【正文】 相反 ” 的變化過程 ， 把握其實質(zhì) ． 3 ． 不論是由解析式作圖象 ， 還是由圖象求解析式一般都采用 “ 五點法 ” ． 第 6講 │ 主干知識整合 二、三角函數(shù)的性質(zhì) ( 定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性 ) 1 ．三角函數(shù)的單調(diào)性是三角函數(shù)最核心的性質(zhì)，求定義域、值域、最值問題一般都與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)． 2 ．對于函數(shù) y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ，周期 T ＝2π| ω |，其對稱軸是函數(shù)取得最大值或最小值所對應(yīng)的直線，可由 ωx ＋ φ ＝ k π ＋π2， k ∈ Z 求出；其對稱中心是函數(shù)圖象與 x 軸的交點，可由 ωx ＋ φ ＝ k π ， k ∈ Z 求出；只有當(dāng)其可化為： y ＝ 177。四川卷 ] 將函數(shù) y ＝ s in x 的圖象上所有的點向右平行移動π10個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍 ( 縱坐標(biāo)不變 ) ，所得圖象的函數(shù)解析式是 ( ) A ． y ＝ s in 2 x －π10 B ． y ＝ s in 2 x －π5 C ． y ＝ s in12x －π10 D ． y ＝ s in12x －π20 第 6講 │ 教師備用題 【解析】 C 將函數(shù) y ＝ s i n x 的圖象上所有的點向右平行移動π10個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為 y ＝ s i n x －π10；再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍 ( 縱坐標(biāo)不變 ) ，所得圖象的函數(shù)解析式是 y ＝ s i n12x －π10. 第 6講 │ 教師備用題 2 ． [ 2022 β ) ＝ c o s α c o s β ? s i n α s i n β ， t a n ( α 177。 ?s i n 7 0 176。s i n 7 0 176。 ?c o s 1 0 176。 ＝ 2 . 第 7講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 已知 α ∈π2， π ，且 s i nα2＋ c o sα2＝62. ① 求角 α 的值； ② 若 s i n ( α － β ) ＝－35， β ∈π2， π ，求 c o s β 的值． 第 7講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 2 ) ① 由題意得 1 ＋ s i n α ＝32， ∴ s i n α ＝12， 又 α ∈π2， π ，所以 α ＝5π6； ② 由 ① 得 s i n α ＝12， c o s α ＝－32， 因為 α ∈π2， π ， β ∈π2， π ， 所以－π2 α － β π2， 又 s i n ( α － β ) ＝－35，所以 c o s ( α － β ) ＝45， 從而 c o s β ＝ c o s [ α － ( α － β )] ＝ c o s α c o s ( α － β ) ＋ s i n α s i n ( α － β ) ＝－3245＋12 －35＝－4 3 ＋ 310. 第 7講 │ 要點熱點探究 【點評】 ( 1 ) 是給角求值的題型，要統(tǒng)一角和函數(shù)名稱，從切化弦入手，具體的化簡過程不唯一； ( 2 ) 是給值求角和給值求值的題型，給值求角一是要求出角的某種三角函數(shù)值，二是要確定角的范圍，從而確定角的大小；給值求值要注意已知式與要求式之間的聯(lián)系． 要點熱點探究 第 7講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 三角函數(shù)的化簡與證明 例 2 化簡：sinπ4＋ α ? cos2α － sin2α ?cosπ4＋ α cos2π4－ α. 第 7講 │ 要點熱點探究 【解答】 s i nπ4＋ α ? c o s2α － s i n2α ?c o sπ4＋ α c o s2π4－ α ＝c o sπ4－ α c o s 2 αs i nπ4－ α c o s2π4－ α＝c o s 2 αs i nπ4－ α c o sπ4－ α ＝c o s 2 α12s i nπ2－ 2 α＝2 c o s 2 αc o s 2 α＝ 2. 第 7講 │ 要點熱點探究 【點評】 三角恒等式的化簡實質(zhì)就是 “ 統(tǒng)一 ” ， 能找到統(tǒng)一角的途徑也就找準(zhǔn)了解題的切入點 ， 注意到π4＋ α ＋π4－ α ＝π2，利用誘導(dǎo)公式就可以實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一 ． 而三角恒等式的證明就是知道結(jié)果的化簡 ， 就有了明確的化簡方向 ( 目標(biāo) ) ， 證明就是 “ 去異求同 ” 的過程 ， 如下變式題 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 若 α ∈3π2 ， 2π ，求證：12 －1212 ＋12 c o s 2 α ＝s i nα2 . 【解答】 ∵ α ∈3π2， 2π ， ∴α2∈3π4， π ， 且 cos α 0 ， ∴ 左邊 ＝12－12cos2α ＝12－12cos α ＝ sin2α2＝ sinα2＝ 右邊 ， ∴等式成立 ． 要點熱點探究 第 7講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 正余弦定理的應(yīng)用 例 3 在 △ A B C 中，內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ，c ，已知 c ＝ 2 ， C ＝π3. ( 1 ) 若 △ A B C 的面積等于 3 ，求 a ， b ； ( 2 ) 若 m ＝ ( s i n C ＋ s i n ( B － A ) ， 2) ， n ＝ ( s i n 2 A, 1) ，若 m 與n 共線，求 △ ABC 的面積． 第 7講 │ 要點熱點探究 【解析】 ( 1) 根據(jù)已知條件和余弦定理可得關(guān)于 a ， b的一個方程，再根據(jù)三角形面積得關(guān)于 a ， b 的一個方程，即可求出 a ， b ； ( 2) 根據(jù) m 與 n 共線可得關(guān)于角 A ， B 的三角函數(shù)的方程，通過這個方程可以尋找角 A ， B 的三角函數(shù)的關(guān)系，求出角或者根據(jù)這個關(guān)系找到邊的 關(guān)系． 第 7講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 由余弦定理及已知條件得 a2＋ b2－ ab ＝ 4 ，12ab s i n C ＝ 3 ， 即 ab ＝ 4. 聯(lián)立方程組????? a2＋ b2－ ab ＝ 4 ，ab ＝ 4 ，解得 a ＝ 2 ， b ＝ 2. ( 2 ) ∵ m 與 n 共線 ， ∴ s i n C ＋ s i n ( B － A ) － 2 s i n 2 A ＝ 0 ， s i n ( A ＋ B ) － s i n ( A － B ) ＝ 4 s i n A c o s A ， 即 s i n B c o s A ＝ 2 s i n A c o s A . 第 7講 │ 要點熱點探究 (i) 當(dāng) c o s A ＝ 0 時， A ＝π2， B ＝π6， a ＝4 33， b ＝2 33. S ＝12ab s i n C ＝2 33； (ii) 當(dāng) c o s A ≠ 0 時，得 s i n B ＝ 2 s i n A ，由正弦定理得 b ＝ 2 a ， 聯(lián)立方程????? a2＋ b2－ ab ＝ 4 ，b ＝ 2 a . 解得 a ＝2 33， b ＝4 33. S ＝12ab s i n C ＝2 33. 綜上知 △ A B C 的面積為2 33. 第 7講 │ 要點熱點探究 【點評】 本題應(yīng)用的主要是方程思想 ． 本題的已知條件給出的是三角形邊角之間的方程 ， 通過把邊角之間的相互轉(zhuǎn)換達(dá)到解題的目的 ． 當(dāng)已知三角形的內(nèi)角的和差的三角函數(shù)時 ， 在對這些三角函數(shù)式進行變換時要注意到三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 ． 三角形內(nèi)角和定理是解任何三角形都離不開的定理 ， 這個定理雖然人人皆知 ， 但在解題中往往就忽視了這個定理的應(yīng)用 ． 要點熱點探究 第 7講 │ 要點熱點探究 ? 探究點四 解三角形與實際應(yīng)用 例 4 新華社北京 2 0 1 0 年 8 月 29 日電 ( 記者陳萬軍 ) ，記者從國防部新聞事務(wù)局獲悉，中國人民解放軍海軍北海艦隊將于 9 月 1 日至 4 日在青島東南我日常訓(xùn)練海區(qū)組織實兵演練．這是根據(jù)年度計劃舉行的例行性訓(xùn)練，主要課目是艦炮射擊．在演練中，位于 C ， D 兩處相距 6 k m 兩艘炮艦，要對目標(biāo) A ， B 實施協(xié)同打擊，為此需要確定炮艦 C ， D 到目標(biāo)的距離和兩目標(biāo) A ， B 之間的距離，在兩艘炮艦上可以測得 ∠ A C B ＝ 7 5 176。 ， ∴∠ CAD ＝ 3 0 176。 ＋4 5 176。 ＝ s i n ( 4 5 176。 等 ； ( 2 ) 項的分拆與角的配湊 ： 如 s i n2α ＋ 2 c o s2α ＝ ( s i n2α＋ c o s2α ) ＋ c o s2α ； α ＝ ( α － β ) ＋ β ， β ＝α ＋ β2－α － β2等 ； 第 7講 │ 規(guī)律技巧提煉 ( 3 ) 降次與升次 ： 正用二倍角公式升次 ， 逆用二倍角公式降次 ； ( 4 ) 弦 、 切互化 ： 一般是切化弦 ； ( 5 ) 公式的變形應(yīng)用 ： 如 s i n α ＝ c o s α t a n α ， s i n2α ＝1 － c o s 2 α2，c o s2α ＝1 ＋ c o s 2 α2， t a n α ＋ t a n β ＝ t a n ( α ＋ β )( 1 － t a n α t a n β ) ， 1 177。 | b |； ③ a | b |. 其中真命題的個數(shù)是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 下列命題中正確的是 ( ) A ．若 λa ＋ μb ＝ 0 ，則 λ ＝ μ ＝ 0 B ．若 a | b | c o s θ＝ 177。 b |＝ | a | b |＝ | a | | b |. 第 8講 │ 要點熱點探究 【點評】 ( 1) 求向量的模，用到數(shù)量積運算，比較基礎(chǔ)；(2) 是在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，理解向量語言，運用新知識解決問題，突出了能力考查．另外在向量的表示中，要注意突出基底的作用． 要點熱點探究 第 8講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 有關(guān)向量的平行、垂直問題 例 2 ( 1 ) 設(shè)向量 a ＝ (1 ， 3 ) ， b ＝ ( c o s θ ， s i n θ ) ，若 a ∥ b ，則 t a n θ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 已知向量 a ＝ ( 2 , 1 ) ， b ＝ (3 ， λ ) ，若 (2 a － b ) ⊥ b ，則 λ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) 3 ( 2 ) － 1 或 3 【解析】 ( 1 ) 既然是兩個向量平行 ， 根據(jù)兩向量平行的條件條件即可得到關(guān)于 s i n θ ， c o s θ 的方程 ， 根據(jù)這個方程解決問題 ． 方法 1 ： 根據(jù)兩向量平行的充要條件 ， 則存在實數(shù) λ 使得 a＝ λ b ， 即 ( 1 ， 3 ) ＝ λ ( c o s θ ， s i n θ ) ， 即 1 ＝ λ c o s θ ， 3 ＝ λ s i n θ ， 兩式相除得 t a n θ ＝ 3 . 方法 2 ： 由于 a ∥ b ， 故 1 c 的最小值及相應(yīng) x 的值； ( 2 ) 若 a 與 b 的夾角為π3，且 a ⊥ c ，求 t a n 2 α 的值． 第 8講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) ∵ b ＝ ( c o s x ， s i n x ) ， c ＝ ( s i n x ＋ 2 s i n α ， c o s x ＋ 2 c o s α ) ， α ＝π4， ∴ f ( x ) ＝ b n＝ s in 2 C ，且 A 、 B 、 C 分別為 △ ABC 三邊 a ， b ， c 所對的角．