【正文】 就統(tǒng)一起來了. 復數(shù)的引入打開了數(shù)學的廣闊領(lǐng)域,指數(shù)(與對數(shù)) 在這里起了重大作用. e 的作用如同π一樣可以說是無所不在. 但是復數(shù)的引入也帶來了許多問題,需要把微積分的幾乎所有基本概念都作很大的發(fā)展. 但是, 以上的“論證”其實只是一種類比,不能說是證明. 要證明也難, 因為首先要弄清究竟是什么,也就是要給出定義. 完全依靠我們的經(jīng)驗來解釋它, 是不可能的. 因為實在無法以令人信服的方法,. 所以, 論證歐拉公式(11) 的方法就有了很多. 可能最常用的是歐拉提出的用無窮級數(shù)的方法. 目前的微積分教本多半采用它. 從邏輯的角度看, 這種方法是沒有毛病的,但是仍然需要說明何以是指數(shù)函數(shù). 而且用那個方法可能先要會求sin x ,cos x 的各階導數(shù), 證明其泰勒級數(shù)的收斂性, 然后再討論復域中的冪級數(shù). 這個過程太長, 甚至大學的數(shù)學專業(yè)也要到二年級甚至三年級才能講到歐拉公式. 即令對于大學生,這也太晚. 剝奪了學生更早地接觸許多重要思想的機會,何況是中學老師. 對于中學生, 我想很難去講歐拉公式, 但是至少對于一部分學生, 可以用一種通俗有趣的方法告訴他們歐拉公式, 并且鼓勵他們用這個公式. 這對于刺激他們?nèi)?chuàng)造, 大有好處. 我發(fā)現(xiàn)有許多人正是通過一種“非正規(guī)”的方法來接受歐拉公式的, 而且他們也多認為大有好處 (至少是沒有壞處) . 因此, 寧可放棄邏輯的嚴格性,而給學生一些生動的創(chuàng)造思維. 這也就是前面引用的那句話:“冰冷的美麗與火熱的思考”. 我們采用以上的方法是因為它與前面講的三角函數(shù)關(guān)系最密切,比較直觀而且與勻速圓周運動密切相關(guān). 但是不論采用哪一種, 都少不了思想的飛躍, 都需要對某些基本概念基本方法作重要的補充與發(fā)展. 只有這樣來看待e 和歐拉公式等等才能跳出只把它們看成神奇的魔術(shù)的局限性, 理解其真正的神奇何在. 我誠懇地希望與讀者共同探討這個問題.這里還想多說兩句話. 前面我們說, 正因為也適合(14) 式就有理由認為也是指數(shù)函數(shù),這是否有點強詞奪理?為了硬把說成是指數(shù)函數(shù), 故意強調(diào)指數(shù)定律(主要是加法定理) 的重要性. 我不得不以最堅決的態(tài)度說:絕非如此. 理由何在? 指數(shù)定律(主要是加法定理) 是定義指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ). 初中生都知道,這不就是加法定理嗎?所以正整數(shù)冪的定義就是加法定理. 再看分數(shù)冪. 應(yīng)如何定義?假設(shè)應(yīng)該定義為b,則由加法定理, ( ?表示m個因子) , 所以是方程的正根,即算術(shù)根(為什么特意講到算術(shù)根, 這里另有一大篇文章, 本文最后一部分專門討論它) . 所以 (取算術(shù)根) . 由加法定理所以=1. 至于負指數(shù),我們?nèi)匀挥眉臃ǘɡ碛?所以. 最后關(guān)于無理指數(shù),用一點極限思想就可以迎刃而解. 總之, 我們可以得到一個定理 以下函數(shù)方程的連續(xù)正解就是指數(shù)函數(shù) ,a 是任意的正數(shù).總之, 可見我們完全有理由用加法定理作為指數(shù)函數(shù)的定義. 這種講法可以十分自然地推廣到復數(shù). 這樣,正因為適合(14) 式就有理由認為也是指數(shù)函數(shù). ( 許多常見的微積分教材用冪級數(shù)定義指數(shù)函數(shù),卻忘記了還應(yīng)該用冪級數(shù)證明一下加法定理,這不能不說是一個漏洞. ) 如果讀者愿意詳細證明一下上述定理, 注意一下其中各個條件的作用,以及在復數(shù)情況下應(yīng)如何改變, 會很有好處. 我們講這些東西, 并非想讓中學生這樣來學, 而是希望讀者知道, 經(jīng)過了好幾個世紀的發(fā)展與積累, 初等數(shù)學這一塊已經(jīng)非常嚴整而且自然、生動而美麗,而且仍然保持了創(chuàng)造的活力. 決不要以為現(xiàn)在通行的教法是完全無懈可擊的“自古華山一條路”,這不是貶低現(xiàn)有教材和教法, 教材和教法需要考慮學生的接受可能,而且正如費曼說的怎樣教的方法或多或少地來自常識, 知道這些, 特別是看到不論采用哪一種講法, 都少不了思想的飛躍, 都需要對某些基本概念基本方法作哪些補充和發(fā)展. 這就能更深地理解教材想教給學生的是什么, 才能更自如地應(yīng)對教學.下面關(guān)于教學問題提一點想法. 本文第一部分用向量方法來處理三角函數(shù), 并且指出它的各種性質(zhì)都是從本質(zhì)上反映了勻速圓周運動的特點, 從而大為簡化了原有教材. . 這一些都不超過中學生的接受水平與課標的要求. 第二部分則不同. 現(xiàn)在雖然在中學教材中增加了微分學的內(nèi)容,但似乎不要求講正余弦函數(shù)的導數(shù),更不用說指數(shù)對數(shù)了. ( 我有一個想法: 如果只限于講多項式的導數(shù), 又何必要微分學呢?如果只要求一點“基本思想”,限于多項式豈非太空泛?) 如果要講正余弦的導數(shù), 我認為本文介紹的講法較好. 總之, 一切要以學生有可能接受而不造成過重負擔為準. 至于復數(shù)的引入應(yīng)該說問題更大. 認為引入i 就是為了求解,當然是過于簡單化了. 以我之見,不僅是中學而且包括大學, 學生接觸復數(shù)都太晚. 例如歐拉公式這樣重要的內(nèi)容, 很可能要拖到學復分析才能接觸到. 其原因在于把實變量與復變量分得太嚴格. 當然眾所周知, 一個函數(shù)如果自變量是復的, . 例如,不論c是實的還是復的都是一樣的. 但x 一定是實的,就是說只限于討論實自變量的函數(shù). 當然, 函數(shù)值限于取實的還是也允許取復的, 有時也有區(qū)別, 例如拉格朗日中值定理對復值( 不是復自變量) 函數(shù)一般都不成立. 復數(shù)的教學應(yīng)該專門討論這里不說. 但即令在中學數(shù)學范圍內(nèi)也有一些重要問題需要從復數(shù)觀點來看才能明白. 算術(shù)根問題是一個例子.3 關(guān)于算術(shù)根算術(shù)根的處理, 在現(xiàn)有的中學教材中, 一般均不夠清楚,留下不少漏洞.中學里一定會講到0 不能作分母. 而且有例子說明,如果違反了這個規(guī)定就可能得出1 = 2 這樣的結(jié)論. 其實圍繞著算術(shù)根概念也一樣會出類似的問題,下面是一個例子:( ⅱ) 雙方開平方,有 .( ⅲ) 所以( ⅳ) 所以i2 = 1 ,即 1 = 1.甚至歐拉也犯過這樣的錯誤:.出現(xiàn)這類錯誤的原因主要在于使用指數(shù)定律(15)時忽視了a 0 這一條件的絕對重要性, 也就是超越了算術(shù)根來應(yīng)用指數(shù)定律(15) . 現(xiàn)在仔細分析上例.第二步( ⅱ) 由 1/ 1 = 1/ 1 雙方開方,涉及到在根號下出現(xiàn)負數(shù),因此超出了算術(shù)根概念. 當a= b 0 時才能得到,因為都是指算術(shù)根. 中 1/ 1 不是正數(shù),想要開方就必須超越算術(shù)根的限制而進入復域. 注意到| 1/ 1 | = 1 ,而有同理,沒有理由認為k 與l 相同,因此開方后,只會得到只有當k 和l 具有相同奇偶性時,二者才能等,否則二者符號相反. 因此, 第二步( ⅱ) 應(yīng)改為= 177。 ,這里的錯誤在于只看了k , l 奇偶性相同的情況.第三步( ⅲ) 應(yīng)用了指數(shù)定律中的于是又違反了a, b均為正的要求, 所以又應(yīng)該進入復域, 而把分子分母分別寫為 1 = ,1 = ,但不能保證有相同奇偶性. 所以 =它可以有兩個值以及 ,視k為奇或偶而定. 同理右方也應(yīng)該有兩個值與 .問題在于左右兩方的值如何配對. 這里有4 個配對方式: ①左 ,右 。 ②左 ,右。 ③左 ,右。 ④左 , 右 . 顯然若取配對①②,則左右雙方不能相等, 而取③, ④時, 總是得到i = i 或 i = i. 總之不能一概地說= . 因此只能在③, ④兩種配對下得出i = i , i2 = i2 即 1 = 1 而不會有問題. 若取配對①②則= 不能成立. 進入復域后,我們會發(fā)現(xiàn),有時同一個記號可能代表多個值, 這時兩個記號相等是什么意思?直截了當?shù)卣f,“等號= ”是什么意思?是指對于一切配對方式都相等還是只對于某些配對方式才相等?連如此簡單的事情都會出毛病!歐拉的錯誤也可以這樣解釋.還有一個例子. 我們都習慣說許多中學教材也都這樣說. 可是, 在數(shù)學中有一條“公理”:如果兩個數(shù)A = B ,則凡遇到A 時一定可以用B 代替A ,因此,而有 2 = 2. 讀者可以說, 您是在中先按分子作平方,再按分母開6 次方. 如果把次序倒過來: 情況又如何?分數(shù)冪的定義中沒有說是先開方再乘方或相反. 所以還是要進入復域而有它實際上只有三個值,即令k = 0 ,1 ,2 而有第二個恰好是 2 ,它對應(yīng)于k =1. 如果我們看就會有k=0時得算術(shù)根2 , k = 1 ,2 時則得到2ω,2ω2 ,這里這時倒是可以說算術(shù)根是“最自然的”, 它對應(yīng)于k = 0. 至于 , 盡管我們以為是“習慣成自然”, 其實是很“不自然”的。 有什么理由特別鐘情于k = 1呢?至于為什么由會得出兩個不同結(jié)果讀者可以自己試著解釋.現(xiàn)在的中學教材中講到指數(shù)與冪時已經(jīng)規(guī)定了“底”應(yīng)該為正. 當?shù)譨 為一般的復數(shù)時, 必須進入復域,而研究當a 為正數(shù)時,則因arga = 0 ,再取“自然的”k = 0 ,整個問題就化為算術(shù)根問題, 而繞過了復雜的輻角問題. 所以根號和分數(shù)冪記號只有在a0時才不會引起誤解. 我認為對此應(yīng)該更加強調(diào). 所以我建議,在教材中講到根號和分數(shù)冪時采用以下的表述:記號和只有在a 0 時才有意義. 它們代表算術(shù)根, 即的唯一正根. 而且指數(shù)定律 (15) 成立. a 0 時這些記號沒有意義.其實這時有唯一正根也應(yīng)該證明的,但是這超出了中學生的接受能力.但是習慣成自然還是應(yīng)該照顧, 所以還應(yīng)該設(shè)法保留而又不讓它出毛病. 因此在說了上面這段話以后還可以加兩點附注.附注1. 若a 0 ,記號,本來沒有意義. 但當n 為奇數(shù)時, 我們習慣于寫出=== (因為這時a = | a | ) . 所以我們也常寫 所以我們規(guī)定,作為一種方便之計, 在這時我們?nèi)杂?代表= 但是這種規(guī)定不能作正規(guī)的用途, 一旦計算起來我們只能寫. 這樣還是回到了算術(shù)根.這就好比,一位同學可以有小名:“狗兒”, 平時喊慣了什么問題也沒有, 但是高考填表時, 姓名欄下就不能這樣寫.附注2. a = 0 時,我們也規(guī)定== 0,但是這不是算術(shù)根,即不是= 0 的唯一正根. 它是既不正也不唯一( n 重實根算作n 個根) . 同時, 遇到負指數(shù)還會出大麻煩.中學教材中還有一些地方會在根號上出問題,一是三角中的半角公式,例如. 這時根號是算術(shù)根一般無問題,=π時cosθ+ 1 = 0 就已不是算術(shù)根. 至于取+ 號還是取 號,要看在哪個象限而定. 有不少書上就簡單寫作,這也只是一種方便的辦法, 真正用起來,還是要看在哪個象限中而定. 另一個更常見, 就是二次方程的根的公式,這里當然不一定是算術(shù)根,因為講這個公式時一般都包括了≤0 的情況在內(nèi).總之, 盡管我們不能要求中學生都很好地掌握很多復數(shù)理論, 但是對于教師, 為了更深地理解中學教材,少出毛病,懂得復數(shù)是必不可少的, 至于學生能學多少,我還沒有一定的看法. (全文完)