2第二講-三角函數(shù)與平面向量-文科-文庫(kù)吧
2025-07-20 08:43 本頁(yè)面
【正文】 特別注意三角形中三個(gè)角A、B、C，三條邊a、b、c，中線ma，角平分線AD，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，三角形面積S之間的關(guān)系和三角形的形狀.（5）三角函數(shù)的綜合問(wèn)題常常與向量，二次函數(shù)等有關(guān)，但著力點(diǎn)還是三角知識(shí)，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差等進(jìn)行恒等變形，是高考考查的重中之重.解答這類綜合問(wèn)題的原則是三點(diǎn)：降次——化次數(shù)較高的三角式為次數(shù)較低的三角式；減元——化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù)；變角——化多角的三角函數(shù)為單角的三角函數(shù).還要特別注意：①1的變化：②角的變化：③化切為弦、升冪公式、降冪公式的合理運(yùn)用；④在理解的基礎(chǔ)上熟記和靈活運(yùn)用各種公式，包括正用公式、反用公式和變用公式. 習(xí)題2－11. 已知cos+sinβ=，sin+cosβ的取值范圍是D，x∈D，則函數(shù)y=的最小值為( ).A. B. C. D.2. △ABC的角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，＝(2b－c，a)，＝(cosA，－cosC)，且⊥．則當(dāng)y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值時(shí)，角的大小為 ．，求的值． 4．已知其中為銳角.（1）求證：；（2）求的最大值.5. 在中，角滿足(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.第二節(jié) 三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其變換近幾年高考對(duì)“三角函數(shù)”一章三角的考查要求略有降低，而對(duì)三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)的考查有逐步加強(qiáng)的趨勢(shì). “考試大綱”將三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由“了解”改為“理解”，，且在解答題中大多需要利用三角函數(shù)的變換和性質(zhì)求解. 考試要求 ⑴理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、性質(zhì),理解正切函數(shù)的單調(diào)性；⑵了解函數(shù)的物理意義，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，了解參數(shù) 對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.題型一 由“參”定“形”，由“形”定“參”【例1】 點(diǎn)撥：（1）在函數(shù)y＝Asin（ωx＋j）的有關(guān)問(wèn)題中，只要確定了這三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，則該函數(shù)的圖像、性質(zhì)等就出來(lái)了；同理，（2）中，已知圖像求解析式問(wèn)題，關(guān)鍵也是確定三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，最困難的就是求φ.于是，本題的答案為②、③．圖,則它的解析式為.點(diǎn)撥：已知圖像求解析式問(wèn)題，關(guān)鍵也是確定三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，尤其是求φ.解析:由圖知 以下求j的值有多種方法可供選擇：易錯(cuò)點(diǎn) 例（１）中，選項(xiàng)“”的含義容易被誤解；例（2）中，已知圖像求解析式中的φ時(shí)，常常由于方法不當(dāng)或范圍不清晰而不能求出準(zhǔn)確值.點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的圖像由若干個(gè)參數(shù)確定(即由“參”定“形”)，同時(shí)，已知三角函數(shù)的圖像也能夠確定這若干個(gè)參數(shù)（即由“形”定“參”).本例所用的方法帶有普遍性，用來(lái)求解有關(guān)函數(shù)y＝Asin（ωx＋j）的圖象問(wèn)題十分奏效.變式與引申1：若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ） A． B. C. D. 題型二 利用圖像的性質(zhì)解題【例3】設(shè)函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a，x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sinnx在[0，]上的面積為（n∈N* ），（1）y＝sin3x 在[0,]上的面積為 ；（2）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為 . 圖點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是審題，可以畫個(gè)草圖幫助理解題意，（1）問(wèn)簡(jiǎn)單，第（2）問(wèn)的函數(shù)圖像有了變化：向右移動(dòng)個(gè)單位，再向上移動(dòng)1個(gè)單位；其所求的面積就是圖中直線,，x軸以及y＝sin（3x－π）＋1的圖像所圍成圖形的面積. 可以把直線y=1上方的兩個(gè)“波峰”拿一個(gè)填入“波谷”，得到一個(gè)矩形和一個(gè)“波峰”，其面積容易求出.【解析】（1）T=, n=3,一個(gè)周期的面積為.（2）S=1()+=.易錯(cuò)點(diǎn): 第（2）問(wèn)審題容易出問(wèn)題，結(jié)合圖像能夠幫助理解題意.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象的平移變換、對(duì)稱變換及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意觀察題目函數(shù)圖像的特點(diǎn)隨機(jī)應(yīng)變，如本題可利用圖像的對(duì)稱性解題.變式與引申2：已知函數(shù)，x∈[0, ]的圖象和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，求該圖形的面積.題型三 三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例4】已知函數(shù)（，且均為常數(shù)），（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到的最小值2，試求的值．點(diǎn)撥 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性等）時(shí)，首先應(yīng)該對(duì)所給的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最好化為一個(gè)角（形如）、一種三角函數(shù)的形式．【解析】（1） （其中）， 所以，函數(shù)的最小正周期為． （2） 由（1）可知：的最小值為，所以，．……… ① 另外，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上的最小值為，所以，……… ②聯(lián)立①②解得：.易錯(cuò)點(diǎn): 在題（2）中，不能利用隱含條件”的最小值2”正確列出方程組，還有計(jì)算時(shí)也容易出錯(cuò).變式與引申3：已知函數(shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，.（1）求的解析式，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，求函數(shù)的值域.題型四 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】已知函數(shù)的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)，將圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍，然后再向左平移1個(gè)單位得到的圖象，且方程的所有正根構(gòu)成一個(gè)以3為公差的等差數(shù)列，求的解析式及其最小正周期、單調(diào)遞減區(qū)間.點(diǎn)撥 本題比較難，首先難在審題上，要理清各層題目意思；其次，原題中的函數(shù)不但有a,b,c三個(gè)參數(shù)，而且圖像也不在標(biāo)準(zhǔn)位置上；第三難在通過(guò)圖像變換后，會(huì)得到什么樣的函數(shù)圖像，：第一步，要化成同名函數(shù)；其次是利用轉(zhuǎn)化的思想，把“三元”化為“一元”，這可以通過(guò)圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化得到；然后處理圖像變換，得出y=f(x)的含參解析式；最后利用等差數(shù)列求出參數(shù)c.此題是三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用題，要正確解答必須對(duì)三角函數(shù)圖象變換的基本特性有較深刻的認(rèn)識(shí)，考查綜
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