【正文】 x225＋x－ 3 225 ＝ 1，即 x2－ 3x－ 8＝ 0. 所以 x1＝ 3－ 412 ， x2＝ 3＋ 412 . 所以 |AB|＝ x1－ x2 2＋ y1－ y2 2 ＝ ??? ???1＋ 1625 x1－ x2 2＝ 412541＝ 415. [類(lèi)題通法 ] (1)求軌跡方程時(shí)，先看軌跡的形狀能否預(yù)知，若能預(yù)先知道軌跡為圓錐曲線，則可考慮用定義法或待定系數(shù)法求解． (2)討論軌跡方程的解與軌跡上的點(diǎn)是 否對(duì)應(yīng)，即應(yīng)注意字母的取值范圍． [沖關(guān)集訓(xùn) ] 1． (2022武漢適應(yīng)性訓(xùn)練 )已知雙曲線 y22 － x23 ＝ 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1， F2，則滿(mǎn)足 △ PF1F2的周長(zhǎng)為 6＋ 2 5的動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 ( ) ＋ y29 ＝ 1 ＋ y24 ＝ 1 ＋ y29 ＝ 1(x≠0) ＋ y24 ＝ 1(x≠0) 解析：選 C 依題意得， |F1F2|＝ 2 2＋ 3＝ 2 5， |PF1|＋ |PF2|＝ 6|F1F2|，因此滿(mǎn)足 △ PF1F2的周長(zhǎng)為 6＋ 2 5的動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是以點(diǎn) F1， F2 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 6 的橢圓 (除去長(zhǎng)軸的端點(diǎn) )，即動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程是 x24 ＋ y29 ＝ 1(x≠0)． 2．已知平面上一定點(diǎn) C(2,0)和直線 l： x＝ 8， P 為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作 PQ⊥ l 于 Q， 且??????PC ＋ 12PQ ??????PC － 12PQ ＝ 0. 問(wèn)點(diǎn) P 在什么曲線上？并求出該曲線的方程． 解：設(shè) P(x， y)，則 Q(8， y)． 由 (PC ＋ 12 PQ )(PC － 12 PQ )＝ 0， 得 | PC |2－ 14| PQ |2＝ 0， 即 (x－ 2)2＋ y2－ 14(x－ 8)2＝ 0， 化簡(jiǎn)，得 x216＋ y212＝ 1. 所以點(diǎn) P 在橢圓上，其方程為 x216＋ y212＝ 1. [考情分析 ] 此考點(diǎn)多以解答題的形式考查，一般試題難度較大，多考查點(diǎn)或參數(shù)是否存在，常與距離、斜率或方程等問(wèn)題綜合考查，形成知識(shí)的交匯問(wèn)題。 [例 2] (2022山東高考改編 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， F 是拋物線 C： x2＝ 2py(p0)的焦點(diǎn)， M 是拋物線 C 上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò) M， F， O 三點(diǎn)的圓的圓心為 Q，點(diǎn) Q 到拋物線 C 的準(zhǔn)線的距離為 34. (1)求拋物線 C 的方程； (2)是否存在點(diǎn) M，使得直線 MQ 與拋物線 C 相切于點(diǎn) M？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． [思路點(diǎn)撥 ] (1)圓心 Q 在 OF 的垂直平分線上，列方程可解； (2)用點(diǎn) M 的橫坐標(biāo) x0 表示拋物線在點(diǎn) M 處的切線方程，與 y＝ 14聯(lián)立，可用 x0 表示點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，根據(jù) |OQ|＝ |QM|列方程求得 x0 的值． [解 ] (1)依題意知 F(0， p2)，圓心 Q 在線段 OF 的垂直平分線 y＝ p4上，因?yàn)?拋物線 C 的準(zhǔn)線方程為 y＝－ p2，所以 3p4 ＝ 34，即 p＝ 1， 因此拋物線 C 的方程為 x2＝ 2y. (2)假設(shè)存在點(diǎn) M(x0， x202 )(x00)滿(mǎn)足條件，拋物線 C 在點(diǎn) M 處的切線斜率為 y′|x＝ x0＝(x22)′|x＝ x0＝ x0， 所以直線 MQ 的方程為 y－ x202 ＝ x0(x－ x0)． 令 y＝ 14得 xQ＝ x02 ＋ 14x0， 所以 Q??? ???x02 ＋ 14x0， 14 . 又 |QM|＝ |OQ|， 故 ??? ???14x0－ x02 2＋ ??? ???14－ x202 2＝ ??? ???14x0＋ x02 2＋ 116， 因此 ??? ???14－ x202 2＝ 916，又 x00， 所以 x0＝ 2，此時(shí) M( 2， 1)． 故存在點(diǎn) M( 2， 1)，使得直線 MQ 與拋物線 C 相切于點(diǎn) M. [類(lèi)題通法 ] 存在性問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾方面： (1)點(diǎn)是否存在； (2)曲線是否存在； (3)命題是否成立． 解決這類(lèi)問(wèn)題的一 般思路是先假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的元素，經(jīng)過(guò)推理論證，如果可以得到成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)不成立． [沖關(guān)集訓(xùn) ] 3． (2022江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 )已知橢圓的焦點(diǎn) F1(1,0)， F2(－ 1,0)，過(guò) P??? ???0， 12 作垂直于 y軸的直線被橢圓所截線段長(zhǎng)為 6，過(guò) F1 作直線 l 與橢圓交于 A， B 兩點(diǎn)． (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)是否存在實(shí)數(shù) t，使 PA ＋ PB ＝ t 1PF ，若存在，求 t 的值和直線 l 的方程；若不存在，說(shuō)明理由． 解： (1)設(shè)橢圓方程為 x2a2＋ y2b2＝ 1(ab0)，由題意知點(diǎn) ??? ???62 ， 12 在橢圓上，且 a2＝ b2＋ 1， 則 64 1＋ b2 ＋ 14b2＝ 1，解得 b2＝ 1 或 b2＝－ 14(舍去 )， 所以 x22 ＋ y2＝ 1. (2)① 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)， 易求得 A??? ???1， 22 ， B??? ???1，－ 22 ， 則 PA ＝ ??? ???1， 2－ 12 ， PB ＝ ??? ???1，－ 2＋ 12 ， 1PF ＝ ??? ???1，－ 12 ， 由 PA ＋ PB ＝ t 1PF 得 t＝ 2，此時(shí)，直線 l 的方程為 x＝ 1. ② 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 直線 l 的斜率為 k，直線 l 的方程為 y＝ k(x－ 1)， 則 PA ＝ ??? ???x1， y1－ 12 ， PB ＝ ??? ???x2， y2－ 12 ， 1PF ＝ ??? ???1，－ 12 ， 由 PA ＋ PB ＝ t 1PF 得????? x1＋ x2＝ t，y1－ 12＋ y2－ 12＝－ t2， 即????? x1＋ x2＝ t，y1＋ y2＝ 1－ t2， 因?yàn)?y1＋ y2＝ k(x1＋ x2－ 2)，所以 k＝－ 12， 此時(shí)，直線 l 的方程為 y＝－ 12(x－ 1)， 聯(lián)立方程，得????? y＝－ 12 x－ 1 ，x22 ＋ y2＝ 1，消去 y， 可得 3x2－ 2x－ 3＝ 0， 則 x1＋ x2＝ 23，故 t＝ 23. [考情分析 ] 此類(lèi)問(wèn)題以直線、圓錐曲線為載 體，結(jié)合其他條件探究直線和曲線過(guò)定點(diǎn)，計(jì)算一些數(shù)量積或代數(shù)式的值為定值，試題以解答題為主，突出考查學(xué)生的運(yùn)算能力，該類(lèi)題型是近幾年高考的熱點(diǎn)． [例 3] (2022上海高考 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知雙曲線 C1： 2x2－ y2＝ 1. (1)過(guò) C1 的左頂點(diǎn)引 C1 的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及 x 軸圍成的三角形的面積； (2)設(shè)斜率為 1 的直線 l 交 C1 于 P、 Q 兩點(diǎn)．若 l 與圓 x2＋ y2＝ 1 相切，求證： OP⊥ OQ； (3)設(shè)橢圓 C2： 4x2＋ y2＝ M、 N 分別是 C C2 上的動(dòng)點(diǎn)，且 OM⊥ ON， 求證： O 到直線MN 的距離是定值． [思路點(diǎn)撥 ] (1)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式求解； (2)利用直線與圓相切、求出 b 的值，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，以算代證； (3)聯(lián)立直線方程和圓錐曲線的方程，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算距離平方的倒數(shù)，以算代證． [解 ] (1)雙曲線 C1： x212－ y2＝ 1，左頂點(diǎn) A??? ???－ 22 ， 0 ，漸近線方程： y＝ 177。 2x. 過(guò)點(diǎn) A 與漸近線 y＝ 2x 平行的直線方程為 y＝ 2??? ???x＋ 22 ，即 y＝ 2x＋ 1. 解方程組 ??? y＝－ 2x，y＝ 2x＋ 1， 得????? x＝－ 24 ，y＝ 12. 所以所求三角形的面積為 S＝ 12|OA||y|＝ 28 ； (2)證明：設(shè)直線 PQ 的方程是 y＝ x＋ b，因直線 PQ 與已知圓相切， 故 |b|2＝ 1，即 b2＝ 2. 由????? y＝ x＋ b，2x2－ y2＝ 1， 得 x2－ 2bx－ b2－ 1＝ 0. 設(shè) P(x1， y1)， Q(x2， y2)，則????? x1＋ x2＝ 2b，x1x2＝－ 1－ b2. 又 y1y2＝ (x1＋ b)(x2＋ b)， 所以 OP OQ ＝ x1x2＋ y1y2＝ 2x1x2＋ b(x1＋ x2)＋ b2＝ 2(－ 1－ b2)＋ 2b2＋ b2＝ b2－ 2＝ 0， 故 OP⊥ OQ. (3)證明：當(dāng)直線 ON 垂直于 x 軸時(shí)， |ON|＝ 1， |OM|＝ 22 ，則 O 到直線 MN 的距離為 33 . 當(dāng)直線 ON 不垂直于 x 軸時(shí)， 設(shè)直線 ON 的方程為 y＝ kx (顯然 |k| 22 )， 則直線 OM 的 方程為 y＝－ 1kx. 由????? y＝ kx，4x2＋ y2＝ 1， 得 ????? x2＝ 14＋ k2，y2＝ k24＋ k2，所以 |ON|2＝ 1＋ k24＋ k2. 同理 |OM|2＝ 1＋ k22k2－ 1. 設(shè) O 到直線 MN 的距離為 d. 因?yàn)?(|OM|2＋ |ON|2)d2＝ |OM|2|ON|2， 所以 1d2＝ 1|OM|2＋ 1|ON|2＝ 3k2＋ 3k2＋ 1 ＝ 3，即 d＝ 33 . 綜上， O 到直線 MN 的距離是定值． [類(lèi)題通法 ] 1．定值問(wèn)題的求解策略 在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就是 “定值 ”問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)取特殊值，先確定 “定值 ”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無(wú)關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值． 2．定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略 把直線 或曲線方程中的變量 x， y 當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于 x， y 的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)． [沖關(guān)集訓(xùn) ] 4． (2022山西四校聯(lián)考 )已知橢圓 C： x2a2＋ y2＝ 1(a1)的上頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F，直線 AF與圓 M： (x－ 3)2＋ (y－ 1)2＝ 3 相切． (1)求橢圓 C 的方程； (2)若不過(guò)點(diǎn) A 的動(dòng)直線 l 與橢圓 C 交于 P， Q 兩點(diǎn)，且 AP AQ ＝ ：直線 l 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解： (1)圓 M的圓心為 (3,1)，半徑 r＝ 3. 由題意知 A(0,1)， F(c,0)(c＝ a2－ 1)． 解得直線 AF 的方程為 xc＋ y＝ 1，即 x＋ cy－ c＝ 0. 由直線 AF 與圓 M 相切得 |3＋ c－ c|c2＋ 1 ＝ 3， 解得 c2＝ 2， a2＝ c2＋ 1＝ 3. 故橢圓 C 的方程為 x23 ＋ y2＝ 1. (2)由 AP AQ ＝ 0 知 AP⊥ AQ，從而直線 AP 與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線 AP 的方程為 y＝kx＋ 1，直線 AQ 的方程為 y＝－ 1kx＋ 1， 將 y＝ kx＋ 1 代入橢圓 C 的方程， 整理得 (1＋ 3k2)x2＋ 6kx＝ 0， 解得 x＝ 0 或 x＝ － 6k1＋ 3k2， 故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ??? ???－ 6k1＋ 3k2， 1－ 3k21＋ 3k2 . 同理，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ??? ???6kk2＋ 3， k2－ 3k2＋ 3 . 所以直線 l 的斜率為k2－ 3k2＋ 3－1－ 3k21＋ 3k26kk2＋ 3－－ 6k1＋ 3k2＝ k2－ 14k . 則直線 l 的方程為 y＝ k2－ 14k ??? ???x－ 6kk2＋ 3 ＋ k2－ 3k2＋ 3， 即 y＝ k2－ 14k x－ 12. 所以直線 l 過(guò)定點(diǎn) ??? ???0，－ 12 . 破解圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題 圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)，又是試題的難點(diǎn)．求解范圍與最值問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)或構(gòu)造與所求問(wèn)題相關(guān)的不等式， 利用函數(shù)的性質(zhì)或解不等式求解相應(yīng)的最值與范圍，常用的方法有：轉(zhuǎn)化法、參數(shù)法、函數(shù)法和基本不等式法等．在處理過(guò)程中要注意題中的一些隱含條件，如直線和曲線相交于不同的兩點(diǎn)，需要轉(zhuǎn)化為二次方程的判別式大于零． [典例 ] (2022北京高考 )已知橢圓 G： x24 ＋ y2＝ 1，過(guò)點(diǎn) (m,0)作圓 x2＋ y2＝ 1 的切線 l 交橢圓 G 于 A， B 兩點(diǎn)． (1)求橢圓 G 的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； (2)將 |AB|表示為 m 的函數(shù)，并求 |AB|的最大值． [思路點(diǎn)撥 ] (1)先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定 a， b 的值，然后求 c 即可； (2)首先確定 m 的取值范圍，然后引入直線的斜率 k，利