2第二講-三角函數(shù)與平面向量-文科(已修改)
2025-08-16 08:43 本頁面
【正文】 第二講(文) 三角函數(shù)與平面向量 第一節(jié) 三角函數(shù)的化簡、求值及證明 三角函數(shù)的化簡、求值及證明涉及恒等變換，而三角函數(shù)的恒等變換是歷年高考命題的熱點(diǎn). 它既可以出現(xiàn)小題（選擇或者填空），也可以與三角函數(shù)的性質(zhì)，解三角形，向量等知識(shí)結(jié)合，參雜、滲透在解答題中，. 提高三角變換能力, 要學(xué)會(huì)設(shè)置條件, 靈活運(yùn)用三角公式, 掌握運(yùn)算、化簡及證明的方法和技能. 考試要求 ⑴理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（2）會(huì)推導(dǎo)兩角和與差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；(4)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.題型一 已知三角函數(shù)的值求角問題例1 （１）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則（ ?。。粒 ． C． D． （２）若，求α+2β= .點(diǎn)撥 本題（１）應(yīng)先利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后利用余弦定理求角A. 題（２）首先應(yīng)求α+2β的函數(shù)值，為了使角的范圍好控制，這里選用正切值好一點(diǎn)，然后根據(jù)條件依次找出所需的條件，要注意角的范圍. 解三角形的問題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理，正確進(jìn)行邊化角、角化邊，探尋解答. 題（２）最困難的地方在于確定α+2β的范圍，一般地，根據(jù)已知條件，把角的范圍限制得越精確，結(jié)果也越準(zhǔn)確.解（１）由及正弦定理，得，代入，得 ，即，又，（為什么從角化邊入手？）由余弦定理，（選用余弦定理合理否？）所以．故選Ａ．（２）∵，∴∴，（為什么要把角的范圍定得這樣精確？）α+2β,又tan2β=,∴,∴α+2β=.易錯(cuò)點(diǎn) 題（１）記錯(cuò)公式、如果選用正弦定理求角就不合理，一是出現(xiàn)2個(gè)角，二是要討論舍棄1個(gè)角，更容易出錯(cuò)；題（２）中，角的范圍容易忽略或放大，導(dǎo)致錯(cuò)誤.變式與引申1：已知α，β為銳角，tanα=，sinβ=,求2α+β的值.題型二 三角函數(shù)化簡、求值問題例2?。?011江西卷文科第17題）在中，角A,B,C的對(duì)邊是a,b,c,已知 ?。?）求的值 （2）若a=1, ,求邊c的值.點(diǎn)撥(1)合理且靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理,選擇是從角化邊入手還是邊化角入手；（2）關(guān)鍵是如何利用已知條件恒等變形求出,再利用正弦定理求出. 解：（1）由 正弦定理得： 及：所以。 （2）由 展開易得： 正弦定理： 易錯(cuò)點(diǎn) 本題涉及到正弦定理、誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角和為180176。這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查, 不知道利用將已知條件中的角化成同角, 變式與引申2：（2011江西卷文理科科第17題）在△ABC中，角的對(duì)邊分別是，已知.（1） 求的值；（2） 若，求邊的值.題型三 三角函數(shù)的取值范圍問題例3 ．已知函數(shù). （1）若，求；（2）若，求的取值范圍.點(diǎn) 撥 通過“切化弦”，“降次”等手段，再利用萬能公式或“齊次式”可解決第（1）題；第（2）題則首先化為一個(gè)三角函數(shù)的形式，再根據(jù)角的范圍來求的取值范圍.解：（1），由得，所以.（2）由（1）得由得，所以從而.其它解法思路：題（1）有以下解法:故易錯(cuò)點(diǎn) 記錯(cuò)二倍角或萬能公式；不會(huì)在區(qū)間上，聯(lián)系三角函數(shù)圖像求函數(shù)的取值范圍；或運(yùn)用公式不合理，去求，容易出現(xiàn)符號(hào)處理帶來的麻煩等等.變式與引申3：已知向量，且，其中A、B、C是ABC的內(nèi)角，分別是角A，B，C的對(duì)邊．（1）求角C的大??；（2）求的取值范圍．題型四 三角函數(shù)化簡、求值的綜合應(yīng)用例4 已知角是三角形的三內(nèi)角，向量,，且.（1）求角； （2）求；（3）若邊的長為，求的面積． 點(diǎn)撥 本題難在第（2）題，若整理成關(guān)于角B的二次式或齊次式，運(yùn)算則相對(duì)簡單；第（3）題也要注意選擇運(yùn)算簡單的思路.解（1）∵, ∴ , 即.,.∵,∴,∴, ∴.（2）由題知，整理得，∴, ∴.∴，舍去. ∴.∴.（3）由（1）知， 得，又，故（舍去負(fù)值，為什么？）,由正弦定理，∴.∴.故三角形的面積.易錯(cuò)點(diǎn)：一是本題有點(diǎn)運(yùn)算量,很容易由于選擇的解法運(yùn)算繁瑣而算錯(cuò)；，也很容易出錯(cuò)．其它解法思路：化簡時(shí)，也有很多的思路，如：⑴由,得；⑵由得等.變式與引申4：在例4題（3）中，若內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，且求邊c的長.本節(jié)主要考查 ⑴三角函數(shù)的公式及其在化簡、求值和證明中的運(yùn)用；⑵ 恒等變換的能力和運(yùn)算能力；⑶三角形中的邊、角、面積等關(guān)系（正余弦定理）；（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法等等.點(diǎn)評(píng) 高考試題中的三角函數(shù)題相對(duì)比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，在復(fù)習(xí)過程中既要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識(shí)的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，:（1）三角函數(shù)式的化簡問題，在最后所得到的結(jié)果中，要求所含函數(shù)和角的名稱或種類最少,三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一，各項(xiàng)的次數(shù)盡可能地低，出現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)最少，一般應(yīng)使分母和根號(hào)不含三角函數(shù)式，對(duì)能求出具體數(shù)值的，要求出值.（2）三角函數(shù)的求值問題，是訓(xùn)練三角恒等變換的基本題型，求值的關(guān)鍵是熟練掌握公式及應(yīng)用, ，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，對(duì)角的范圍尤其要注意討論.（3）證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.證明時(shí)常用的方法有：①從一邊開始，證明它等于另一邊；②證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；③證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立；④分析法等.（4）近年的考綱明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查，且常結(jié)合三角形內(nèi)的三角恒等變換進(jìn)行考查．解三角形這類題目的解答程序是：一是看方向（是從角化邊入手還是邊化角入手）；二是用定理（合理且靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根據(jù)取值范圍討論并確定答案）.還要
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