝ VC ，已知其正 ( 主 ) 視圖 ( VAC ) 的面積為23，則其側(cè) ( 左 ) 視圖的面積為 ( ) ． A.32 B.36 C.34 D.33 【分析】本例的解題關(guān)鍵是正確畫出側(cè) ( 左 ) 視圖的形狀，然后再根據(jù)幾何體的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)計算出其面積． 【解析】由題可知，三棱錐的側(cè) ( 左 ) 視圖是一個直角三角形，設(shè)底面邊長為 a ，側(cè)面 VAC 的高為 h ，則23＝12ah ，所以 S ＝12179。32ah ＝34ah ＝33. 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【答案】 D 【歸納拓展】分清側(cè) ( 左 ) 視圖中三棱錐的高和棱 VA ，VC 是不同的，和側(cè)面的高也是不同的．正 ( 主 ) 視圖和俯視圖的長相等，正 ( 主 ) 視圖和側(cè) ( 左 ) 視圖的高相等，俯視圖和側(cè) ( 左 ) 視圖的寬相等．長對正，高平齊，寬相等是畫三視圖必須遵循的法則． 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 變式訓(xùn)練 1 (2022 新課標全國卷 ) 在一個幾何體的三視圖中，正 ( 主 ) 視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè) ( 左 )視圖可以為 ( ) ． 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) 【解析】由該幾何體的正 ( 主 ) 視圖、俯視圖可知：該幾何體可視為由半個圓錐和一個三棱錐組合而成的，從而側(cè)( 左 ) 視圖應(yīng)為 D. 【答案】 D 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ( ) ． 專題 5 熱點重點難點專題透析 數(shù)學(xué) (理科 ) A ． 4 ＋5 π2 B ． 4 ＋3 π2 C ． 4 ＋π2 D ． 4 ＋π 【分析】該幾何體是由一個圓柱與一個長方體組成的，其中重疊了一部分． 【解析】 V ＝ 2 179。 2 179。 1 ＋ 3 π－π2＝ 4 ＋5 π2. 故選 A. 【答案】 A 【歸納拓展】 (1) 求規(guī)則幾何體的體積，關(guān)鍵是確定底面和高，要注意多角度、多方位地觀察，選擇恰當?shù)牡酌婧透?，例如求錐體的體積，常用到等積變換法和割補法； (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則幾何體，再進一步求解． 專題 5 熱點重點難點專題透