【正文】 0176。 ， 則b sin Bc＝ ( ) A.12 B ． 1 C.22 D.32 第 7講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) D ( 2 ) D 【解析】 ( 1 ) 根 據(jù) 余 弦 定 理 得 b ＝32＋ 82－ 2 3 8cos6 0176。 ， 只要在 △ ABD 中根據(jù)正弦定理求出 ∠ABD 的正弦值 ， 然后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出其余弦值 ，再根據(jù)和角的余弦公式即可求出 ∠ BDC 的余弦值 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 【解答】 設(shè) ∠ ABD ＝ α ， 在 △ ABD 中 ， AD ＝ 30 ， BD ＝ 42 ， ∠ BAD ＝ 60 176。 BD cos ∠ BDC ＝ 402＋ 422－ 80 42cos ( 60176。＝ 3 . 同理 ， 在 Rt △ PC A 中 ，AC ＝1tan60176。BC＝3 3332213＝3147 . ∴ PD ＝ 1 ＋??????31472＝25914. ∴ 船在航行過程中與觀察站 P 的最短距離為25914 km. 第 7講 │ 要點熱點探究 ( 方法二 ) 由 ( 1 ) 知在 △ ACB 中 ， 由正弦定理ACsin B＝BCsin60176。 c 取得最大值 ． 又由 ( 1 ) 知 A ＝π3， ∴ B ＝ C ＝π3， 故 b 山東卷 ] 設(shè) A1， A2， A3， A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的 四點 ， 若 A1A3→＝ λ A1A2→( λ ∈ R ) ， A1A4→＝ μ A1A2→( μ ∈ R ) ， 且1λ＋1μ＝ 2 ，則稱 A3， A4調(diào)和分割 A1， A2， 已知平面上的點 C ， D 調(diào)和分割點 A ，B ， 則下面說法正確的是 ( ) A ． C 可能是線段 AB 的中點 B ． D 可能是線段 AB 的中點 C ． C 、 D 可能同時在線段 AB 上 D ． C 、 D 不可能同時在線段 AB 的延長線上 第 8講 │ 要點熱點探究 【分析】 首先理解題設(shè)給出的新定義信息 ， 將問題轉(zhuǎn)化成向量的共線問題討論 ． D 【解析】 若 C 、 D 調(diào)和分割點 A ， B ， 則 AC→ ＝ λ AB→ ( λ ∈ R ) ， AD→＝ μ AB→ ( μ ∈ R ) ， 且1λ＋1μ＝ 2. 對于 A ： 若 C 是線段 AB 的中點 ， 則 AC→ ＝12AB→ ? λ ＝12?1μ＝ 0 ， 故A 選項錯誤 ； 同理 B 選項錯誤 ； 第 8講 │ 要點熱點探究 對于 C ： 若 C 、 A 同時在線段 AB 上 ， 則 0 λ 1 , 0 μ 1 ?1λ＋1μ2 ， C 選項錯誤 ； 對于 D ： 若 C 、 D 同時在線段 AB 的延長線上 ， 則 λ 1 ， μ 1 ?1λ＋1μ2 ， 故 C 、 D 不可能同時在線段 AB 的延長線上 ， D 選項正確 ． 【點評】 本題是一道新定義信息題 ， 考查學(xué)生對新定義的理解以及處理 問題的能力 ． 解答這類問題 ， 首先需要分析新定義的特點 ， 把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚 ， 然后應(yīng)用到具體的解題過程之中 ， 這是破解新定義信息題難點的關(guān)鍵所在 ． 第 8講 │ 要點熱點探究 若四邊形 A 1 A 2 A 3 A 4 滿足 ： A 1 A 2→ ＋ A 3 A 4→ ＝ 0 ， ( A 1 A 2→ － A 1 A 4→ ) c ＝ 0. 【點評】 本題考查向量的運算及向量平行與垂直的關(guān)系 ， 抓住 a ∥ b 與 a ⊥ c ，得到 b ⊥ c ，這是解決本題的關(guān)鍵 ． 求解向量的問題，有時從性質(zhì)入手更為有效 ． 第 8講 │ 要點熱點探究 △ ABC 外接圓的半徑為 1 ， 圓心為 O ， 且 2 OA→ ＋ AB→ ＋ AC→ ＝ 0 ，| OA→ |＝ | AB→ |， 則 CA→ ( PF→－ PQ→) ＝ 0 ， 得 x2＝ 4 y . 方法二 ： 由 ( PF→＋ PQ→) b ＝－12，〈 a－ c ， b － c 〉＝ 60176。|b | )2；向量垂直的充要條件： a ⊥ b ? |a＋ b| ＝ |a － b |. ( 2 ) 若向量 a ＝ ( x1， y1) ， b ＝ ( x2， y2) ，則 a ⊥ b ? x1x2＋ y1y2＝ 0 ； a ∥ b ? x1y2－ x2y1＝ 。 λ2＜ 0 ， ① 如圖 ， 過 A 、B 兩點分別作準(zhǔn)線 l 的垂線 ， 垂足分別為 A B1， 則有??????NA→??????NB→＝??????AA1→??????BB1→＝??????AF→??????BF→ ，② 由 ①② 得 λ1＋ λ2＝ 0. 第 8講 │ 要點熱點探究 【點評】 向量與平面解析幾何的結(jié)合是高考重要的考查內(nèi)容 ，這類問題一般都比較綜合 ， 考 查綜合應(yīng)用知識的能力 ． 向量知識在解析幾何中的應(yīng)用 ， 涉及的題型包括求曲線的方程 、 求參數(shù)的取值范圍 、 探究圓錐曲線的幾何性質(zhì) ( 特別是研究定點 、 定值 、 最值問題 ) ， 而解決問題一般以向量的運算為切入口 ， 引入軌跡 ， 再對解析幾何知識進行深入探究 ． 本題是平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 ，這是向量知識綜合應(yīng)用的一種常見高考命題方式 ． 另外 ， 向量的幾何意義及圓錐曲線的定義也是在解題中經(jīng)常用到的技巧 ． 第 8講 │ 要點熱點探究 ? 熱點鏈接 5 平面向量中的最值（ 或范圍 ） 問題 平面向量中的最值和范圍問題，是一個熱點問題，也是難點問題，這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個量的最值、范圍，如一個向量模的最值、兩個向量夾角的范圍等 ． 最值和范圍問題都是在變動的情況下，某個量在一個特殊情況下取得極端值，也就是在動態(tài)的情況下確定一個靜態(tài)的情況，使得這個情況下某個量具有特殊的性質(zhì) ( 如最大、最小、其余 情況下都比這個量大等 ) ． 在數(shù)學(xué)上解決這類問題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)的值域解決問題，這個思想在平面向量的最值、范圍問題中也是適用的，但平面向量兼具 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” 的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問題的另一個基本思想是數(shù)形結(jié)合 ． 第 8講 │ 要點熱點探究 例 4 [ 201 1 | CB→| cos C ＝ | CA→|2＝ 3. 第 8講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題 例 3 如圖 8 － 1 ， 平面上定點 F 到定直線 l 的距離 | FM | ＝ 2 ， P 為該平面上的動點 ， 過 P 作直線 l 的垂線 ， 垂足為 Q ， 且 ( PF→＋ PQ→) ( a ＋ 2b ) ＝ c b|a || b | ＝x1x2＋ y1y2x21＋ y21x22＋ y22； ( 3 ) 數(shù)量積的范圍 ： － |a|| b |≤ a n ＝72， ∴ － 2 cos2A ＋ 2cos A ＋ 3 ＝72， 解得 cos A＝12. ∵ 0 A π ， ∴ A ＝π3. ( 2 ) ∵ 在 △ AB C 中 ， a2＝ b2＋ c2－ 2 bc cos A ， 且 a ＝ 3 ， ∴ ( 3 )2＝ b2＋ c2－ 2 bc AC 的 C 處 ． ( 1 ) 求船的航行速度 ； ( 2 ) 求船從 B 到 C 航行過程中與觀察站 P 的最短距離 ． 圖 7 － 2 第 7講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 設(shè)船速為 x k m/ h ， 則 BC ＝x6 k m. 在 Rt △ P AB 中 ，∠ PB A 與俯角相等為 30176。 ， co s α ＝ 1 － sin2α ＝1114. ∴ cos ∠ BDC ＝ cos ( 60176。 方向距漁政船甲 70 km 的 C 處 ， 漁政船乙在漁政船甲的南偏西 20176。 北京卷 ] 在 △ ABC 中 ， 若 b ＝ 5 ， ∠ B ＝π4， tan A＝ 2 ， 則 sin A ＝ ________ ； a ＝ ________. 【分析】 先根據(jù) tan A ＝ 2 ， 利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出 sin A 的值 ， 再畫出對應(yīng)的三角形 ， 通過對三角形中邊角關(guān)系的分析確定應(yīng)用正弦定理求解 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 2 55 2 10 【解析】 因為 tan A ＝ 2 ， 所以 sin A ＝2 55； 再由正弦定理有 ：asin A＝bsin B， 即a2 55＝522， 可 得 a ＝ 2 10 . 【點評】 本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理的應(yīng)用 ． 在三角形的求值問題中 ， 要注意角的取值范圍 ． 在運用正弦定理的時候 ， 要注意所解題的基本題型 ， 本題中就是已知兩角和其一角所對的邊 ， 求另一角 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) 在 △ ABC 中 ， 已知角 A 、 B 、 C 所對的邊分別為 a 、 b 、 c ， 且a ＝ 3 ， c ＝ 8 ， B ＝ 60176。1 ，可得 φ ＝ 2 k π ＋π6或 φ ＝ 2 k π －5π6， k ∈ Z. 因為 f??????π2＝ sin( π ＋ φ ) ＝－ sin φ f (π) ＝ sin( 2π ＋ φ ) ＝ sin φ ， 故 sin φ 0. 所以 φ ＝ 2 k π －5π6，所以 f ( x ) ＝ sin??????2 x －5π6. 由－π2＋ 2 k π ≤ 2 x －5π6≤π2＋ 2 k π ，得 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間為??????k π ＋π6， k π ＋2π3( k ∈ Z) ， 答案為 C. 第 6講 │ 要點熱點探究 【點評】 正弦型函數(shù) y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 單調(diào)性可以從復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性去理解，在 ω ＞ 0 時， u ＝ ωx ＋ φ 是單調(diào)遞增的，故 A ＞ 0 時，函數(shù) y ＝A sin( ωx ＋ φ ) 的單調(diào)遞增區(qū)間就是 y ＝ sin u 的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間即可得出 u 的范圍，求出 x 的解區(qū)間就是所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 ( 減區(qū)間的處理方法類似 ) ．當(dāng) ω ＜ 0 時，一般是根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式把其化為正值，再求解其單調(diào)區(qū)間，如求 y ＝ s in??????－ 2 x ＋π4的單調(diào)遞增區(qū)間可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù) y ＝ sin??????2 x －π4的單調(diào)遞減區(qū)間． 第 6講 │ 要點熱點探究 設(shè)函數(shù) y ＝ 2sin??????2 x ＋π3的圖象關(guān) 于點 P ( x 0 , 0 ) 中心對稱 ， 若 x 0 ∈??????－π2， 0 ， 則 x 0 ＝ __ ______. －π6 【解析】 由正弦函數(shù)的性質(zhì)知 ， 正弦函數(shù)圖象的對稱中心是其與 x 軸的交點 ， ∴ y ＝ 2sin??????2 x 0 ＋π3＝ 0 ， 又 x 0 ∈??????－π2， 0 ， 解得 x 0 ＝－π6. 第 6講 │ 要點熱點探究 例 4 [ 201 1 安徽卷 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ sin ( 2 x ＋ φ