【正文】 ( x1－ x2， y1－ y2) ， λa ＝ ( λx1＋ λy1) ， a c o s θ 叫做向量 a 在向量 b 方向上的投影 ( θ 為向量 a ， b 的夾角 ) ． ( 1 ) a 6 ＋ 2432＝ 3 2 ＋ 6 . 所以，炮艦 C 到目標(biāo) A ， B 的距離分別是 6 k m 和 (3 2 ＋ 6 ) k m ；炮艦 D 到目標(biāo) A ， B 的距離分別是 6 3 k m 和 2 6 k m . ( 2 ) 在 △ A B D 中，由余弦定理知 AB ＝ AD2＋ BD2－ 2 AD s i n ∠ BCDs i n ∠ C B D＝6 2232＝ 2 6 ， 第 7講 │ 要點熱點探究 BC ＝CD c o s 1 2 0 176。 ， ∠ ADB ＝ 4 5 176。 ＋ 1s i n 7 0 176。 2 c o s 2 0 176。 ＝c o s 4 0 176。 ＋ s i n 5 0 176。 β ≠ k π177。 α ， k ∈ Z 的三角函數(shù)值 ” 與 “ α角的三角函數(shù)值 ” 的關(guān)系可按下面口訣記憶：有奇變偶不變，符號看象限． ( 對于 k π2177。 1 ＋ a2，即－32＋12a ＝ 177。 在此狀態(tài)下，如果有的公式雙擊后無法用公式編輯器編輯，請選中此公式，點擊右鍵、 “ 切換域代碼 ” ，即可進(jìn)行編輯。 c o s ωx ＝c o s 2 ωx2＋32s i n 2 ωx ＋12 ＝ s i n 2 ωx ＋π6＋12. ∵ T ＝2π2 ω＝ 2π ， ∴ ω ＝12， 則 f ( x ) ＝ s i n x ＋π6＋12， 由 2 k π －π2≤ x ＋π6≤ 2 k π ＋π2， 得 2 k π －2π3， 2 k π ＋π3( k ∈ Z ) 為單調(diào)遞增區(qū)間 ． 第 6講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) ∵ x ＝π6是函數(shù)的一條對稱軸 ， ∴ 2 ω π6＋π6＝ k π ＋π2， ∴ ω ＝ 3 k ＋ 1. 又 ∵ 0 ω 2 ， k ∈ Z ， ∴ 當(dāng) k ＝ 0 時 ， ω ＝ 1 ， ∴ f ( x ) ＝ s i n 2 x ＋π6＋12， ∴ 周期為 π ， 值域為 －12，32. 【點評】 探求三角函數(shù)的性質(zhì)一般要先將三角函數(shù)解析式化成 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ B 的形式 ， 再借助于正弦曲線性質(zhì)來處理 ． 第 6講 │ 要點熱點探究 例 4 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 3 s i n x c o s x ＋ 2 c o s2x － 1 ( x ∈ R ) ． ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的最小正周期及在區(qū)間 0 ，π2上的最大值和最小值 ； ( 2 ) 若函數(shù) f ( x ＋ φ ) 為偶函數(shù) ， 且 | φ |π2， 求角 φ 的值 ． 第 6講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 由 f ( x ) ＝ 2 3 s i n x c o s ＋ 2 c o s2x － 1 ，得 f ( x ) ＝ 3 ( 2 s i n x c o s x ) ＋ ( 2 c o s2x － 1) ＝ 3 s i n 2 x ＋ c o s 2 x ＝ 2 s i n 2 x ＋π6， 所以函數(shù) f ( x ) 的最小正周期為 π 因為 f ( x ) ＝ 2 s i n 2 x ＋π6在區(qū)間 0 ，π6上為增函數(shù)，在區(qū)間π6，π2上為減函數(shù)，又 f ( 0 ) ＝ 1 ， fπ6＝ 2 ， f??????π2＝－ 1 ，所以函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 0 ，π2上的最大值為 2 ，最小值為－ 1. 第 6講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 f ( x ＋ φ ) ＝ s i n 2 x ＋ 2 φ ＋π6， 且為偶函數(shù) ， 由偶函數(shù)的定義可知 f ( － x ＋ φ ) ＝ f ( x ＋ φ ) ， 即 2 s i n － 2 x ＋ 2 φ ＋π6＝ 2 s i n 2 x＋ 2 φ ＋π6， 整理得 2 s i n 2 x β ) ＝ s i n α c o s β 177。 ＋ s i n 5 0 176。 ＋ 3 s i n 1 0 176。2 c o s ? 60176。c o s 1 0 176。 ＝2 c o s22 0 176。 ＝ 1 2 0 176。 － 4 5 176。s i n 6 0 176。 ＝ 1 0 8 ＋ 24 － 2 6 3 2 6 22＝ 2 15 ， 即兩目標(biāo)之間的距離是 2 15 k m . 第 7講 │ 要點熱點探究 【點評】 不可直接到達(dá)的兩點之間的距離測量是解三角形的實際應(yīng)用之一，在這類測量問題中必須知道一個距離，然后再測量觀測點和目標(biāo)之間的各種角度，然后再根據(jù)各個三角形，分析所要測量的距離所在的三角形的求解所需要的量，這些量可以借助于其他的三角形求解，這就是解決測量問題的基本思想．如本題中為了求解 AB ，只要在 △ A C D ， △ B C D 中根據(jù)正弦定理求出 AD ， BD ，然后在△ ABD 使用余弦定理即可達(dá)到解決問題的目的． 教師備用題 第 7講 │ 教師備用題 備選理由： 1 是正、余弦定理的基本應(yīng)用； 2,3 是平面向量與解三角形的綜合，可用于強(qiáng)化訓(xùn)練． 1 ． 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ，已知 c o s A ＝45， b ＝ 5 c . ( 1) 求 s in C 的值； ( 2) 求 s in ( 2 A ＋ C ) 的值； ( 3) 若 △ ABC 的面積 S ＝32s in B s i n C ，求 a 的值． 第 7講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) ∵ a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c o s A ＝ 26 c2－ 10 c245＝ 18 c2，∴ a ＝ 3 2 c . ∵ c o s A ＝45， 0 A π ， ∴ s i n A ＝35. ∵as i n A＝cs i n C， ∴ s i n C ＝c s i n Aa＝c 353 2 c＝210. 第 7講 │ 教師備用題 ( 2 ) ∵ c a ， ∴ C 為銳角， ∴ c o s C ＝ 1 － s i n2C ＝7 210. ∵ s i n 2 A ＝ 2 s i n A c o s A ＝ 2 3545＝2425， c o s 2 A ＝ 2 c o s2A － 1 ＝ 2 1625－ 1 ＝725， ∴ s i n ( 2 A ＋ C ) ＝ s i n 2 A c o s C ＋ c o s 2 A s i n C ＝24257 210＋725210 ＝7 210. 第 7講 │ 教師備用題 ( 3 ) ∵ b ＝ 5 c ， ∴s i n Bs i n C＝bc＝ 5 ， s i n B ＝ 5 s i n C . ∴32s i n B s i n C ＝152s i n2C ＝320. 又 ∵ S ＝12bc s i n A ＝32c2＝a212， ∴a212＝320， ∴ a ＝3 55. 第 7講 │ 教師備用題 2 ． 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所對的邊分別為 a ， b ， c ( 其中 a ≤ b ≤ c ) ，設(shè)向量 m ＝ ( c o s B ， s in B ) ， n ＝ (0 ， 3 ) ，且向量m － n 為單位向量． ( 1) 求 B 的大?。? ( 2) 若 b ＝ 3 ， a ＝ 1 ，求 △ ABC 的面積． 第 7講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) ∵ m － n ＝ ( c o s B ， s i n B － 3 ) ， | m － n |＝ 1 ， ∴ c o s2B＋ ( s i n B － 3 )2＝ 1 ，解得 s i n B ＝32. 又 B 為三角形的內(nèi)角，由 a ≤ b ≤ c ，故 B ＝π3. ( 2 ) 根據(jù)正弦定理，知as i n A＝bs i n B，即1s i n A＝3s i nπ3， ∴ s i n A ＝12.又 a ≤ b ≤ c ， ∴ A ＝π6. ∴ C ＝π2， ∴ S△ A B C＝12ab ＝32. 第 7講 │ 教師備用題 3 ． 已知向量 m ＝ s in A ，12與 n ＝ (3 ， s in A ＋ 3 c o s A ) 共線，其中 A 是 △ A B C 的內(nèi)角． ( 1) 求角 A 的大?。? ( 2) 若 BC ＝ 2 ，求 △ ABC 面積 S 的最大值，并判斷 S 取得最大值時 △ A B C 的形狀． 第 7講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) 因為 m ∥ n ，所以 s i n A a ； ② c o s θ ＝a ( a － b ) ＝ 0 ； ④ 若 a 與 b平行，則 a 兩種， a b )2＝ 0. 第 8講 │ 要點熱點探究 【點評】 無論是概念辨析題 、 還是命題類辨析題都是對知識的多方面考查 ， 這類試題的知識容量較大 ， 包含的范圍也較廣 ， 解答辨析題時需要把各種可能情況都考慮進(jìn)去 ， 逐個進(jìn)行辨析 ， 特別要注意一些隱含條件和各個問題之間的細(xì)微差異 ． 當(dāng)兩個實數(shù)的乘積等于零時 ， 這兩個實數(shù)至少有一個等于零 ， 但兩個向量的數(shù)量積為零時除了這兩個向量至少有一個為零向量外 ， 還含有這兩個向量互相垂直的情況 ， 這是實數(shù)的乘法運(yùn)算與向量的數(shù)量積運(yùn)算之間的差別之一 ． 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) 已知非零向量 a ， b ，則 “ a ∥ b ” 是 “ a ＋ b ＝ 0 ”的 ( ) A ．充分不必要條件 B ．必要不充分條件 C ．充分必要條件 D ．既不充分也不必要條件 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 已知向量 a ， b 和實數(shù) λ ， 下列等式中錯誤的是( ) A ． | a |＝ a a ＝ ??????a2，故 | a |＝ a b |＝| a | ( 3 ， λ ) － (32＋ λ2) ＝ 0 ，即 3 ＋ 2 λ － λ2＝ 0 ，解得 λ ＝－ 1 或 λ ＝ 3. 答案為－ 1 或 3. 【點評】 這類問題的基本解法是根據(jù)兩向量平行和垂直的條件列出方程組求解． 第 8講 │ 要點熱點探究 已知向量 a ＝ ( s i n θ ， 1) ， b ＝ (1 ， c o s θ ) ，－π2 θ π2 . ( 1 ) 若 a ⊥ b ，求 θ ； ( 2 ) 求 | a ＋ b |的最大值． 第 8講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) a ⊥ b ? a c| a || c |＝－12. ∵ 0 ≤ 〈 a ， c 〉 ≤ π ， ∴ 〈 a ， c 〉＝2π3. 即向量 a ， c 的夾角為2π3. 第 8講 │ 教師備用題 ( 2 ) f ( x ) ＝ 2 a b| a | b ＝ 0 ， 即 ( 1 , 2 － λ ) b |＝ | a | b ) ＝ λ a | b |. ( 2 ) 根據(jù)平面向量基本定理，必須在 a ， b 不共線的情況下，若 λa ＋ μb ＝ 0 ，則 λ ＝ μ ＝ 0 ；選項 B 顯然錯誤；若 a ∥ b ，則 a在 b 上的投影為 | a |或－ | a |，平行時分兩向量的所成的角為 0176。 b ＝ ( a b |≤ | a | c o sα22等 ． 3 ． 三角恒等變換一般用于三角函數(shù)的化簡 、 求值和三角恒等式的證明 ， 其中三角函數(shù)的求值最為重要 ， 有三類