【正文】 x ) ，設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ m n . ( 1 ) 若 f ( x ) 的最小正周期是 2π ，求 f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間； ( 2 ) 若 f ( x ) 的圖象的一條對(duì)稱軸是 x ＝π6， ( 0 ω 2) ，求 f ( x )的周期和值域． 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) f ( x ) ＝ c o s2ωx ＋ 3 s i n ωx c o s ωx ＝c o s 2 ωx2＋32s i n 2 ωx ＋12 ＝ s i n 2 ωx ＋π6＋12. ∵ T ＝2π2 ω＝ 2π ， ∴ ω ＝12， 則 f ( x ) ＝ s i n x ＋π6＋12， 由 2 k π －π2≤ x ＋π6≤ 2 k π ＋π2， 得 2 k π －2π3， 2 k π ＋π3( k ∈ Z ) 為單調(diào)遞增區(qū)間 ． 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) ∵ x ＝π6是函數(shù)的一條對(duì)稱軸 ， ∴ 2 ω π6＋π6＝ k π ＋π2， ∴ ω ＝ 3 k ＋ 1. 又 ∵ 0 ω 2 ， k ∈ Z ， ∴ 當(dāng) k ＝ 0 時(shí) ， ω ＝ 1 ， ∴ f ( x ) ＝ s i n 2 x ＋π6＋12， ∴ 周期為 π ， 值域?yàn)?－12，32. 【點(diǎn)評(píng)】 探求三角函數(shù)的性質(zhì)一般要先將三角函數(shù)解析式化成 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ B 的形式 ， 再借助于正弦曲線性質(zhì)來(lái)處理 ． 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 3 s i n x c o s x ＋ 2 c o s2x － 1 ( x ∈ R ) ． ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的最小正周期及在區(qū)間 0 ，π2上的最大值和最小值 ； ( 2 ) 若函數(shù) f ( x ＋ φ ) 為偶函數(shù) ， 且 | φ |π2， 求角 φ 的值 ． 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) 由 f ( x ) ＝ 2 3 s i n x c o s ＋ 2 c o s2x － 1 ，得 f ( x ) ＝ 3 ( 2 s i n x c o s x ) ＋ ( 2 c o s2x － 1) ＝ 3 s i n 2 x ＋ c o s 2 x ＝ 2 s i n 2 x ＋π6， 所以函數(shù) f ( x ) 的最小正周期為 π 因?yàn)?f ( x ) ＝ 2 s i n 2 x ＋π6在區(qū)間 0 ，π6上為增函數(shù)，在區(qū)間π6，π2上為減函數(shù)，又 f ( 0 ) ＝ 1 ， fπ6＝ 2 ， f??????π2＝－ 1 ，所以函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 0 ，π2上的最大值為 2 ，最小值為－ 1. 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 f ( x ＋ φ ) ＝ s i n 2 x ＋ 2 φ ＋π6， 且為偶函數(shù) ， 由偶函數(shù)的定義可知 f ( － x ＋ φ ) ＝ f ( x ＋ φ ) ， 即 2 s i n － 2 x ＋ 2 φ ＋π6＝ 2 s i n 2 x＋ 2 φ ＋π6， 整理得 2 s i n 2 x c o s 2 φ ＋π6＝ 0 ， 所以 c o s 2 φ ＋π6＝ 0 , 2 φ ＋π6＝ k π ＋π2， 又 | φ |π2， 所以 k ＝－ 1 ， φ ＝－π3， 或 k ＝ 0 ， φ ＝π6. 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 解決本題注意三點(diǎn) ： ( 1 ) 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) ， ( 2 )弄清函數(shù)在 0 ，π2上的單調(diào)性 ， ( 3 ) 本題也可直接用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化 ： 因函數(shù) f ( x ＋ φ ) ＝ 2 s i n 2 x ＋ 2 φ ＋π6為偶函數(shù) ， 則必有 2 φ ＋π6＝k π ＋π2， ( k ∈ Z ) ； 若條件變?yōu)?“ 函數(shù) f ( x ＋ φ ) ＝ 2 s i n 2 x ＋ 2 φ ＋π6為奇函數(shù) ” ， 則 2 φ ＋π6＝ k π ， ( k ∈ Z ) ． 教師備用題 第 6講 │ 教師備用題 備選理由： 1 是由三角函數(shù)的圖象變換求解析式 ，用于基礎(chǔ)訓(xùn)練； 2,3 是圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，可用于強(qiáng)化訓(xùn)練． 1 ． [ 2 0 10 四川卷 ] 將函數(shù) y ＝ s in x 的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)π10個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍 ( 縱坐標(biāo)不變 ) ，所得圖象的函數(shù)解析式是 ( ) A ． y ＝ s in 2 x －π10 B ． y ＝ s in 2 x －π5 C ． y ＝ s in12x －π10 D ． y ＝ s in12x －π20 第 6講 │ 教師備用題 【解析】 C 將函數(shù) y ＝ s i n x 的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)π10個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的解析式為 y ＝ s i n x －π10；再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍 ( 縱坐標(biāo)不變 ) ，所得圖象的函數(shù)解析式是 y ＝ s i n12x －π10. 第 6講 │ 教師備用題 2 ． [ 2022 廣東卷 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( 3 x ＋φ )( A 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ )) ， 0 φ π 在 x ＝π12時(shí)取得最大值 4. ( 1 ) 求 f ( x ) 的最小正周期； ( 2 ) 求 f ( x ) 的解析式； ( 3 ) 若 f23α ＋π12＝125，求 s i n α 第 6講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) T ＝2π3； ( 2 ) 由 f ( x ) 的最大值是 4 知， A ＝ 4 ， f ( x )m a x＝ fπ12＝ 4 s i n 3 π12＋ φ ＝ 4 ，即 s i nπ4＋ φ ＝ 1 ， ∵ 0 φ π ， ∴π4π4＋ φ 5π4. ∴π4＋ φ ＝π2， ∴ φ ＝π4， ∴ f ( x ) ＝ 4 s i n 3 x ＋π4； ( 3 ) f23α ＋π12＝ 4 s i n 323α ＋π12＋π4＝125， 即 s i n 323α ＋π12＋π4＝35， s i n 2 α ＋π2＝35， c o s 2 α ＝35， 1 － 2 s i n2α ＝35， s i n2α ＝15， s i n α ＝ 177。55. 第 6講 │ 教師備用題 3 ． 若函數(shù) f ( x ) ＝ s in2ax － 3 s in c o s ax ( a 0) 的圖象與直線 y ＝ m 相切，相鄰切點(diǎn)之間的距離為π2. ( 1) 求 m 的值； ( 2) 若點(diǎn) A ( x 0 ， y 0 ) 是 y ＝ f ( x ) 圖象的對(duì)稱中心，且 x 0 ∈ 0 ，π2，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)． 第 6講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) f ( x ) ＝ s i n2ax － 3 s i n ax c o s ax ＝1 － c o s 2 ax2－32s i n 2 ax ＝－ s i n 2 ax ＋π6＋12， 由題意知， m 為 f ( x ) 的最大值或最小值， 所以 m ＝－12或 m ＝32. ( 2 ) 由題設(shè)知函數(shù) f ( x ) 的周期為π2， ∴ a ＝ 2 ， ∴ f ( x ) ＝－ s i n 4 x ＋π6＋12，令 s i n 4 x ＋π6＝ 0 ，得 4 x ＋π6＝ k π( k ∈ Z) ， ∴ x ＝k π4－π24( k ∈ Z) ，由 0 ≤k π4－π24≤π2( k ∈ Z) ，得 k ＝ 1 或 k ＝ 2. 因此點(diǎn) A 的坐標(biāo)為5π24，12或1 1 π24，12. 規(guī)律技巧提煉 第 6講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．五點(diǎn)法是作圖的基礎(chǔ)，五點(diǎn)的橫坐標(biāo)由 ωx ＋ φ 分別取 0 ，π2， π ，3π2， 2π 來(lái)確定；由 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 的圖象的一部分求其解析式， 其中 A是圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的一半， ω 由公式 T ＝2π| ω |確定， φ 由ωx ＋ φ 所對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)中的 “ 關(guān)鍵點(diǎn) ” 的坐標(biāo)來(lái)確定． 2 ．求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上是解不等式 ( 組 ) ，一般根據(jù)三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線直接寫(xiě)出三角不等式的解，求三角函數(shù)的值域 ( 最值 ) ，一般要結(jié)合函數(shù)的圖象，利用單調(diào)性和定義域求解． 3 ． 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心等體現(xiàn)了化歸及整體代換的思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最基本的三角函數(shù) y ＝ s i n x 或 y ＝ c o s x 來(lái)處理． 第 7講 │ 三角變換及解三角形 第 7講 三角變換及解三角形 主干知識(shí)整合 第 7講 │ 主干知識(shí)整合 一、三角公式 1 ．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式： s i n2θ ＋ c o s2θ ＝ 1 ， t a n θ ＝s i n θc o s θ . 2 ．誘導(dǎo)公式：對(duì)于 “ k π2177。 α ， k ∈ Z 的三角函數(shù)值 ” 與 “ α角的三角函數(shù)值 ” 的關(guān)系可按下面口訣記憶：有奇變偶不變，符號(hào)看象限． ( 對(duì)于 k π2177。 α ， k ∈ Z 來(lái)說(shuō)，奇、偶是指的 k 奇偶性；看象限是指把 α 當(dāng)做銳角來(lái)看時(shí)，角 k π2177。 α ， k ∈ Z 所處于的象限 ) 第 7講 │ 主干知識(shí)整合 3 ．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： s i n ( α 177。 β ) ＝ s i n α c o s β 177。 c o s α s i n β ， c o s ( α 177。 β ) ＝ c o s α c o s β ? s i n α s i n β ， t a n ( α 177。 β ) ＝t a n α 177。 t a n β1 ? t a n α t a n β ( α ， β ， α 177。 β ≠ k π177。π2， k ∈ Z) ． 4 ．二倍角公式： s i n 2 α ＝ 2 s i n α c o s α ， c o s 2 α ＝ c o s2α － s i n2α ＝ 2 c o s2α － 1 ＝ 1 － 2 s i n2α ， t a n 2 α ＝2 t a n α1 － t a n2α . 5 ．輔助角公式： a s i n x ＋ b c o s x ＝ a2＋ b2s i n ( x ＋ φ ) ， 其中 φ 角的值由 t a n φ ＝ba確定， φ 角所在的象限由 a ， b 的符號(hào)確定，也可以理解為 φ 角的終邊過(guò)點(diǎn) ( a ， b ) ． 第 7講 │ 主干知識(shí)整合 二、正弦、余弦定理 1 ．正弦定理：在 △ A B C 中，as i n A＝bs i n B＝cs i n C＝ 2 R ， ( 其中 R 表示 △ ABC 外接圓的半徑 ) ( 1 ) a ＝ 2 R s i n A ， b ＝ 2 R s i n B ， c ＝ 2 R s i n C ； ( 2 ) s i n A ＝a2 R， s i n B ＝b2 R， s i n C ＝c2 R； ( 3 ) a s i n B ＝ b s i n A ， b s i n C ＝ c s i n B ， a s i n C ＝ c s i n A ； ( 4 ) a ∶ b ∶ c ＝ s i n A ∶ s i n B ∶ s i n C . 第 7講 │ 主干知識(shí)整合 2 ．余弦定理： ( 1 ) a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c