【正文】 k2＋ 25)x2－ 50(k y0＋ 4)x ＋ 25(ky0＋ 4)2－ 25 9k2＝ 0 所以 x1＋ x2＝50 ? ky0＋ 4 ?9k2＋ 25＝ 8 ，解得 k ＝2536y0( 當(dāng) k ＝ 0 時(shí)也成立 ) ． ( 以下同解法一 ) 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線(xiàn) 、 橢圓 、 等差數(shù)列等基本知識(shí) ，( 1 )( 2 ) 問(wèn)較簡(jiǎn)單 ， 第 ( 3 ) 問(wèn)巧妙地借助中垂線(xiàn)來(lái)求參數(shù)的范圍 ，設(shè)計(jì)新穎 ， 綜合性 ， 靈活性強(qiáng) ． 第 ( 3 ) 問(wèn)在表達(dá)出 “ k ＝2536y 0 ”時(shí) ， 容易忽略 “ k ＝ 0 ” 時(shí)的情況 ， 理不清題目中變量間的關(guān)系 ． 第 ( 1 ) 問(wèn)利用橢圓的第一定義寫(xiě)方程 ； 第 ( 2 ) 問(wèn)利用橢圓的第二定義 ( 即焦半徑公式 ) 求解 ， 第 ( 3 ) 問(wèn)利用 m 表示出弦 AC的中點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) y 0 ， 利用 y 0 的范圍求 m 的范圍 ． 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)四 軌跡問(wèn)題 例 4 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ( a b 0 ) 的左 、 右焦點(diǎn)分別是F 1 ( － c , 0 ) ， F 2 ( c , 0 ) ， Q 是橢圓外的動(dòng)點(diǎn) ， 滿(mǎn)足 | F 1 Q→ |＝ 2 a . 點(diǎn)P 是線(xiàn)段 F 1 Q 與該橢圓的交點(diǎn) ， 點(diǎn) T 在線(xiàn)段 F 2 Q 上 ， 并且滿(mǎn)足 PT→ TF→ 2 ＝ 0 ， | TF→ 2 |≠ 0. 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1) 設(shè) x 為點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)，證明 | F 1 P→ |＝ a ＋cax ； (2) 求點(diǎn) T 的軌跡 C 的方程； (3) 試問(wèn)：在點(diǎn) T 的軌跡 C 上，是否存在點(diǎn) M ，使 △ F 1 MF 2的面積 S ＝ b2？若存在，求 ∠ F 1 MF 2 的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解答】 (1) 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (x ， y) ，由 P(x ， y) 在橢圓上， 得 | F1P→|＝ ? x ＋ c ?2＋ y2＝ ? x ＋ c ?2＋ b 2－b2a2 x2＝??????a ＋cax2. 又由 x ≥ － a ，知 a ＋cax ≥ － c ＋ a0 ，所以 | F1P→|＝ a ＋cax. (2) 當(dāng) | PT→|＝ 0 時(shí)，點(diǎn) (a,0) 和點(diǎn) ( － a,0) 在軌跡上． 當(dāng) | PT→|≠ 0 且 | TF→2|≠ 0 時(shí)，由 | PT→| | TF→2|＝ 0 ，得 PT→⊥ TF→2. 又 | PQ→|＝ | PF→2|＝ 2a － | PF→1|，所以 T 為線(xiàn)段 F2Q 的中點(diǎn)． 在 △ QF1F2中， | OT→|＝12| F1Q→|＝ a ，所以有 x2＋ y2＝ a2. 綜上所述，點(diǎn) T 的軌跡 C 的方程是 x2＋ y2＝ a2. 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (3) C 上存在點(diǎn) M( x0， y0) 使 S ＝ b2的充要條件是????? x20＋ y20＝ a2， ③12 2c| y0|＝ b2. ④ 由 ③ 得 |y0|≤ a ，由 ④ 得 |y0|≤b2c所以，當(dāng) a ≥b2c時(shí)，存在點(diǎn) M ，使 S ＝ b2；當(dāng) ab2c時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn) M. 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 當(dāng) a ≥b2c時(shí)， MF→1＝ ( － c － x0，－ y0) ， MF→2＝ (c － x0，－ y0) ， 由 MF→1 MF→2＝ x20－ c2＋ y20＝ a2－ c2＝ b2， MF→1 MF→2＝ | MF→1| | MF→2| cos ∠ F1MF2， S ＝12| MF→1| | MF→2| sin ∠ F1MF2＝ b2，得 t an ∠ F1MF2＝ 2. 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程． 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如圖 5 － 12 － 2 所示 ， 已知 P ( 4 , 0 ) 是圓 x 2 ＋ y 2 ＝ 36內(nèi)的一點(diǎn) ， A 、 B 是圓上兩動(dòng)點(diǎn) ， 且滿(mǎn)足 ∠ A PB ＝ 90176。 ， 求矩形 AP BQ 的頂點(diǎn) Q 的軌跡方程 ． 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 R ，坐標(biāo)為 (x ， y) ，則在 Rt △ ABP中， | AR |＝ |PR|. 又因?yàn)?R 是弦 AB 的中點(diǎn)，依垂徑定理：在 Rt △ OA R中， | AR|2＝ |AO|2－ |OR|2＝ 36 － (x2＋ y2) ．又 | AR| ＝ | P R| ＝? x － 4 ?2＋ y2，所以有 (x － 4)2＋ y2＝ 36 － (x2＋ y2) ，即 x2＋ y2－ 4x － 10 ＝ 0. 因此點(diǎn) R 在一個(gè)圓上，而當(dāng) R 在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， Q 點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)． 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 設(shè) Q(x ， y) ， R(x 1 ， y 1 ) ，因?yàn)?R 是 PQ 的中點(diǎn)，所以 x 1 ＝x ＋ 42， y 1 ＝y(tǒng) ＋ 02，代入方程 x2＋ y2－ 4x － 10 ＝ 0 ， 得????????x ＋ 422＋??????y22－ 4x ＋ 42－ 10 ＝ 0 整理得 x2＋ y2＝ 56 ，這就是所求的軌跡方程． 第 12 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 12 講 │ 規(guī)律技巧提煉 規(guī)律技巧提煉 1 ． 重視對(duì)數(shù)學(xué)思想 、 方法進(jìn)行歸納提煉 ， 達(dá)到優(yōu)化解題思維 、 簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的 ． ① 函數(shù)思想 ： 對(duì)于圓錐曲線(xiàn)上的一些動(dòng)點(diǎn) ， 在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系 、 相互制約的量 ， 從而使一些線(xiàn)段的長(zhǎng)度及 a ， b ， c ， e 之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系 ， 函數(shù)思想在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)就很有效 ． ② 對(duì)稱(chēng)思想 ： 由于圓錐曲線(xiàn)都具有對(duì)稱(chēng)性質(zhì) ， 可使分散的條件相對(duì)集中 ， 減少一些變量和未知量 ， 簡(jiǎn)化計(jì)算 ， 提高解題速度 ， 促成問(wèn)題的解決 ． 第 12 講 │ 規(guī)律技巧提煉 除上述常用數(shù)學(xué)思想外 ， 數(shù)形結(jié)合 、 分類(lèi)討論 、 整體思想 、 構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法 ， 復(fù)習(xí)也應(yīng)給予足夠的重視 ． 2 ． 橢圓 、 雙曲線(xiàn) 、 拋物線(xiàn)的定義揭示了各自存在的條件 、性質(zhì)及幾何特征與圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn) 、 焦半徑 、 準(zhǔn)線(xiàn) 、 離心率等有關(guān)量的關(guān)系問(wèn)題 ， 若能用定義法 ， 可避免繁瑣的推理與運(yùn)算 ． 3 ． 圓錐曲線(xiàn)中的有些問(wèn)題 ， 有時(shí)利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易 ， 化繁為簡(jiǎn) ， 收到意想不到的解題效果 ． 第 12 講 │ 江蘇真題剖析 江蘇真題剖析 [ 2022 江蘇卷 ] 在平面直角坐標(biāo)系 xO y 中 ， 如圖 5 －12 － 3 所示 ， 已知橢圓x29＋y25＝ 1 的左 、 右頂點(diǎn)為 A 、 B ， 右焦點(diǎn)為 F . 設(shè)過(guò)點(diǎn) T ( t， m ) 的直線(xiàn) TA 、 TB 與橢圓分別交于點(diǎn)M ( x 1 ， y 1 ) 、 N ( x 2 ， y 2 ) ， 其中 m 0 ， y 1 0 ， y 2 0. 第 12 講 │ 江蘇真題剖析 ( 1 ) 設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 滿(mǎn)足 PF2－ PB2＝ 4 ， 求點(diǎn) P 的軌跡 ； ( 2 ) 設(shè) x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝13， 求點(diǎn) T 的坐標(biāo) ； ( 3 ) 設(shè) t＝ 9 ， 求證 ： 直線(xiàn) MN 必過(guò) x 軸上的一定點(diǎn) ( 其坐標(biāo)與 m 無(wú)關(guān) ) ． 【解答】 (1) 設(shè)點(diǎn) P ( x ， y ) ，則 F (2,0) 、 B (3,0) 、 A ( － 3,0) ． 由 PF2－ PB2＝ 4 ，得 ( x － 2)2＋ y2－ [( x － 3)2＋ y2] ＝ 4 ，化簡(jiǎn)得 x ＝92. 故所求點(diǎn) P 的軌跡為直線(xiàn) x ＝92. (2) 將 x1＝ 2 ， x2＝13分別代入橢圓方程，以及 y10 ， y20得 M??????2 ，5 N??????13，－209， 直線(xiàn) MT A 的方程為y － 053－ 0＝x ＋ 32 ＋ 3，即 y ＝13x ＋ 1 ， 第 12 講 │ 江蘇真題剖析 直線(xiàn) NTB 的方程為：y － 0－209－ 0＝x － 313－ 3， 即 y ＝56x －52. 聯(lián)立方程組，解得????? x ＝ 7 ，y ＝103， 所以點(diǎn) T 的坐標(biāo)為??????7 ，103. 第 12 講 │ 江蘇真題剖析 (3) 點(diǎn) T 的坐標(biāo)為 (9 ， m ) ， 直線(xiàn) MT A 的方程為：y － 0m － 0＝x ＋ 39 ＋ 3，即 y ＝m12( x ＋ 3) ， 直線(xiàn) NTB 的方程為：y － 0m － 0＝x － 39 － 3，即 y ＝m6( x － 3) ． 分別與橢圓x29＋y25＝ 1 聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到 x1≠ － 3 ，x2≠ 3 ， 解得 M????????3 ? 80 － m2?80 ＋ m2 ，40 m80 ＋ m2 、 N3 ? m2－ 20 ?20 ＋ m2 ，－20 m20 ＋ m2 . 第 12 講 │ 江蘇真題剖析 當(dāng) x1≠ x2時(shí)，直線(xiàn) MN 的方程為：y ＋20 m20 ＋ m240 m80 ＋ m2 ＋20 m20 ＋ m2＝x －3 ? m2－ 20 ?20 ＋ m23 ? 80 － m2?80 ＋ m2 －3 ? m2－ 20 ?20 ＋ m2， 令 y ＝ 0 ，解得 x ＝ 1. 此時(shí)必過(guò)點(diǎn) D (1,0) ； 當(dāng) x1＝ x2時(shí)，直線(xiàn) MN 的方程為 x ＝ 1 ，與 x 軸交點(diǎn)為D (1,0) ． 所以直線(xiàn) MN 必過(guò) x 軸上的一定點(diǎn) D (1,0) ． 第 12 講 │ 江蘇真題剖析 【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的方程 ， 直線(xiàn)與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí) ， 運(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力 ． 解析幾何試題在江蘇高考中已經(jīng)形成一定風(fēng)格 ： 位置穩(wěn)定在第 18 題 ， 主要考查學(xué)生的推理證明能力和運(yùn)算變形能力 ， 不拘泥于具體的知識(shí)點(diǎn) ， 將數(shù)學(xué)知識(shí) 、 方法和原理融于一體 ， 突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查 ， 體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價(jià)值 ． 具有較好的區(qū)分度 ． 第 12 講 │ 江蘇真題剖析