【正文】 就統(tǒng)一起來(lái)了. 復(fù)數(shù)的引入打開了數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域,指數(shù)(與對(duì)數(shù)) 在這里起了重大作用. e 的作用如同π一樣可以說是無(wú)所不在. 但是復(fù)數(shù)的引入也帶來(lái)了許多問題,需要把微積分的幾乎所有基本概念都作很大的發(fā)展. 但是, 以上的“論證”其實(shí)只是一種類比,不能說是證明. 要證明也難, 因?yàn)槭紫纫寰烤故鞘裁?也就是要給出定義. 完全依靠我們的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解釋它, 是不可能的. 因?yàn)閷?shí)在無(wú)法以令人信服的方法,. 所以, 論證歐拉公式(11) 的方法就有了很多. 可能最常用的是歐拉提出的用無(wú)窮級(jí)數(shù)的方法. 目前的微積分教本多半采用它. 從邏輯的角度看, 這種方法是沒有毛病的,但是仍然需要說明何以是指數(shù)函數(shù). 而且用那個(gè)方法可能先要會(huì)求sin x ,cos x 的各階導(dǎo)數(shù), 證明其泰勒級(jí)數(shù)的收斂性, 然后再討論復(fù)域中的冪級(jí)數(shù). 這個(gè)過程太長(zhǎng), 甚至大學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)也要到二年級(jí)甚至三年級(jí)才能講到歐拉公式. 即令對(duì)于大學(xué)生,這也太晚. 剝奪了學(xué)生更早地接觸許多重要思想的機(jī)會(huì),何況是中學(xué)老師. 對(duì)于中學(xué)生, 我想很難去講歐拉公式, 但是至少對(duì)于一部分學(xué)生, 可以用一種通俗有趣的方法告訴他們歐拉公式, 并且鼓勵(lì)他們用這個(gè)公式. 這對(duì)于刺激他們?nèi)?chuàng)造, 大有好處. 我發(fā)現(xiàn)有許多人正是通過一種“非正規(guī)”的方法來(lái)接受歐拉公式的, 而且他們也多認(rèn)為大有好處 (至少是沒有壞處) . 因此, 寧可放棄邏輯的嚴(yán)格性,而給學(xué)生一些生動(dòng)的創(chuàng)造思維. 這也就是前面引用的那句話:“冰冷的美麗與火熱的思考”. 我們采用以上的方法是因?yàn)樗c前面講的三角函數(shù)關(guān)系最密切,比較直觀而且與勻速圓周運(yùn)動(dòng)密切相關(guān). 但是不論采用哪一種, 都少不了思想的飛躍, 都需要對(duì)某些基本概念基本方法作重要的補(bǔ)充與發(fā)展. 只有這樣來(lái)看待e 和歐拉公式等等才能跳出只把它們看成神奇的魔術(shù)的局限性, 理解其真正的神奇何在. 我誠(chéng)懇地希望與讀者共同探討這個(gè)問題.這里還想多說兩句話. 前面我們說, 正因?yàn)橐策m合(14) 式就有理由認(rèn)為也是指數(shù)函數(shù),這是否有點(diǎn)強(qiáng)詞奪理?為了硬把說成是指數(shù)函數(shù), 故意強(qiáng)調(diào)指數(shù)定律(主要是加法定理) 的重要性. 我不得不以最堅(jiān)決的態(tài)度說:絕非如此. 理由何在? 指數(shù)定律(主要是加法定理) 是定義指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ). 初中生都知道,這不就是加法定理嗎?所以正整數(shù)冪的定義就是加法定理. 再看分?jǐn)?shù)冪. 應(yīng)如何定義?假設(shè)應(yīng)該定義為b,則由加法定理, ( ?表示m個(gè)因子) , 所以是方程的正根,即算術(shù)根(為什么特意講到算術(shù)根, 這里另有一大篇文章, 本文最后一部分專門討論它) . 所以 (取算術(shù)根) . 由加法定理所以=1. 至于負(fù)指數(shù),我們?nèi)匀挥眉臃ǘɡ碛?所以. 最后關(guān)于無(wú)理指數(shù),用一點(diǎn)極限思想就可以迎刃而解. 總之, 我們可以得到一個(gè)定理 以下函數(shù)方程的連續(xù)正解就是指數(shù)函數(shù) ,a 是任意的正數(shù).總之, 可見我們完全有理由用加法定理作為指數(shù)函數(shù)的定義. 這種講法可以十分自然地推廣到復(fù)數(shù). 這樣,正因?yàn)檫m合(14) 式就有理由認(rèn)為也是指數(shù)函數(shù). ( 許多常見的微積分教材用冪級(jí)數(shù)定義指數(shù)函數(shù),卻忘記了還應(yīng)該用冪級(jí)數(shù)證明一下加法定理,這不能不說是一個(gè)漏洞. ) 如果讀者愿意詳細(xì)證明一下上述定理, 注意一下其中各個(gè)條件的作用,以及在復(fù)數(shù)情況下應(yīng)如何改變, 會(huì)很有好處. 我們講這些東西, 并非想讓中學(xué)生這樣來(lái)學(xué), 而是希望讀者知道, 經(jīng)過了好幾個(gè)世紀(jì)的發(fā)展與積累, 初等數(shù)學(xué)這一塊已經(jīng)非常嚴(yán)整而且自然、生動(dòng)而美麗,而且仍然保持了創(chuàng)造的活力. 決不要以為現(xiàn)在通行的教法是完全無(wú)懈可擊的“自古華山一條路”,這不是貶低現(xiàn)有教材和教法, 教材和教法需要考慮學(xué)生的接受可能,而且正如費(fèi)曼說的怎樣教的方法或多或少地來(lái)自常識(shí), 知道這些, 特別是看到不論采用哪一種講法, 都少不了思想的飛躍, 都需要對(duì)某些基本概念基本方法作哪些補(bǔ)充和發(fā)展. 這就能更深地理解教材想教給學(xué)生的是什么, 才能更自如地應(yīng)對(duì)教學(xué).下面關(guān)于教學(xué)問題提一點(diǎn)想法. 本文第一部分用向量方法來(lái)處理三角函數(shù), 并且指出它的各種性質(zhì)都是從本質(zhì)上反映了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn), 從而大為簡(jiǎn)化了原有教材. . 這一些都不超過中學(xué)生的接受水平與課標(biāo)的要求. 第二部分則不同. 現(xiàn)在雖然在中學(xué)教材中增加了微分學(xué)的內(nèi)容,但似乎不要求講正余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),更不用說指數(shù)對(duì)數(shù)了. ( 我有一個(gè)想法: 如果只限于講多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù), 又何必要微分學(xué)呢?如果只要求一點(diǎn)“基本思想”,限于多項(xiàng)式豈非太空泛?) 如果要講正余弦的導(dǎo)數(shù), 我認(rèn)為本文介紹的講法較好. 總之, 一切要以學(xué)生有可能接受而不造成過重負(fù)擔(dān)為準(zhǔn). 至于復(fù)數(shù)的引入應(yīng)該說問題更大. 認(rèn)為引入i 就是為了求解,當(dāng)然是過于簡(jiǎn)單化了. 以我之見,不僅是中學(xué)而且包括大學(xué), 學(xué)生接觸復(fù)數(shù)都太晚. 例如歐拉公式這樣重要的內(nèi)容, 很可能要拖到學(xué)復(fù)分析才能接觸到. 其原因在于把實(shí)變量與復(fù)變量分得太嚴(yán)格. 當(dāng)然眾所周知, 一個(gè)函數(shù)如果自變量是復(fù)的, . 例如,不論c是實(shí)的還是復(fù)的都是一樣的. 但x 一定是實(shí)的,就是說只限于討論實(shí)自變量的函數(shù). 當(dāng)然, 函數(shù)值限于取實(shí)的還是也允許取復(fù)的, 有時(shí)也有區(qū)別, 例如拉格朗日中值定理對(duì)復(fù)值( 不是復(fù)自變量) 函數(shù)一般都不成立. 復(fù)數(shù)的教學(xué)應(yīng)該專門討論這里不說. 但即令在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)也有一些重要問題需要從復(fù)數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看才能明白. 算術(shù)根問題是一個(gè)例子.3 關(guān)于算術(shù)根算術(shù)根的處理, 在現(xiàn)有的中學(xué)教材中, 一般均不夠清楚,留下不少漏洞.中學(xué)里一定會(huì)講到0 不能作分母. 而且有例子說明,如果違反了這個(gè)規(guī)定就可能得出1 = 2 這樣的結(jié)論. 其實(shí)圍繞著算術(shù)根概念也一樣會(huì)出類似的問題,下面是一個(gè)例子:( ⅱ) 雙方開平方,有 .( ⅲ) 所以( ⅳ) 所以i2 = 1 ,即 1 = 1.甚至歐拉也犯過這樣的錯(cuò)誤:.出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的原因主要在于使用指數(shù)定律(15)時(shí)忽視了a 0 這一條件的絕對(duì)重要性, 也就是超越了算術(shù)根來(lái)應(yīng)用指數(shù)定律(15) . 現(xiàn)在仔細(xì)分析上例.第二步( ⅱ) 由 1/ 1 = 1/ 1 雙方開方,涉及到在根號(hào)下出現(xiàn)負(fù)數(shù),因此超出了算術(shù)根概念. 當(dāng)a= b 0 時(shí)才能得到,因?yàn)槎际侵杆阈g(shù)根. 中 1/ 1 不是正數(shù),想要開方就必須超越算術(shù)根的限制而進(jìn)入復(fù)域. 注意到| 1/ 1 | = 1 ,而有同理,沒有理由認(rèn)為k 與l 相同,因此開方后,只會(huì)得到只有當(dāng)k 和l 具有相同奇偶性時(shí),二者才能等,否則二者符號(hào)相反. 因此, 第二步( ⅱ) 應(yīng)改為= 177。 ,這里的錯(cuò)誤在于只看了k , l 奇偶性相同的情況.第三步( ⅲ) 應(yīng)用了指數(shù)定律中的于是又違反了a, b均為正的要求, 所以又應(yīng)該進(jìn)入復(fù)域, 而把分子分母分別寫為 1 = ,1 = ,但不能保證有相同奇偶性. 所以 =它可以有兩個(gè)值以及 ,視k為奇或偶而定. 同理右方也應(yīng)該有兩個(gè)值與 .問題在于左右兩方的值如何配對(duì). 這里有4 個(gè)配對(duì)方式: ①左 ,右 。 ②左 ,右。 ③左 ,右。 ④左 , 右 . 顯然若取配對(duì)①②,則左右雙方不能相等, 而?、? ④時(shí), 總是得到i = i 或 i = i. 總之不能一概地說= . 因此只能在③, ④兩種配對(duì)下得出i = i , i2 = i2 即 1 = 1 而不會(huì)有問題. 若取配對(duì)①②則= 不能成立. 進(jìn)入復(fù)域后,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),有時(shí)同一個(gè)記號(hào)可能代表多個(gè)值, 這時(shí)兩個(gè)記號(hào)相等是什么意思?直截了當(dāng)?shù)卣f,“等號(hào)= ”是什么意思?是指對(duì)于一切配對(duì)方式都相等還是只對(duì)于某些配對(duì)方式才相等?連如此簡(jiǎn)單的事情都會(huì)出毛病!歐拉的錯(cuò)誤也可以這樣解釋.還有一個(gè)例子. 我們都習(xí)慣說許多中學(xué)教材也都這樣說. 可是, 在數(shù)學(xué)中有一條“公理”:如果兩個(gè)數(shù)A = B ,則凡遇到A 時(shí)一定可以用B 代替A ,因此,而有 2 = 2. 讀者可以說, 您是在中先按分子作平方,再按分母開6 次方. 如果把次序倒過來(lái): 情況又如何?分?jǐn)?shù)冪的定義中沒有說是先開方再乘方或相反. 所以還是要進(jìn)入復(fù)域而有它實(shí)際上只有三個(gè)值,即令k = 0 ,1 ,2 而有第二個(gè)恰好是 2 ,它對(duì)應(yīng)于k =1. 如果我們看就會(huì)有k=0時(shí)得算術(shù)根2 , k = 1 ,2 時(shí)則得到2ω,2ω2 ,這里這時(shí)倒是可以說算術(shù)根是“最自然的”, 它對(duì)應(yīng)于k = 0. 至于 , 盡管我們以為是“習(xí)慣成自然”, 其實(shí)是很“不自然”的。 有什么理由特別鐘情于k = 1呢?至于為什么由會(huì)得出兩個(gè)不同結(jié)果讀者可以自己試著解釋.現(xiàn)在的中學(xué)教材中講到指數(shù)與冪時(shí)已經(jīng)規(guī)定了“底”應(yīng)該為正. 當(dāng)?shù)譨 為一般的復(fù)數(shù)時(shí), 必須進(jìn)入復(fù)域,而研究當(dāng)a 為正數(shù)時(shí),則因arga = 0 ,再取“自然的”k = 0 ,整個(gè)問題就化為算術(shù)根問題, 而繞過了復(fù)雜的輻角問題. 所以根號(hào)和分?jǐn)?shù)冪記號(hào)只有在a0時(shí)才不會(huì)引起誤解. 我認(rèn)為對(duì)此應(yīng)該更加強(qiáng)調(diào). 所以我建議,在教材中講到根號(hào)和分?jǐn)?shù)冪時(shí)采用以下的表述:記號(hào)和只有在a 0 時(shí)才有意義. 它們代表算術(shù)根, 即的唯一正根. 而且指數(shù)定律 (15) 成立. a 0 時(shí)這些記號(hào)沒有意義.其實(shí)這時(shí)有唯一正根也應(yīng)該證明的,但是這超出了中學(xué)生的接受能力.但是習(xí)慣成自然還是應(yīng)該照顧, 所以還應(yīng)該設(shè)法保留而又不讓它出毛病. 因此在說了上面這段話以后還可以加兩點(diǎn)附注.附注1. 若a 0 ,記號(hào),本來(lái)沒有意義. 但當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí), 我們習(xí)慣于寫出=== (因?yàn)檫@時(shí)a = | a | ) . 所以我們也常寫 所以我們規(guī)定,作為一種方便之計(jì), 在這時(shí)我們?nèi)杂?代表= 但是這種規(guī)定不能作正規(guī)的用途, 一旦計(jì)算起來(lái)我們只能寫. 這樣還是回到了算術(shù)根.這就好比,一位同學(xué)可以有小名:“狗兒”, 平時(shí)喊慣了什么問題也沒有, 但是高考填表時(shí), 姓名欄下就不能這樣寫.附注2. a = 0 時(shí),我們也規(guī)定== 0,但是這不是算術(shù)根,即不是= 0 的唯一正根. 它是既不正也不唯一( n 重實(shí)根算作n 個(gè)根) . 同時(shí), 遇到負(fù)指數(shù)還會(huì)出大麻煩.中學(xué)教材中還有一些地方會(huì)在根號(hào)上出問題,一是三角中的半角公式,例如. 這時(shí)根號(hào)是算術(shù)根一般無(wú)問題,=π時(shí)cosθ+ 1 = 0 就已不是算術(shù)根. 至于取+ 號(hào)還是取 號(hào),要看在哪個(gè)象限而定. 有不少書上就簡(jiǎn)單寫作,這也只是一種方便的辦法, 真正用起來(lái),還是要看在哪個(gè)象限中而定. 另一個(gè)更常見, 就是二次方程的根的公式,這里當(dāng)然不一定是算術(shù)根,因?yàn)橹v這個(gè)公式時(shí)一般都包括了≤0 的情況在內(nèi).總之, 盡管我們不能要求中學(xué)生都很好地掌握很多復(fù)數(shù)理論, 但是對(duì)于教師, 為了更深地理解中學(xué)教材,少出毛病,懂得復(fù)數(shù)是必不可少的, 至于學(xué)生能學(xué)多少,我還沒有一定的看法. (全文完)