【正文】 解以及處理 問題的能力 ． 解答這類問題 ， 首先需要分析新定義的特點(diǎn) ， 把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚 ， 然后應(yīng)用到具體的解題過程之中 ， 這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 若四邊形 A 1 A 2 A 3 A 4 滿足 ： A 1 A 2→ ＋ A 3 A 4→ ＝ 0 ， ( A 1 A 2→ － A 1 A 4→ ) A 1 A 3→＝ 0 ， 則該四邊形一定是 ( ) A ． 矩形 B ． 菱形 C ． 正方形 D ． 直角梯形 B 【解析】 ∵ A 1 A 2→ ＋ A 3 A 4→ ＝ 0 ， ∴ A 1 A 2→ ＝ A 4 A 3→ ， 即四邊形A 1 A 2 A 3 A 4 是平行四邊形 ． 又 ∵ ( A 1 A 2→ － A 1 A 4→ ) A 1 A 3→ ＝ A 4 A 2→ A 1 A 3→ ＝ 0 ，∴ A 4 A 2→ ⊥ A 1 A 3→ . 于是 ， 四邊形 A 1 A 2 A 3 A 4 是菱形 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積 例 2 [ 201 1 廣東卷 ] 若向量 a ， b ， c 滿足 a ∥ b 且 a ⊥ c ，則 c ( a ＋ 2b ) ＝ ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 【分析】 首先從 a ∥ b 且 a ⊥ c 入手，找到 b 與 c 的關(guān)系，再進(jìn)行數(shù)量積計(jì)算 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 D 【解析】 因?yàn)?a ∥ b 且 a ⊥ c ，所以 b ⊥ c ，所以 c ( a ＋ 2b ) ＝ c a＋ 2b c ＝ 0. 【點(diǎn)評】 本題考查向量的運(yùn)算及向量平行與垂直的關(guān)系 ， 抓住 a ∥ b 與 a ⊥ c ，得到 b ⊥ c ，這是解決本題的關(guān)鍵 ． 求解向量的問題，有時從性質(zhì)入手更為有效 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 △ ABC 外接圓的半徑為 1 ， 圓心為 O ， 且 2 OA→ ＋ AB→ ＋ AC→ ＝ 0 ，| OA→ |＝ | AB→ |， 則 CA→ CB→ 等于 ( ) A.32 B. 3 C ． 3 D ． 2 3 C 【解析】 取 BC 邊中點(diǎn) M ， 由 2 OA→＋ AB→＋ AC→＝ 0 ，可得 2 AO→＝ AB→＋ AC→＝ 2 AM→， 則點(diǎn) M 與點(diǎn) O 重合 ． 又由 | OB→|＝ | OC→|＝ | OA→|＝ | AB→|＝ 1 ， 可得 △ ABC 是直角三角形 ， ∠ BAC＝ 90 176。 ， ∠ ABC ＝ 60 176。 ， 故 | AC | ＝ | BC | sin60176。 ＝ 2 32＝ 3 ， 則CA→ CB→＝ | CA→| | CB→| cos C ＝ | CA→|2＝ 3. 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題 例 3 如圖 8 － 1 ， 平面上定點(diǎn) F 到定直線 l 的距離 | FM | ＝ 2 ， P 為該平面上的動點(diǎn) ， 過 P 作直線 l 的垂線 ， 垂足為 Q ， 且 ( PF→＋ PQ→) ( PF→－ PQ→)＝ 0. ( 1 ) 試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系 ， 求動點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程 ； ( 2 ) 過點(diǎn) F 的直線交軌跡 C 于 A 、 B 兩點(diǎn) ， 交直線 l 于點(diǎn) N ， 已知 NA→＝ λ1AF→， NB→＝ λ2BF→， 求證 ： λ1＋ λ2為定值 ． 圖 8 － 1 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【分析】 第 ( 1 ) 問將點(diǎn)的坐標(biāo)代入題設(shè)條件中的向量關(guān)系 ， 化簡即可得到動點(diǎn) P 的軌跡方程 ； 第 ( 2 ) 問求證 λ 1 ＋ λ 2 為定值 ， 先將 λ 1 ， λ 2 用坐標(biāo)量表示出來 ， 再求和得定值 ． 【解答】 ( 1 ) 方法一 ： 以線段 FM 的中點(diǎn)為原點(diǎn) O ， 以線段 FM所在的直線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系 xOy . 則 F ( 0 , 1 ) ． 設(shè)動點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ， 則動點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ( x ，－ 1 ) ， PF→＝ ( －x , 1 － y ) ， PQ→＝ ( 0 ，－ 1 － y ), 由 ( PF→＋ PQ→) ( PF→－ PQ→) ＝ 0 ， 得 x2＝ 4 y . 方法二 ： 由 ( PF→＋ PQ→) ( PF→－ PQ→) ＝ 0 得 ， | PQ→|＝ | PF→|. 所以 ， 動點(diǎn) P 的軌跡 C 是拋物線 ， 以線段 FM 的中點(diǎn)為原點(diǎn) O ，以線段 FM 所在的直線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系 xOy ， 由 | FM |＝ 2 可得軌跡 C 的方程為 ： x2＝ 4 y . 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) 證法一 ： 設(shè)直線 AB 的方程為 y ＝ kx ＋ 1 ， A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 N??????－2k，－ 1 . 聯(lián)立方程組??? x2＝ 4 y ， y ＝ kx ＋ 1 ， 消去 y 得 ， x2－ 4 kx － 4＝ 0 ， Δ ＝ ( － 4 k )2＋ 16 ＞ 0 ， 故????? x 1 ＋ x 2 ＝ 4 k ， x 1 x 2 ＝－ 4. 由 NA→＝ λ1AF→， NB→＝ λ2BF→得 ， x1＋2k＝－ λ1x1， x2＋2k＝－ λ2x2， 整理得 ， λ1＝－ 1 －2kx1， λ2＝－ 1 －2kx2， λ1＋ λ2＝－ 2 －2k ??????1x1＋1x2＝－ 2 －2kx1＋ x2x1 x2＝－ 2 －2k4 k－ 4＝ 0. 證法二 ： 由已知 NA→＝ λ1AF→， NB→＝ λ2BF→， 得 λ1 λ2＜ 0 ， ① 如圖 ， 過 A 、B 兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線 l 的垂線 ， 垂足分別為 A B1， 則有??????NA→??????NB→＝??????AA1→??????BB1→＝??????AF→??????BF→ ，② 由 ①② 得 λ1＋ λ2＝ 0. 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評】 向量與平面解析幾何的結(jié)合是高考重要的考查內(nèi)容 ，這類問題一般都比較綜合 ， 考 查綜合應(yīng)用知識的能力 ． 向量知識在解析幾何中的應(yīng)用 ， 涉及的題型包括求曲線的方程 、 求參數(shù)的取值范圍 、 探究圓錐曲線的幾何性質(zhì) ( 特別是研究定點(diǎn) 、 定值 、 最值問題 ) ， 而解決問題一般以向量的運(yùn)算為切入口 ， 引入軌跡 ， 再對解析幾何知識進(jìn)行深入探究 ． 本題是平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 ，這是向量知識綜合應(yīng)用的一種常見高考命題方式 ． 另外 ， 向量的幾何意義及圓錐曲線的定義也是在解題中經(jīng)常用到的技巧 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 熱點(diǎn)鏈接 5 平面向量中的最值（ 或范圍 ） 問題 平面向量中的最值和范圍問題，是一個熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個量的最值、范圍，如一個向量模的最值、兩個向量夾角的范圍等 ． 最值和范圍問題都是在變動的情況下，某個量在一個特殊情況下取得極端值，也就是在動態(tài)的情況下確定一個靜態(tài)的情況，使得這個情況下某個量具有特殊的性質(zhì) ( 如最大、最小、其余 情況下都比這個量大等 ) ． 在數(shù)學(xué)上解決這類問題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)的值域解決問題，這個思想在平面向量的最值、范圍問題中也是適用的，但平面向量兼具 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” 的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問題的另一個基本思想是數(shù)形結(jié)合 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 [ 201 1 全國卷 ] 設(shè)向量 a ， b ， c 滿足 | a | ＝ | b |＝ 1 ， a b ＝－12，〈 a－ c ， b － c 〉＝ 60176。 ， 則 | c |的最大值等于 ( ) A ． 2 B. 3 C. 2 D ． 1 【分析】 根據(jù)已知可得向量 a ， b 的夾角，根據(jù)向量減法的運(yùn)算可得向量 a － b ， b － c 的幾何表示，根據(jù)其幾何意義判斷在什么情況下 |c| 最大 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 A 設(shè)向量 a ， b ， c 的起點(diǎn)為 O ，終點(diǎn)分別為 A ， B ， C ，由已知條件得， ∠ AOB ＝ 120176。 ， ∠ ACB ＝ 60176。 ，則點(diǎn) C 在 △ AOB 的外接圓上，當(dāng) OC 經(jīng)過圓心時， | c | 最大，在 △ AOB 中，求得 AB ＝ 3 ，由正弦定理得 △ AOB 外接圓的直徑是3sin120176。＝ 2 ， ????c 的最大值是 2 ，故選 A. 【點(diǎn)評】 本題以向量的數(shù)量積 、 夾角為命題形式 ， 將向量與解三角形知識有機(jī)結(jié)合 ， 考查正弦 、 余弦定理的應(yīng)用 ． 解答本題的關(guān)鍵在于將向量 a ， b ， c 的起點(diǎn)平移至同一點(diǎn) O ， 根據(jù)題設(shè)條件 ， 得到 A ， O ， B ， C 四點(diǎn)共圓 ， 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的自然聯(lián)想與應(yīng)用 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1 ) 若平面向量 α ， β 滿足 |α| ＝ 1 ， |β| ≤ 1 ， 且以向量 α ，β 為鄰邊的平行四邊形的面積為12， 則 α 與 β 的夾角的取值范圍是 _________ . ( 2 ) 已知 a 、 b 為非零向量， m ＝ a ＋ t b ( t ∈ R ) ， 若 | a| ＝ 1 ， | b |＝ 2 ， 當(dāng)且僅當(dāng) t ＝14時 ， | m |取最小值，則向量 a 、 b 的夾角為 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1 )??????π6，5π6 ( 2 ) C 【解析】 ( 1 ) 依題意 ， 設(shè)夾角為 θ ， | α || β | si n θ＝12， 又 | α| ＝ 1 ， |β |≤ 1 ， 則 sin θ ≥12. 而 θ ∈ [ 0 ， π ] ， ∴ θ ∈??????π6，5π6. ( 2 ) ∵ m ＝ a ＋ t b ， |a| ＝ 1 ， |b |＝ 2 ， 令向量 a 、 b 的夾角為 θ ， ∴ | m| ＝ |a ＋ t b | ＝ | a |2＋ t2| b |2＋ 2 t | a||b | cos θ ＝ 4 t2＋ 4 t cos θ ＋ 1＝ 4??????t ＋cos θ22＋ 1 － cos2θ . 又 ∵ 當(dāng)且僅當(dāng) t ＝14時 ， | m | 取最小值 ，即14＋cos θ2＝ 0 ， ∴ cos θ ＝－12， ∴ θ ＝23π. 規(guī)律技巧提煉 第 8講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ． 平面向量共線與垂直的相關(guān)結(jié)論： ( 1 ) 向量平行 ( 共線 ) 的充要條件： a ∥ b ? ( a b )2＝ ( |a| |b | )2；向量垂直的充要條件： a ⊥ b ? |a＋ b| ＝ |a － b |. ( 2 ) 若向量 a ＝ ( x1， y1) ， b ＝ ( x2， y2) ，則 a ⊥ b ? x1x2＋ y1y2＝ 0 ； a ∥ b ? x1y2－ x2y1＝