【正文】 c 的最小值及相應 x 的值； ( 2 ) 若 a 與 b 的夾角為π3，且 a ⊥ c ，求 t a n 2 α 的值． 第 8講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) ∵ b ＝ ( c o s x ， s i n x ) ， c ＝ ( s i n x ＋ 2 s i n α ， c o s x ＋ 2 c o s α ) ， α ＝π4， ∴ f ( x ) ＝ b b |＝ | a | | b | c o s θ＝ 177。 | b |； ③ a ＝ s i n ( 4 5 176。 ， ∴∠ CAD ＝ 3 0 176。 s i n 7 0 176。 β ) ＝ c o s α c o s β ? s i n α s i n β ， t a n ( α 177。 如有疑問歡迎致電： 01058818066 第 6講 三角函數(shù)的圖象與性質 第 7講 三角變換及解三角形 第 8講 平面向量及其應用 專題 2 三角函數(shù)與 平面向量 專題 2 三角函數(shù)與平面向量 知識網(wǎng)絡構建 專題 2 │ 知識網(wǎng)絡構建 考情分析預測 專題 2 │ 考情分析預測 專題 2 │ 考情分析預測 專題 2 │ 考情分析預測 專題 2 │ 考情分析預測 專題 2 │ 考情分析預測 專題 2 │ 考情分析預測 三角函數(shù)作為基本初等函數(shù) ， 它是周期函數(shù)模型的典范 ，這部分內(nèi)容概念 、 公式較多 ， 知識點瑣碎繁雜 ， 需要強化記憶 ，要把握三角函數(shù)圖象的幾何特征 ， 靈活應用其性質 ． 平面向量具有幾何與代數(shù)形式的雙重性 ， 是知識網(wǎng)絡的重要交匯點 ， 它與三角函數(shù) 、 解析幾何 、 平面幾何等都有一定的聯(lián)系 ， 要給予高度的重視 ． 從近兩年的高考題可以看出 ， 每年對該專題的考查主要有兩種形式 ： 一是以小題形式考查概念 、 性質和公式的應用 ， 一般考查 2 道小題 ， 二是以解答題的形式考查三角函數(shù)的性質以及平面向量與三角的綜合題 ， 每年必考一大題 ， 難度一般為中檔 ， 總的來看 ， 這部分題是高考中容易得分的內(nèi)容 ． 專題 2 │ 考情分析預測 預計 2 0 1 1 年的考查形式不會變 ， 解答題仍可能以向量為載體 ， 考查三角函數(shù)性質以及三角變換為主 ， 其熱點是恒等變換與解三角形 ， 特別是三角形中的三角函數(shù)問題要充分重視 ， 因此對該部分的復習備考應注意基礎性 、 應用性和工具性 ． 第 6講 │ 三角函數(shù)的圖象與性質 第 6講 三角函數(shù)的圖象與性質 主干知識整合 第 6講 │ 主干知識整合 一、三角函數(shù)的圖象 1 ．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象． 2 ． y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ )( A 0 ， ω 0 ) 圖象及變換． ( 1 ) 由函數(shù) y ＝ s i n x 到 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 的圖象變換：先將函數(shù) y ＝ s i n x 的圖象向左 ( φ 0) 或向右 ( φ 0 ) 平移 | φ |個單位，再將其上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω倍，最后將各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?A 倍．也可以先進行周期變換再進行相位變換，但此時平移φω個單位． 第 6講 │ 主干知識整合 ( 2 ) 注意 ： “ 變量變化 ” 與 “ 圖象變化 ” 的關系 ： 當 x → x ＋φ 時 ， 若 φ 0 則向左移 φ 個單位 ； 若 φ 0 則向右移 | φ |個單位 ． 當y → y ＋ m 時 ， 若 m 0 則向下移 m 個單位 ； 若 m 0 則向上移 | m |個單位 ． 當 x → ωx ( ω 0 ) 時 ， 則其橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω. 當y → ky ( k 0 ) 時 ， 其縱坐標變?yōu)樵瓉淼?k. 要注意體會其 “ 相反 ” 的變化過程 ， 把握其實質 ． 3 ． 不論是由解析式作圖象 ， 還是由圖象求解析式一般都采用 “ 五點法 ” ． 第 6講 │ 主干知識整合 二、三角函數(shù)的性質 ( 定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期性、對稱性 ) 1 ．三角函數(shù)的單調性是三角函數(shù)最核心的性質，求定義域、值域、最值問題一般都與函數(shù)的單調性有關． 2 ．對于函數(shù) y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ，周期 T ＝2π| ω |，其對稱軸是函數(shù)取得最大值或最小值所對應的直線，可由 ωx ＋ φ ＝ k π ＋π2， k ∈ Z 求出；其對稱中心是函數(shù)圖象與 x 軸的交點，可由 ωx ＋ φ ＝ k π ， k ∈ Z 求出；只有當其可化為： y ＝ 177。廣東卷 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( 3 x ＋φ )( A 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ )) ， 0 φ π 在 x ＝π12時取得最大值 4. ( 1 ) 求 f ( x ) 的最小正周期； ( 2 ) 求 f ( x ) 的解析式； ( 3 ) 若 f23α ＋π12＝125，求 s i n α 第 6講 │ 教師備用題 【解答】 ( 1 ) T ＝2π3； ( 2 ) 由 f ( x ) 的最大值是 4 知， A ＝ 4 ， f ( x )m a x＝ fπ12＝ 4 s i n 3 π12＋ φ ＝ 4 ，即 s i nπ4＋ φ ＝ 1 ， ∵ 0 φ π ， ∴π4π4＋ φ 5π4. ∴π4＋ φ ＝π2， ∴ φ ＝π4， ∴ f ( x ) ＝ 4 s i n 3 x ＋π4； ( 3 ) f23α ＋π12＝ 4 s i n 323α ＋π12＋π4＝125， 即 s i n 323α ＋π12＋π4＝35， s i n 2 α ＋π2＝35， c o s 2 α ＝35， 1 － 2 s i n2α ＝35， s i n2α ＝15， s i n α ＝ 177。 1 ＋ c o s 4 0 176。s i n 7 0 176。 ， ∠ B C D ＝ 4 5 176。 ) ＝ 6 0 176。 s i n α＝ s i nα2177。 b ＝ 0 ，則 a ∥ b C ．若 a ∥ b ，則 a 在 b 上的投影為 | a | D ．若 a ⊥ b ，則 a | b | C ． λ ( a s i n θ ＝ 3 c o s θ ， 從而 t a n θ ＝ 3 . 方法 3 ： 向量 a ， b 可以分別看作兩條直線的方向向量 ， 由于a ∥ b ， 則這兩條直線平行 ， 其斜率相等 ． 以向量 a 為方向向量的直線的斜率為 3 ， 以向量 b 為方向向量的直線的斜率是 t a n θ ， 所以 t a n θ ＝ 3 . 第 8講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 方法 1 ： a ＝??????2 ， 1 ， b ＝??????3 ， λ ，故 2 a － b ＝ ( 1 , 2 － λ ).??????2 a － b⊥ b ，故 (2 a － b ) b ＋ 1 ＝ 2( － c o s2x ＋ s i n x c o s x ) ＋ 1 ＝ 2 s i n x c o s x － ( 2 c o s2x － 1) ＝ s i n 2 x － c o s 2 x ＝ 2 s i n??????2 x －π4 當 x ∈??????0 ，π2時， 2 x －π4∈??????－π4，3π4， s i n??????2 x －π4∈????????－22， 1 . ∴ f ( x ) 的值域為 [ － 1 ， 2 ] ． 第 8講 │ 教師備用題 3 ． 已知向量 m ＝ ( s i n A ， s in B ) ， n ＝ ( c o s B ， c o s A ) ， m | b | | c o s θ |≤ | a | a B ． | a b ＝ | a | ( s i n A ＋ 3 c o s A ) －32＝0. 所以1 － c o s 2 A2＋32s i n 2 A －32＝ 0 ， 即32s i n 2 A －12c o s 2 A ＝ 1 ， 即 s i n 2 A －π6＝ 1. 因為 A ∈ (0 ， π) ，所以 2 A －π6∈ －π6，1 1 π6. 故 2 A －π6＝π2， A ＝π3. 第 7講 │ 教師備用題 (2) 由余弦定理，得 4 ＝ b2＋ c2－ bc . 又 S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ， 而 b2＋ c2≥ 2 bc ? bc ＋ 4 ≥ 2 bc ? bc ≤ 4 ， ( 當且僅當 b ＝ c 時等號成立 ) 所以 S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ≤34 4 ＝ 3 . 當 △ ABC 的面積取最大值時， b ＝ c . 又 A ＝π3， 故此時 △ ABC 為等邊三角形． 規(guī)律技巧提煉 第 7講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ． 三角函數(shù)恒等變換一般遵循 ： 從函數(shù)名 、 角 、 運算三方面進行差異分析 ， 再利用三角公式使異角化同角 ，異名化同名 ， 高次化低次等 ， 體現(xiàn)統(tǒng)一的思想 ． 2 ． 三角函數(shù)恒等變換的基本策略 ： ( 1 ) 常值代換 ： 特別是 “1” 的代換 ， 1 ＝ s i n2θ ＋ c o s2θ ＝t a n 4 5 176。 － ( 3 0 176。2 c o s22 0 176。 － 10176。 ? 1 ＋ 3 t a n 1 0 176。 c o s 2 φ ＋π6＝ 0 ， 所以 c o s 2 φ ＋π6＝ 0 , 2 φ ＋π6＝ k π ＋π2， 又 | φ |π2， 所以 k ＝－ 1 ， φ ＝－π3， 或 k ＝ 0 ， φ ＝π6. 第 6講 │ 要點熱點探究 【點評】 解決本題注意三點 ： ( 1 ) 三角函數(shù)式的化簡 ， ( 2 )弄清函數(shù)在 0 ，π2上的單調性 ， ( 3 ) 本題也可直接用誘導公式轉化 ： 因函數(shù) f ( x ＋ φ ) ＝ 2 s i n 2 x ＋ 2 φ ＋π6為偶函數(shù) ， 則必有 2 φ ＋π6＝k π ＋π2， ( k ∈ Z ) ； 若條件變?yōu)?“ 函數(shù) f ( x ＋ φ ) ＝ 2 s i n 2 x ＋ 2 φ ＋π6為奇函數(shù) ” ， 則 2 φ ＋π6＝ k π ， ( k ∈ Z ) ． 教師備用題 第 6講 │ 教師備用題 備選理由： 1 是由三角函數(shù)的圖象變換求解析式 ，用于基礎訓練； 2,3 是圖象與性質的綜合應用，可用于強化訓練． 1 ． [ 2 0 10 A c o s ( x ) 時才具有奇偶性． 類似地，可得到函數(shù) y ＝ A c o s ( ωx ＋ φ ) 的圖象與性質． 對于 y ＝ A t a n ( ωx ＋ φ ) 的圖象與性質，需注意兩點： ① 周期 T ＝π| ω |， ②其圖象只有對稱中心而沒有對稱軸，并且對稱中心為k π2， 0 ， k ∈ Z. 要點熱點探究 第 6講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 三角函數(shù)的圖象與解析式 例 1 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ B ( A 0 ， ω 0 , 0 ≤ φ 2 π )在同一周期內(nèi)有最高點π12， 1 和最低點7π12，－ 3. ( 1 ) 求函數(shù) y ＝ f ( x ) 的解析式； ( 2 ) 畫出函數(shù) y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 [0 ， π] 上的圖象． 第 6講 │ 要點熱點探究 圖 2 － 6 － 1 第 6講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1) 由題意， 2 A ＝ 1 － ( － 3) ＝ 4 ，T2＝7π12－π12＝π2， ∴ A ＝ 2 ， T ＝ π ， B ＝1 ＋ ? －