【正文】 ， 但兩個向量的數(shù)量積為零時除了這兩個向量至少有一個為零向量外 ， 還含有這兩個向量互相垂直的情況 ， 這是實數(shù)的乘法運算與向量的數(shù)量積運算之間的差別之一 ． 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) 已知非零向量 a ， b ，則 “ a ∥ b ” 是 “ a ＋ b ＝ 0 ”的 ( ) A ．充分不必要條件 B ．必要不充分條件 C ．充分必要條件 D ．既不充分也不必要條件 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 已知向量 a ， b 和實數(shù) λ ， 下列等式中錯誤的是( ) A ． | a |＝ a a B ． | a b |＝ | a | | b | C ． λ ( a b ) ＝ λ a b D ． | a b |≤ | a | | b | 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) B ( 2 ) B 【解析】 ( 1 ) 兩個向量平行時， a ＝ λb ( b ≠ 0 ， λ∈ R) ，此即 a － λb ＝ 0 ，若 a ＋ b ＝ 0 ，則必須 λ ＝－ 1 ，條件不充分；若 a ＋ b ＝ 0 ，則 a ＝－ b ，一定有 a ∥ b ，故條件是必要的．所以 “ a ∥ b ” 是 “ a ＋ b ＝ 0 ” 的必要不充分條件． ( 2 ) 由于 a2＝ a a ＝ ??????a2，故 | a |＝ a a ； | a b |＝ | a | | b | | c o s θ |，可知是 | a b |＝ | a | | b |錯誤的； 根據(jù)實數(shù)與向量的乘法運算法則 λ ( a b ) ＝ λa b 正確； | a b |＝| a | | b | | c o s θ |≤ | a | | b |. 第 8講 │ 要點熱點探究 【點評】 ( 1) 求向量的模，用到數(shù)量積運算，比較基礎(chǔ)；(2) 是在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，理解向量語言，運用新知識解決問題，突出了能力考查．另外在向量的表示中，要注意突出基底的作用． 要點熱點探究 第 8講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 有關(guān)向量的平行、垂直問題 例 2 ( 1 ) 設(shè)向量 a ＝ (1 ， 3 ) ， b ＝ ( c o s θ ， s i n θ ) ，若 a ∥ b ，則 t a n θ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 已知向量 a ＝ ( 2 , 1 ) ， b ＝ (3 ， λ ) ，若 (2 a － b ) ⊥ b ，則 λ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) 3 ( 2 ) － 1 或 3 【解析】 ( 1 ) 既然是兩個向量平行 ， 根據(jù)兩向量平行的條件條件即可得到關(guān)于 s i n θ ， c o s θ 的方程 ， 根據(jù)這個方程解決問題 ． 方法 1 ： 根據(jù)兩向量平行的充要條件 ， 則存在實數(shù) λ 使得 a＝ λ b ， 即 ( 1 ， 3 ) ＝ λ ( c o s θ ， s i n θ ) ， 即 1 ＝ λ c o s θ ， 3 ＝ λ s i n θ ， 兩式相除得 t a n θ ＝ 3 . 方法 2 ： 由于 a ∥ b ， 故 1 s i n θ ＝ 3 c o s θ ， 從而 t a n θ ＝ 3 . 方法 3 ： 向量 a ， b 可以分別看作兩條直線的方向向量 ， 由于a ∥ b ， 則這兩條直線平行 ， 其斜率相等 ． 以向量 a 為方向向量的直線的斜率為 3 ， 以向量 b 為方向向量的直線的斜率是 t a n θ ， 所以 t a n θ ＝ 3 . 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 方法 1 ： a ＝??????2 ， 1 ， b ＝??????3 ， λ ，故 2 a － b ＝ ( 1 , 2 － λ ).??????2 a － b⊥ b ，故 (2 a － b ) b ＝ 0 ， 即 ( 1 , 2 － λ ) ( 3 ， λ ) ＝ 0 ，即 3 ＋ 2 λ － λ2＝ 0 ，解得 λ ＝－ 1 或 λ＝ 3. 答案為－ 1 或 3. 方法 2 ：??????2 a － b ⊥ b ，故 (2 a － b ) b ＝ 0 ，即 2 a b － b2＝ 0. 將向量坐標(biāo)代入得 2 ( 2 , 1 ) ( 3 ， λ ) － (32＋ λ2) ＝ 0 ，即 3 ＋ 2 λ － λ2＝ 0 ，解得 λ ＝－ 1 或 λ ＝ 3. 答案為－ 1 或 3. 【點評】 這類問題的基本解法是根據(jù)兩向量平行和垂直的條件列出方程組求解． 第 8講 │ 要點熱點探究 已知向量 a ＝ ( s i n θ ， 1) ， b ＝ (1 ， c o s θ ) ，－π2 θ π2 . ( 1 ) 若 a ⊥ b ，求 θ ； ( 2 ) 求 | a ＋ b |的最大值． 第 8講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) a ⊥ b ? a b ＝ 0 ? s i n θ ＋ c o s θ ＝ 0 ， ∵ －π2 θ π2， ∴ θ ＝－π4. ( 2 ) | a ＋ b |＝ | ( s i n θ ＋ 1 ， c o s θ ＋ 1 ) | ＝ ? s i n θ ＋ 1 ?2＋ ? c o s θ ＋ 1 ?2 ＝ 3 ＋ 2 2 s i n θ ＋π4， ∵ －π2 θ π2， ∴ －π4 θ ＋π43π4， ∴ s i n θ ＋π4≤ 1 , 3 ＋ 2 2 s i n ( θ ＋π4) ≤ 3 ＋ 2 2 ， ∴ | a ＋ b |≤ 3 ＋ 2 2 ＝ 2 ＋ 1 ，即 | a ＋ b |的最大值為 2 ＋ 1. 要點熱點探究 第 8講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 平面向量的綜合應(yīng)用 例 3 已知向量 a ＝ ( c o s α ， s i n α ) ， b ＝ ( c o s x ， s i n x ) ， c ＝( s i n x ＋ 2 s i n α ， c o s x ＋ 2 c o s α ) ，其中 0 α x π . ( 1 ) 若 α ＝π4，求函數(shù) f ( x ) ＝ b c 的最小值及相應(yīng) x 的值； ( 2 ) 若 a 與 b 的夾角為π3，且 a ⊥ c ，求 t a n 2 α 的值． 第 8講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) ∵ b ＝ ( c o s x ， s i n x ) ， c ＝ ( s i n x ＋ 2 s i n α ， c o s x ＋ 2 c o s α ) ， α ＝π4， ∴ f ( x ) ＝ b c ＝ c o s x s i n x ＋ 2 c o s x s i n α ＋ s i n x c o s x ＋ 2 s i n x c o s α ＝ 2 s i n x c o s x ＋ 2 ( s i n x ＋ c o s x ) ． 令 t ＝ s i n x ＋ c o s x??????π4 x π ，則 2 s i n x c o s x ＝ t2－ 1 ，且－ 1 t 2 . 則 y ＝ f ( x ) ＝ t2＋ 2 t － 1 ＝??????t ＋222－32，－ 1 t 2 . ∴ t ＝－22時， ym i n＝－32，此時 s i n x ＋ c o s x ＝－22. 由于π4 x π ，故 x ＝1 1 π12. 所以函數(shù) f ( x ) 的最小值為－32，相應(yīng) x 的值為1 1 π12. 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) ∵ a 與 b 的夾角為π3， ∴ c o sπ3＝a b| a | | b |＝ c o s α c o s x ＋ s i n α s i n x ＝ c o s ( x － α ) ． ∵ 0 α x π ， ∴ 0 x － α π ， ∴ x － α ＝π3. ∵ a ⊥ c ， ∴ c o s α ( s i n x ＋ 2 s i n α ) ＋ s i n α ( c o s x ＋ 2 c o s α ) ＝ 0 ， ∴ s i n ( x ＋ α ) ＋ 2 s i n 2 α ＝ 0 ， s i n??????2 α ＋π3＋ 2 s i n 2 α ＝ 0 ， ∴52s i n 2 α ＋32c o s 2 α ＝ 0 ， ∴ t a n 2 α ＝－35. 【點評】 本題是以平面向量為載體考查三角函數(shù)的運算 、 性質(zhì) ， 體現(xiàn)了知識的交匯運用 ． 教師備用題 第 8講 │ 教師備用題 備選理由： 1,2 涉及平面向量及三角函數(shù)的簡單計算，可用于基礎(chǔ)訓(xùn)練； 3 的綜合性較強，可用于強化訓(xùn)練． 1 ． 長度都為 2 的向量 OA→， OB→的夾角為 60176。 ，點 C 在以 O 為圓心的圓弧 AB ( 劣弧 ) 上， OC→＝ m OA→＋ n OB→，則 m＋ n 的最大值是 ( ) A ． 2 3 B .2 33 C. 3 D ． 3 3 第 8講 │ 教師備用題 【解析】 B 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向量 OA→＝ ( 2 , 0 ) ，向量 OB→＝ (1 ， 3 ) ．設(shè)向量 OC→＝ ( 2 c o s α ， 2 s i n α ) ， 0 ≤ α ≤π3. 由 OC→＝ m OA→＋ n OB→，得 ( 2 c o s α ， 2 s i n α ) ＝ (2 m ＋ n ， 3 n ) ， 即 2 c o s α ＝ 2 m ＋ n, 2 s i n α ＝ 3 n ， 解得 m ＝ c o s α －13s i n α ， n ＝23s i n α . 故 m ＋ n ＝ c o s α ＋13s i n α ＝2 33s i n??????α ＋π3≤2 33. 第 8講 │ 教師備用題 2 ． 已知向量 a ＝ ( c o s x ， s in x ) ， b ＝ ( － c o s x ， c os x ) ， c＝ ( － 1,0) ． ( 1) 當(dāng) x ＝π3時，求向量 a ， c 的夾角； ( 2) 當(dāng) x ∈??????0 ，π2時，求函數(shù) f ( x ) ＝ 2 a b ＋ 1 的值域． 第 8講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) 當(dāng) x ＝π3時， a ＝??????c o sπ3， s i nπ3＝????????12，32. c o s 〈 a ， c 〉＝a c| a || c |＝－12. ∵ 0 ≤ 〈 a ， c 〉 ≤ π ， ∴ 〈 a ， c 〉＝2π3. 即向量 a ， c 的夾角為2π3. 第 8講 │ 教師備用題 ( 2 ) f ( x ) ＝ 2 a b ＋ 1 ＝ 2( － c o s2x ＋ s i n x c o s x ) ＋ 1 ＝ 2 s i n x c o s x － ( 2 c o s2x － 1) ＝ s i n 2 x － c o s 2 x ＝ 2 s i n??????2 x －π4 當(dāng) x ∈??????0 ，π2時， 2 x －π4∈??????－π4，3π4， s i n??????2 x －π4∈????????－22， 1 . ∴ f ( x ) 的值域為 [ － 1 ， 2 ] ． 第 8講 │ 教師備用題 3 ． 已知向量 m ＝ ( s i n A ， s in B ) ， n ＝ ( c o s B ， c o s A ) ， m n＝ s in 2 C ，且 A 、 B 、 C 分別為 △ ABC 三邊 a ， b ， c 所對的角．