【文章內容簡介】 2312＝2 2 ＋ 36. 第 6講 │ 教師備用例題 例 2 已 知 函 數 f ( x ) ＝ 2co s??????x ＋π3 ??? sin?????? x ＋π3 － ???3 cos?????? x ＋π3. ( 1 ) 求 f ( x ) 的值域和最小正周期 ； ( 2 ) 若對任意 x ∈??????0 ，π3， m ??????f ? x ? ＋ 3 ＋ 2 ＝ 0 恒成立 ， 求實數m 的取值范圍 ． 第 6講 │ 教師備用例題 【 解 答 】 ( 1 ) f ( x ) ＝ 2sin?????? x ＋π3 cos?????? x ＋π3－ 2 3 cos2?????? x ＋π3 ＝sin?????? 2 x ＋2π3－ 3??????cos?????? 2 x ＋2π3＋ 1 ＝ sin?????? 2 x ＋2π3－ 3 cos?????? 2 x ＋2π3－ 3 ＝ 2sin?????? 2 x ＋π3－ 3 . ∵ － 1 ≤ sin?????? 2 x ＋π3≤ 1 ， ∴ － 2 － 3 ≤ 2sin?????? 2 x ＋π3－3 ≤ 2 － 3 ， 又 T ＝2π2＝ π ， 即 f ( x ) 的值域為 [ － 2 － 3 ， 2 － 3 ] ， 最小正周期為 π. ( 2 ) 當 x ∈??????0 ，π3時 ， 2 x ＋π3∈??????π3， π ， ∴ sin?????? 2 x ＋π3∈ [ 0 , 1 ] ， 此時 f ( x ) ＋ 3＝ 2sin?????? 2 x ＋π3∈ [ 0 , 2 ] ． 由 m [ f ( x ) ＋ 3 ] ＋ 2 ＝ 0 知 ， m ≠ 0 ， 且 f ( x ) ＋ 3 ＝－2m， ∴ 0 ≤ －2m≤ 2 ， 即??? 2m≤ 0 ，2m＋ 2 ≥ 0 ， 解得 m ≤ － 1. 即實數 m 的取值范圍是 ??????－ ∞ ，－ 1 . 第 7講 正弦、余弦定理與解三角形 第 7講 正弦、余弦定理 與解三角形 主干知識整合 第 7講 │ 主干知識整合 1 ． 正、余弦定理主要 應用 ① 求值問題 ； ② 證明問題 ； ③ 比較大小問題 ； ④ 判斷三角形形狀問題 ； ⑤ 求范圍問題 . 2 ． 正弦定理和余弦定理在解斜三角形時，應注意以下幾個方面 ( 1 ) 要注意正 、 余弦定理的變式應用及公式逆用 ． 如正弦定理中 ， a ＝ 2 R sin A ， b＝ 2 R sin B ， c ＝ 2 R sin C ， 可以把邊轉換成角 ， 比如題設中出現 b2＝ ac 這樣的條件 ，我們可以把它化為 sin2B ＝ sin A sin C . ( 2 ) 防止漏解 ， 特別是在用正弦定理得到 sin A ＝ a ( a ∈ ( 0 , 1 )) 時 ， A 可以有兩個解 ，要結合題設條件對它進行討論 ， 并取舍 ． ( 3 ) 要注意三角形 中的隱含條件 ， 如 A ＋ B ＋ C ＝ π ， 兩邊之和大于第三邊等 ． 3. 解三角形應用問題時，通常會遇到的兩種情形 ( 1 ) 已知量與未知量全部集中在一個三角形中 ， 利用正弦定理或余弦定理解之 ； ( 2 ) 已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形 ， 這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究 ， 再逐步在其余的三角形中求出問題的解 ． 要點熱點探究 第 7講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 正弦、余弦定理的應用 例 1 [ 201 1 北京卷 ] 在 △ ABC 中 ， 若 b ＝ 5 ， ∠ B ＝π4， tan A＝ 2 ， 則 sin A ＝ ________ ； a ＝ ________. 【分析】 先根據 tan A ＝ 2 ， 利用同角三角函數的關系式求出 sin A 的值 ， 再畫出對應的三角形 ， 通過對三角形中邊角關系的分析確定應用正弦定理求解 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 2 55 2 10 【解析】 因為 tan A ＝ 2 ， 所以 sin A ＝2 55； 再由正弦定理有 ：asin A＝bsin B， 即a2 55＝522， 可 得 a ＝ 2 10 . 【點評】 本題考查同角三角函數的關系和正弦定理的應用 ． 在三角形的求值問題中 ， 要注意角的取值范圍 ． 在運用正弦定理的時候 ， 要注意所解題的基本題型 ， 本題中就是已知兩角和其一角所對的邊 ， 求另一角 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) 在 △ ABC 中 ， 已知角 A 、 B 、 C 所對的邊分別為 a 、 b 、 c ， 且a ＝ 3 ， c ＝ 8 ， B ＝ 60176。 ， 則 sin A 的值是 ( ) A.316 B.314 C.3 316 D.3 314 ( 2 ) 在 △ ABC 中 ， a 、 b 、 c 是角 A 、 B 、 C 的對邊 ， 若 a 、 b 、 c 成等比數列 ， A ＝ 60176。 ， 則b sin Bc＝ ( ) A.12 B ． 1 C.22 D.32 第 7講 │ 要點熱點探究 ( 1 ) D ( 2 ) D 【解析】 ( 1 ) 根 據 余 弦 定 理 得 b ＝32＋ 82－ 2 3 8cos6 0176。 ＝ 7 ， 根據正弦定理3sin A＝7sin60176。， 解得 sin A＝3 314. ( 2 ) 由 a 、 b 、 c 成等比數列可 得 b2＝ ac ， 根據正弦定理可得 sin2B＝ sin A sin C ， 故b sin Bc＝sin2Bsin C＝ sin A ＝32. 第 7講 │ 要點熱點探究 例 2 [ 201 1 山東卷 ] 在 △ ABC 中 ， 內角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ，c . 已知cos A － 2cos Ccos B＝2 c － ab. ( 1 ) 求sin Csin A的值 ； ( 2 ) 若 cos B ＝14， b ＝ 2 ， 求 △ ABC 的面積 S . 【分析】 第一問只要根據正弦定理即可把已知的cos A － 2cos Ccos B＝2 c － ab化為關于三角形三個內角的三角函數 ， 再進行三角變換即可解決問題 ． 根據第一問的結果得到一個關于三角形邊的方程 ， 再根據余弦定理可得關于三角形三邊的方程 ， 其中一邊已知 ， 這樣就得到兩個方程 ， 解方程組即可 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 【解 答】 ( 1 ) 由正弦定理 ， 設asin A＝bsin B＝csin C＝ k ， 則2 c － ab＝2 k sin C － k sin Ak sin B＝2sin C － sin Asin B， 所以cos A － 2cos Ccos B＝2sin C － sin Asin B. 即 ( cos A －2cos C ) sin B ＝ ( 2sin C － sin A ) cos B ， 化簡可得 sin ( A ＋ B ) ＝ 2sin ( B ＋ C ) ． 又 A ＋B ＋ C ＝ π ， 所以原等式可化為 sin C ＝ 2sin A ， 因此sin Csin A＝ 2. ( 2 ) 由sin Csin A＝ 2 得 c ＝ 2 a . 由余弦定理 b2＝ a2＋ c2－ 2 ac cos B 及 c os B ＝14， b＝ 2 ， 得 4 ＝ a2＋ 4 a2－ 4 a214， 解得 a ＝ 1 ， 從而 c ＝ 2. 又因為 cos B ＝14， 且 0 B π.所以 sin B ＝154. 因此 S ＝12ac sin B ＝12 1 2 154＝154. 第 7講 │ 要點熱點探究 【點評】 本題的難點是變換cos A － 2cos Ccos B＝2 c － ab時 ， 變換方向的選取 ， 即是把角的函數轉化為邊的關系 ， 還是把邊轉化為角的三角函數 ， 從已知式的結構上看 ， 把其中三個內角的余弦轉化為邊的關系是較為復雜的 ， 而根據正弦定理把其中邊的關系轉化為角的正弦 ， 則是較為簡單的 ， 在含有三角形內角的三角函數和邊的混合關系式中要注意變換方向的選擇 ． 正弦定理 、 余弦定理 、 三角形面積公式本身就是一個方程 ， 在 解三角形的試題中方程思想是主要的數學思想方法 ， 要注意從方程的角度出發(fā)分析問題 ． 第 7講 │ 要點熱點探究 已知 △ ABC 的內角 A 、 B 、 C 所對的邊分別為 a 、 b 、 c ， 若向量 m ＝ ( a ＋ b ，－ c ) ， n ＝ ( sin A ＋ sin B ， sin C ) ， 且 m n ＝ 3 a sin B . ( 1 ) 求 C 的大小 ； ( 2 ) 設 m2－ c2－ 2 ab ＝ 4si n C ， 求 △ ABC 面積的最大值 ． 【解答】 ( 1 ) 由 m n ＝ 3 a sin B ? ( a ＋ b )( sin A ＋ sin B ) － c sin C ＝ 3 a sin B .由正弦定理 ， 得 ( a ＋ b )( a ＋ b ) － c2＝ 3 ab ， 即 a2＋ b2－ c2＝ ab . ∴ cos C ＝a2＋ b2－ c22 ab＝12. ∵ 0 ＜ C ＜ π ， ∴ C ＝π3. ( 2 ) 由 m2－ c2－ 2 ab ＝ 4si n C ， 得 ( a ＋ b )2＋ c2－ c2－ 2 ab ＝ 2 3 . ∴ a2＋ b2＝ 2 3 ≥ 2 ab ? ab ≤ 3 ( 當且僅當 a ＝ b 時取 “ ＝ ” 號 ) ． ∴ S △A BC＝12ab sin C ≤12 3 32＝34. ∴ 當 △ ABC 為正三角形時 ， △ ABC 面積的最大值為34. 第 7講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 解三角形的實際應用問題 例 3 漁政船甲 、 乙同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號 ， 此時漁船 丙在漁政船甲的南偏東 4 0176。 方向距漁政船甲 70 km 的 C 處 ， 漁政船乙在漁政船甲的南偏西 20176。 方向的 B 處 ， 兩艘漁政船協調后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置 C 處沿直線 AC 航行前去救援 ， 漁政船乙仍留在 B 處執(zhí)行任務 ， 漁政船甲航行 30 km 到達 D 處時 ， 收到新的指令另有重要任務必須執(zhí)行 ， 于是立即通知在B 處執(zhí)行任務的漁政船乙前去救援漁船丙 ( 漁政船乙沿直線 BC 航行前去救援漁船丙 ) ， 此時 B 、 D 兩處相距 42 km ， 問漁政船乙要航行多少距離才能到達漁船丙所在的位置 C 處實施營救 ． 圖 7 － 1 第 7講 │ 要點熱點探究 【分析】 漁政船乙航行距離即線段 BC 的長度 ． 根據題意 ， 在 △ BCD 中 ， 已知 BD ， DC ， 因此只要求出 ∠ BDC 的余弦值 ， 即可根據余弦定理求出 BC . 根據三角形的外角定理 ， ∠BDC ＝ ∠ ABD ＋ 60176。 ， 只要在 △ ABD 中根據正弦定