2第二講-三角函數(shù)與平面向量-文科-資料下載頁
2025-08-04 08:43本頁面
【正文】 也可以得；點與重合時，所以.方法二，如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)六邊形的邊長為2，各個頂點的坐標(biāo)分圖xCyFEDABoP別是、、令，那么,.由得 ①， ②，二者聯(lián)立有，.因為點在內(nèi)（包括邊界），所以點必在直線和的下方，同時在直線的上方，求出直線和的方程，根據(jù)線性規(guī)劃知識得到點滿足的約束條件是：；把分別換成得；作圖驗證可知，當(dāng)點與重合時，即；點與重合時，；⑵由題設(shè)知，三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)，使得，即，整理得，①若共線，則可為任意實數(shù)；②若不共線，則有，解之得，．所以綜上所述，當(dāng)共線時，則可為任意實數(shù)；當(dāng)不共線時，；易錯點：⑴對平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法進(jìn)行平行四邊形法則作圖不到位，判斷的取值出錯；⑵不能正確選準(zhǔn)一對向量來作為基底去表示，沒有對是否共線進(jìn)行分類討論；變式與引申3：⑴已知在平面直角坐標(biāo)系中，，O為原點，且（其中均為實數(shù)），若N（1，0），則的最小值是 .=1，=,點在內(nèi)，且=30176。，設(shè) ，則等于（ ）A. C. D.題型三 平面向量與平面幾何綜合的問題例３：⑴已知中，過重心的直線交于，交邊于，設(shè)的面積為，的面積為，，則① ，②的取值范圍是 ；⑵已知圓的半徑為１，為該圓的兩條切線，、為兩切點，那么的最小值為（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．點撥：⑴令通過引入中間變量根據(jù)三角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之間的關(guān)系式；⑵用的三角函數(shù)形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算形式求解.解：⑴；設(shè)因為是△的重心，故，又，因為與共線，所以，即，又與不共線，APBQGC圖所以及，消去，得；① ，故；② ，那么，當(dāng)與重合時，當(dāng)位于中點時，故，故，但因為與不能重合，故B圖PA⑵：如圖，令 ，令，；方法二：以圓心O的坐標(biāo)原點，以O(shè)P為軸，建立坐標(biāo)系：圓的方程為，設(shè)，，由，所以有．易錯點：⑴沒有正確引入中間變量使得和之間的關(guān)系式運算出錯：⑵對的三角形式化簡方向偏離正確結(jié)構(gòu)或建立坐標(biāo)系沒有利用得出，難以繼續(xù)演算．ACBPO圖變式與引申5：⑴（2009合肥一中）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的( ) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心，半圓的直徑，為圓心，是圓弧上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是 ；題型四 平面向量與圓錐曲線綜合的問題例4：如圖,已知雙曲線：，直線與一條漸近線交于點是雙曲線的右焦點，為坐標(biāo)原點.圖⑴求證：；⑵若,且雙曲線的離心率，求雙曲線的方程；⑶在⑵的條件下，直線過點與雙曲線右支交于不同的兩點，且在之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.【注】考慮課程標(biāo)準(zhǔn)和教材關(guān)于雙曲線的準(zhǔn)線方程不作要求，所以題目里給出的直線實際上就是雙曲線的右準(zhǔn)線. 點撥：⑴由題意寫出點的坐標(biāo)，判斷即可；⑵由離心率和建立關(guān)于方程組求解出的值；⑶由題意可初步猜想出，用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來進(jìn)一步推證.解：⑴因為，漸近線；所以又，得出，有，所以. ⑵因為，所以，即；又，故，解得， 即所求的雙曲線的方程為： ．⑶由題意可得．證明：設(shè)：，點 由和聯(lián)立消去得出方程：，因為與雙曲線右支交于不同的兩點得出不等式組：；化簡得；解得；又，有成立， ；故，消得；因為，有成立，得出，解得且，根據(jù)題意知在之間，所以的取值范圍是．易錯點：在第⑶問中字母的代數(shù)式運算出錯，解得且之后，不結(jié)合題意分析的取值范圍.變式與引申7已知定點(1,0)和B (1,0)，是圓上的一動點，則的最大值是 ；最小值是 .本節(jié)主要考查 ⑴知識點有平面向量的加減法、向量共線定理、平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積的幾何意義及運算，平面向量平行和垂直位置關(guān)系；⑵演繹推理能力、運算能力、創(chuàng)新意識；⑶數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)、不等式思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和應(yīng)用向量法分析解決問題． 點評 ⑴認(rèn)識向量的幾何特性．對于向量問題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究，掌握平面向量相關(guān)概念的幾何意義，正確地運用向量的各種運算來處理向量與幾何的綜合應(yīng)用問題（如例例2），要善于利用向量“數(shù)”與“形”兩方面的特征；⑵理解向量數(shù)量積的定義、運算律、性質(zhì)幾何意義，并能靈活應(yīng)用處理與向量的夾角、模長和垂直的相關(guān)問題；⑶平面向量能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，注意向量在知識的交匯點處命題，要關(guān)注平面向量與三角形等平面幾何知識相結(jié)合的綜合問題（如例３）及平面向量作為解析幾何問題的已知條件與之交織在一起的綜合問題（例４）；⑷平面向量重視考查綜合能力，體現(xiàn)了向量的工具性及學(xué)生分析問題、解決問題的能力，學(xué)生要善于運用向量方法解題，樹立運用向量知識解題的意識；⑸知曉三角形五“心”向量形式的充要條件，設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則①為的外心；②為的重心；③為的垂心；④為的內(nèi)心；⑤為的的旁心；習(xí)題２－４1．已知非零向量與滿足()=0，且= , 則△ABC為( ) 2. 設(shè)P為內(nèi)一點，且，則的面積與面積之比為 （ ）A. B. C. D. 3．已知，關(guān)于的函數(shù) 在上有極值，則與夾角的范圍是_ _____ _ .４．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設(shè)實數(shù)t滿足()=0，求t的值.5. 已知橢圓，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，.（1）判斷與是否共線；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且（），證明：為定值.17
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