【正文】 3 ?2＝－ 1 ， 故 f ( x ) ＝ 2 s in ( 2 x ＋ φ ) － 1. 因為函數(shù) f ( x ) 圖象過點π12， 1 ，所以 2 π12＋ φ ＝π2＋ 2 k π ， k ∈ Z ，又 0 ≤ φ 2π ， ∴ φ ＝π3， f ( x ) ＝ 2s in 2 x ＋π3－ 1 為所求 ． 第 6講 │ 要點熱點探究 (2) 2 x ＋π3 π3 π2 π 3π2 2π 7π3 x 0 π12 π3 7π12 5π6 π f ( x ) 3 －1 1 － 1 － 3 1 3 － 1 第 6講 │ 要點熱點探究 第 6講 │ 要點熱點探究 【點評】 求三角函數(shù)的解析式 f ( x ) ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ B ，就是根據(jù)圖象的特征或函數(shù)的性質(zhì) ， 依次確定參數(shù) A ， B ， ω ，φ 的值 ． 作三角函數(shù)圖象 ， 一般用五點法 ， 本題的作圖是一個難點 ， 它難在 [0 ， π] 不是一個標準五點作圖的周期 ， 所以在x 的取值上要特別注意 ： 先確定 x 取 0 ， π ， 相應的取 2 x ＋π3取π3，7π3， 然后確定 2 x ＋π3在π3，7π3內(nèi)取π2， π ，3π2， 2π ， 相應的x 在 [0 ， π] 內(nèi)取π12，π3，7π12，5π6， 正確地列出表來是能正確畫出圖的關(guān)鍵 ． 第 6講 │ 要點熱點探究 圖 2 － 6 － 2 是函數(shù) f ( x ) ＝ A s in ( ωx ＋ φ ) ＋B??????A 0 ， ω 0 ， | φ |∈??????0 ，π2圖象的一部分，則 f ( x ) 的解析式為___ ___ __ ___ __ _ ． 圖 2 － 6 － 2 第 6講 │ 要點熱點探究 y ＝ 2 s i n??????23x ＋π6＋ 1 【解析】 根據(jù)函數(shù)圖象提供的三個數(shù)據(jù)解決 ． ( 1 ) 最低點 ( － π ，－1) ； ( 2 ) 與 y 軸的交點； ( 3 ) 最大值 3. 由于最大值和最小值之差等于 4 ，故 A ＝ 2 ， B ＝ 1. 由于 2 ＝ 2 s i n φ ＋ 1 ，取 φ ＝π6. 取 ω ( － π) ＋ φ ＝－π2，得 ω＝23. 所以函數(shù)的解析式是 y ＝ 2 s i n??????23x ＋π6＋ 1. 根據(jù)三角函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式，主要解決兩個問題，一個是 ω ，一個是 φ . ω 由三角函數(shù)的周期確定， φ 由函數(shù)圖象的位置確定．解決這類題目一般是先根據(jù)函數(shù)圖象找到函數(shù)的周期確定 ω 的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的一個特殊點確定 φ 值．這類題目中一般情況下 ω 的值是唯一確定的，但 φ 的值是不確定的，它有無數(shù)個，事實上如果 φ0是滿足條件的一個 φ 值，那么2 k π ＋ φ0都滿足條件的 φ 值，故這類題目一般都限制了 φ 的取值范圍． 要點熱點探究 第 6講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 三角函數(shù)的圖象變換 例 2 ( 1 ) 為了得到函數(shù) f ( x ) ＝ 2 c o s x ( 3 s i n x － c o s x ) ＋ 1 的圖象，需將函數(shù) y ＝ 2 s i n 2 x 的圖象向右平移 φ ( φ 0 ) 個單位，則 φ 的最小值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 若函數(shù) y ＝ s i n2??????x ＋π6與函數(shù) y ＝ s i n 2 x ＋ a c o s 2 x 的圖象的對稱軸相同，則實數(shù) a 的值為 ( ) 第 6講 │ 要點熱點探究 ( 1 )π12 ( 2 ) D 【解析】 ( 1 ) 變換函數(shù)解析式后，根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的規(guī)則求解． f ( x ) ＝ 2 c o s x ( 3 s i n x － c o s x ) ＋ 1 ＝ 2 3s i n x c o s x － 2 c o s2x ＋ 1 ＝ 3 s i n 2 x － c o s 2 x ＝ 2 s i n??????2 x －π6＝2 s i n 2??????x －π12. 因此只要把函數(shù) y ＝ 2 s i n 2 x 向右平移π12＋ 2 k π( k ∈ N) 個單位即可得到函數(shù) f ( x ) 的圖象，顯然平移的最小值為π12. 第 6講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 兩函數(shù)圖象的對稱軸相同 ， 由于正弦函數(shù) 、 余弦函數(shù)的對稱軸有無數(shù)條 ， 因此可以首先確定不含參數(shù)的三角函數(shù)的一條對稱軸 ， 根據(jù)這條對稱軸方程確定含有參數(shù)的三角函數(shù)中的參數(shù) ， 再進行檢驗 ． 第 6講 │ 要點熱點探究 y ＝ s i n2????????x ＋π6即 y ＝1 － c o s????????2 x ＋π32，這個函數(shù)圖象的對稱軸方程是 2 x ＋π3＝ k π( k∈ Z) ，取 k ＝ 0 得其中一條對稱軸方程是 x ＝－π6. 如果 x ＝－π6是函數(shù) y ＝ s i n 2 x ＋a c o s 2 x 的對稱軸，則當 x ＝－π6時，這個函數(shù)取得最值，即 s i n????????－π3＋ a c o s????????－π3＝177。 t a n β1 ? t a n α t a n β ( α ， β ， α 177。 2 c o s 2 0 176。＝c o s 4 0 176。 CD ) ＝6 ＋ 24， ∴ BC ＝6 b |≤ | a | | b |. ( 2 ) 根據(jù)平面向量基本定理，必須在 a ， b 不共線的情況下，若 λa ＋ μb ＝ 0 ，則 λ ＝ μ ＝ 0 ；選項 B 顯然錯誤；若 a ∥ b ，則 a在 b 上的投影為 | a |或－ | a |，平行時分兩向量的所成的角為 0176。 b |＝ | a | b| a | ( 3 ， λ ) － (32＋ λ2) ＝ 0 ，即 3 ＋ 2 λ － λ2＝ 0 ，解得 λ ＝－ 1 或 λ ＝ 3. 答案為－ 1 或 3. 【點評】 這類問題的基本解法是根據(jù)兩向量平行和垂直的條件列出方程組求解． 第 8講 │ 要點熱點探究 已知向量 a ＝ ( s i n θ ， 1) ， b ＝ (1 ， c o s θ ) ，－π2 θ π2 . ( 1 ) 若 a ⊥ b ，求 θ ； ( 2 ) 求 | a ＋ b |的最大值． 第 8講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) a ⊥ b ? a a ＝ ??????a2，故 | a |＝ a 兩種， a a ； ② c o s θ ＝a s i n 6 0 176。 ＝ 1 2 0 176。c o s 1 0 176。 ＋ 3 s i n 1 0 176。 β ) ＝ s i n α c o s β 177。 在此狀態(tài)下，如果有的公式雙擊后無法用公式編輯器編輯，請選中此公式，點擊右鍵、 “ 切換域代碼 ” ，即可進行編輯。 α ， k ∈ Z 的三角函數(shù)值 ” 與 “ α角的三角函數(shù)值 ” 的關(guān)系可按下面口訣記憶：有奇變偶不變，符號看象限． ( 對于 k π2177。 ＋ s i n 5 0 176。 2 c o s 2 0 176。 ， ∠ ADB ＝ 4 5 176。 s i n ∠ BCDs i n ∠ C B D＝6 2232＝ 2 6 ， 第 7講 │ 要點熱點探究 BC ＝CD c o s θ 叫做向量 a 在向量 b 方向上的投影 ( θ 為向量 a ， b 的夾角 ) ． ( 1 ) a b )2 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) C ( 2 ) D 【解析】 ( 1 ) 根據(jù)有關(guān)的知識逐個作出判斷，注意與實數(shù)運算的區(qū)別． ① 是對的； ② 僅得 a ⊥ b ； ③ ( a ＋ b ) b D ． | a ( 3 ， λ ) ＝ 0 ，即 3 ＋ 2 λ － λ2＝ 0 ，解得 λ ＝－ 1 或 λ＝ 3. 答案為－ 1 或 3. 方法 2 ：??????2 a － b ⊥ b ，故 (2 a － b ) b ＋ 1 的值域． 第 8講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) 當 x ＝π3時， a ＝??????c o sπ3， s i nπ3＝????????12，32. c o s 〈 a ， c 〉＝a b 正確； | a b ＝ 0 ， ( a b ＝ 0 ，則 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ； ③ 若不平行的兩個非零向量 a ， b ，滿足 | a |＝ | b |，則 ( a ＋ b ) c o s 4 5 176。 － ∠ B C D － ∠ CDB ＝ 1 8 0 176。 2 c o s 2 0 176。 h a ( h a 表示 a 邊上的高 ) ； ( 2 ) S ＝12ab s i n C ＝12ac s i n B ＝12bc s i n A ＝a b c4 R( 其中 R 表示 △ ABC外接圓的半徑 ) ； ( 3 ) S ＝12r ( a ＋ b ＋ c )( 其中 r 表示 △ A B C 內(nèi)切圓的半徑 ) ． 要點熱點探究 第 7講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 三角函數(shù)的求值 例 1 ( 1 ) 求值：c o s 4 0 176。 n . ( 1 ) 若 f ( x ) 的最小正周期是 2π ，求 f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間； ( 2 ) 若 f ( x ) 的圖象的一條對稱軸是 x ＝π6， ( 0 ω 2) ，求 f ( x )的周期和值域． 第 6講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) f ( x ) ＝ c o s2ωx ＋ 3 s i n ωx 1 ＋ a2，即34－32a ＋14a2＝ 1 ＋ a2，即 3 a2＋ 2 3 a ＋ 1 ＝ 0 ，解得 a ＝－33. 當 a ＝－33時，函數(shù) y ＝ s i n 2 x ＋ a c o s 2 x ＝ s i n 2 x －33c o s 2 x ＝－2 33??????32s i n 2 x －12c o s 2 x ＝2 33c o s????????2 x ＋π3，顯然此時符合要求．故 a ＝－33，應選 D. 第 6講 │ 要點熱點探究 【點評】 當兩個函數(shù)的名稱不同時，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一，其次要把 ωx ＋ φ 變換成 ω??????x ＋φω再確定平移的單位、根據(jù)φω的符號確定平移的方向．函數(shù)圖象的平移變換規(guī)則是“ 左加右減 ” ，并且在變換過程中只變換其中的自變量 x ，如果 x 的系數(shù)不是 1 ，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位和方向． 要點熱點探究 第 6講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 三角函數(shù)的性質(zhì) 例 3 已知向量 m ＝ ( c o s ωx ， s i n ωx ) ， n ＝ ( c o s ωx ， 3 c o s ωx ) ，設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ m π2， k ∈ Z) ． 4 ．二倍角公式： s i n 2 α ＝ 2 s i n α c o s α ， c o s 2 α ＝ c o s2α － s i n2α ＝ 2 c o s2α － 1 ＝ 1 － 2 s i n2α ， t a n 2 α ＝2 t a n α1 － t a n2α . 5 ．輔助角公式： a s i n x ＋ b c o s x ＝ a2＋ b2s i n ( x ＋ φ ) ， 其中 φ 角的值由 t a n φ ＝ba確定