【文章內(nèi)容簡介】 正余弦函數(shù)本身還有其內(nèi)在的對稱性, 即奇偶性. 例如,對于x =0 而言, sin x 是奇函數(shù),但是如果把原點(diǎn)放在處(或者說取初相為) ,它就成了“偶”函數(shù). 總之,奇偶性也是一種對稱性. 這個(gè)概念自然適合一切函數(shù),只不過教材里都只說相對于x = 0 的奇偶性. 這就是引理2 的含義.上面我們從代數(shù)公式和幾何意義兩個(gè)方面說明了正余弦函數(shù)是怎樣表現(xiàn)了對稱性, 即所謂誘導(dǎo)公式的實(shí)質(zhì)是什么. 我們想再次強(qiáng)調(diào), 并不是說這些公式?jīng)]有用. 實(shí)際上其中最基本的是很有用處的. 我的意思是, 不應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生只關(guān)注于證明技巧,不應(yīng)該是學(xué)生們陷入許許多多公式的海洋里,而要看到,它們其實(shí)都是某種不變性或?qū)ΨQ性的表現(xiàn). 并且逐步學(xué)著應(yīng)用這種思想來進(jìn)一步深入學(xué)習(xí). 所以我們把這一組公式合稱為對稱定理, 而不用“誘導(dǎo)公式”這個(gè)詞.下面我們再一次從三角函數(shù)發(fā)展的歷史來說明,何以這種做法更合理. 前面說了, 大量的三角恒等式從總的數(shù)學(xué)水平上看并未超過17 世紀(jì)的數(shù)學(xué)水平,可能不少人不以為然. 但是上面講的函數(shù)及其圖象,函數(shù)的變換(映射) 與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系, 對稱性與不變性等等都是18 19 世紀(jì)以后的新思想,而且是當(dāng)代的主流. 持不同意見的同志可能有兩點(diǎn)反對:一是對中學(xué)生不能講現(xiàn)代的東西. 那么生物學(xué)是不是不能講DN A ?物理學(xué)不能講原子構(gòu)造?二是,其它學(xué)科都是描述性的, 惟有數(shù)學(xué)是邏輯性的( ?) ( 請向物理老師請教一下, 他們會贊成嗎?) ,所以其它學(xué)科更容易介紹現(xiàn)代的進(jìn)展, 而數(shù)學(xué)不行. 請問, 是證明某些恒等式難還是做上面的實(shí)驗(yàn)難?前文講到幾何難題時(shí), 我提到主要問題不在難而在偏, 擔(dān)心鉆進(jìn)了牛角尖. 我以為現(xiàn)在是同樣問題.(3) 改變習(xí)慣的講法,當(dāng)然會有一些困難. 但是真正難的在于教師而不在學(xué)生. 因?yàn)閷τ趯W(xué)生, 老的講法或者新的講法都是自己沒有見過的東西, 不存在改變習(xí)慣的問題. 據(jù)我了解, 有些中學(xué), 學(xué)生學(xué)向量遇到的障礙,要比老師少. 其實(shí)老師的困難, 據(jù)我所知, 多數(shù)也就好比, 說慣了本地方言要去憋普通話一樣. 原來思想很順, 現(xiàn)在卻不知道哪里出了問題. 但是解決不熟悉新的講法, 最根本的出路在于更深刻地理解. 著名美國物理學(xué)家, 也是人稱20世紀(jì)最偉大的教師之一的費(fèi)曼說過一段話, 大意如下:教師首先要明白,想要教的是什么。想要學(xué)生明白的是什么。 然后, 怎樣教的方法或多或少地來自常識. 他所說的常識, 就是指對事物本質(zhì)的透徹了解,而且能用學(xué)生熟悉的語言來表述. 教師的困難主要在于思想跟不上. 其實(shí), 困難是有的, 克服困難的新條件也就會有. 這就是電腦. 現(xiàn)在有了電腦, 我有時(shí)想, 這一些材料能不能作成動畫?可惜我不會做動畫, 許多年青老師和學(xué)生都會. 所以真正難的是我們這些比較年長的教師. 至于懂一點(diǎn)對稱性等等,在教師培訓(xùn)中花一點(diǎn)功夫也不難辦. 倒是有一個(gè)大題目, 叫做“可視化”(visualization) , 它是一個(gè)方興未艾的大產(chǎn)業(yè), 動漫甚至游戲都與此有關(guān). 它對教育的影響是我們今天無法預(yù)計(jì)的. 我過去以為這些都離我們太遠(yuǎn), 這兩年到農(nóng)村走了一兩次, 才感到甚至在我國,電腦普及的速度可以很快. 電話,電視的普及已經(jīng)超出了人們的預(yù)想. 我想, 電腦的普及,因特網(wǎng)的普及之快也會如此. 網(wǎng)癮蔓延之快從反面說明了這一點(diǎn). 對此難免有一種緊迫感! (未完,待續(xù))三角函數(shù)　向量　復(fù)數(shù)(續(xù))齊民友(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院　430072)2 把復(fù)數(shù)引入三角函數(shù)的研究這一部分和前一部分不同. 前一部分講到的三角函數(shù)知識是完全成熟了的, 絕大多數(shù)教師是很熟悉的,按本文的講法給學(xué)生上課是可以的. 這一部分涉及微積分, 進(jìn)入中學(xué)教材時(shí)間還短, 許多教師還不太熟悉, 需要進(jìn)一步消化. 特別是圍繞歐拉公式的內(nèi)容,如何教給學(xué)生, 還需要深思熟慮. 但是我有一點(diǎn)看法:應(yīng)該努力避免把中學(xué)的微積分教學(xué)變成高校教材的簡縮版. 復(fù)數(shù)理論更是如此. 愿與讀者共同努力.函數(shù)概念的發(fā)展有一個(gè)很長的歷史. 粗略地說,當(dāng)人們熟悉用符號來代表一般的數(shù)與未知數(shù)以后(韋達(dá)在這里作出了最大的貢獻(xiàn)) , 我們就有了例如等等代數(shù)式. 從代數(shù)式到函數(shù)有一個(gè)飛躍,就是把x 和y 看成變數(shù)而不是未知數(shù). 而例如中的x 就不會“變”,它就是1 或者2 , 只不過暫時(shí)“未知”而已,所以稱為未知數(shù),但是由“式”到函數(shù)這一點(diǎn)變化在學(xué)生們的思想中并未引起“警覺”, 似乎大家都不感到困難. 但是留下一個(gè)習(xí)慣: 一說起函數(shù)就會想到式子. 所以,看到一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子來寫, 就有點(diǎn)奇怪, 于是稱之為“分段函數(shù)”, 而各種教輔材料中又似乎特別鐘情于此, 看來還是這種心理因素作怪,而不知道這是毫無意義的. 真正造成變化的是微積分的出現(xiàn). 微積分不只是幾個(gè)定理, 幾個(gè)方法甚至幾個(gè)理論. 它標(biāo)志了看問題的角度有了根本變化. 人們要從變動中來看世界, 也就要從變動中來研究函數(shù). 這時(shí),人們懂得了, 需要討論的不只是代數(shù)式. y = sin x 是一個(gè)式子嗎?是, 但是它首先是一個(gè)符號. 不也是符號嗎?但是給出了一個(gè)x ,就能用四則運(yùn)算算出相應(yīng)的y 來, y = sin x就不行. 從這個(gè)意義上說, y = sin x 不是一個(gè)式子,至少不是一個(gè)代數(shù)式. 這么說, 也不是式子了?但是希臘人卻認(rèn)為它是. 因?yàn)橄ＥD人通過相似三角形可以作出A和B的比例中項(xiàng). 他們認(rèn)為求比例中項(xiàng)是與四則運(yùn)算差不多一樣簡單自明的,所以把也看成了式子. 但sin x 176。，sin45176。,sin60176。,sin18176。例如( 所以稱之為特別角) , 再用半角公式(基本上就是用托勒密定理) 對許多離散的x 之值算出sin x. 這些x 176。.但是不能對一切x 算出sin x. 要想進(jìn)一步研究它就必須用微積分的方法. 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)更加如此. 從歷史上看,我們首先討論cosx和sinx的導(dǎo)數(shù). 但是與通常的教本不同, 我們從研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)(可以是行星、國際空間站, 但是把它看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)) 繞圓周(半徑為R) 旋轉(zhuǎn)的問題. 為簡單起見,假設(shè)旋轉(zhuǎn)是勻速的, 角速度ω( 單位時(shí)間中轉(zhuǎn)過的弧度) 為常數(shù). 這可能與讀者的常識相矛盾:行星運(yùn)行的軌道不是橢圓嗎?其實(shí)除個(gè)別行星外, 行星的軌道都很接近于圓. ( 國際空間站的軌道更加近于圓) , 越接近于圓, 它們的運(yùn)動就更接近于勻速旋轉(zhuǎn). 可見提出質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型不但是因其簡單, 容易研究, 而且有重大的實(shí)際意義. 如果說, 三角學(xué)在17 世紀(jì)以前主要來自天文和測量的幾何問題, 因而它的方法主要是幾何方法,則不妨說,17 世紀(jì)以后( 具體地說, 有了牛頓力學(xué)以后) ,推動研究三角函數(shù)主要是力學(xué)問題, 其方法主要也成了微積分方法. 因此我們用以圓心為起點(diǎn), 該質(zhì)點(diǎn)的位置為端點(diǎn)的向量(即前文講的位置向量)來刻畫這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動, 并且稱之為該質(zhì)點(diǎn)的動徑. 它是一個(gè)向量(值) 函數(shù), 即其分量都是函數(shù). 所謂它的導(dǎo)數(shù)就是以為分量的向量: 如果t 表示時(shí)間,它就是速度向量. 再求一次導(dǎo)數(shù)就得出加速度向量.我們以過O的x 軸正向作為計(jì)算角θ的始邊, 而且設(shè)t = 0 時(shí)動徑就是這個(gè)始邊θ=0 ,因?yàn)樾D(zhuǎn)是勻速的,所以θ=ωt ,而當(dāng)t增加了一個(gè)Δt 時(shí),θ必增加Δθ =ωΔt . 于是當(dāng)時(shí)間由t 變到t +Δt時(shí),動徑由變?yōu)?而位移是向量. 這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度是. 當(dāng)Δt→0 (或者說當(dāng)Δt為無窮小)時(shí),它的極限應(yīng)該是t時(shí)的線速度向量(以下簡稱為速度向量).但是弦的極限位置是切線, 所以速度向量的方向是切線方向而與動徑方向垂直. 其大小則是. 但是分子就是弦長。當(dāng)Δθ為無窮小時(shí),可以用弧長去代替它. 但是由弧度的定義, 因此速度向量的大小v 應(yīng)該是這里我們沒有考慮極限問題. 總之,我們得到一個(gè)定理　若一質(zhì)點(diǎn)以勻速ω在半徑為R的圓上旋轉(zhuǎn),則其速度向量的方向是位置向量(即動徑) 的方向逆時(shí)針轉(zhuǎn),其大小是動徑的大小乘以ω:v = ωR.這個(gè)定理的陳述的實(shí)際上是ω0 的情況. 如果ω0 即質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動, 則速度向量的方向也是由位置向量向順時(shí)針轉(zhuǎn)動而得,其大小則為|ω| R = ωR . 但這與說速度向量的方向是位置向量向逆時(shí)針方針轉(zhuǎn),大小為ωR = |ω|R相同. 所以定理中沒有問ω之符號,而一般地說速度向量的方向是動徑方向逆時(shí)針轉(zhuǎn),大小是ωR .利用這個(gè)定理,我們可以很容易地求出cost 和sint 的導(dǎo)數(shù). 為此,我們令ω= 1 ,這時(shí)θ=ωt = t ,Δθ=ωΔt =Δt ,所以,對θ求導(dǎo)和對t 求導(dǎo)是一回事. 現(xiàn)在,位置向量r(t) 是因此,由速度向量定義,知速度向量是但由上述定理比較這兩個(gè)結(jié)果立即得出:正余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式這當(dāng)然是最簡潔的證明, 而且我們是把一對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同時(shí)給出的. 這并不值得奇怪, 本文中許多結(jié)果都是對正余弦函數(shù)一同給出的. 但是我們不要高興得太早. 數(shù)學(xué)中幾乎一切比較重要的結(jié)果, 在證明中總會用到一些關(guān)鍵性的知識. 如果從表面上看沒有用到,就要檢查一下, 要么您確實(shí)有新的發(fā)現(xiàn),要么您搞錯(cuò)了. 現(xiàn)在,關(guān)鍵性的后果就是 也就是圓弧與相應(yīng)的弦當(dāng)弧長為無窮小量時(shí)可以互換. 我們確實(shí)利用了這個(gè)結(jié)果, 即(7) 式, 所以我們并沒有偷巧. 比較一下一般教材的證法,例如也可以用和差化積公式,但這時(shí)要用sinx與cosx的連續(xù)性,而為此又要用可見我們的證明確實(shí)簡單一些. 但是這不是它的主要優(yōu)點(diǎn), 主要優(yōu)點(diǎn)在于, 它有一個(gè)明確的物理背景,因此能在他人未見之處看到了新的聯(lián)系. 至于同時(shí)得出cosx和sinx的導(dǎo)數(shù),是因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)其實(shí)是一回事. 一定要分開來計(jì)算, 把(8) 式硬看成是兩個(gè)公式反倒是不自然的.判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果好不好還有一個(gè)極重要的標(biāo)準(zhǔn),就是看它使用的方法能否用于其它問題. 現(xiàn)以加速度為例. 由圖4 清楚地看到當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在左邊的圓上轉(zhuǎn)了一圈時(shí), 速度向量也在右邊圓上轉(zhuǎn)了一圈,而且仍是勻速的. 我們在前文中說過, 向量的起點(diǎn)應(yīng)該放在原點(diǎn). ?如果把速度看作是物理空間中的一個(gè)有向線段, 其起點(diǎn)確實(shí)附在質(zhì)點(diǎn)上. 這是物理學(xué)和力學(xué)的觀點(diǎn), 但是按前文講的A空間的觀點(diǎn)來看, 這個(gè)有向線段的向量成分, 即速度向量, 則是一個(gè)向量空間———, 這個(gè)質(zhì)點(diǎn)確是速度作為有向線段的起點(diǎn), 它可能是行星, , 其原點(diǎn)則是線性空間的原點(diǎn),即零向量,也就是表示靜止?fàn)顩r. 所以速度向量的線性空間與物理空間是不一樣的. 前文的第三個(gè)怪論就是這回事. 北京和上海的風(fēng)都在自己的線性空間中, 北京可以既起北風(fēng)又起東風(fēng), 合成北京的東北風(fēng)。上?？梢杂制鹞黠L(fēng), 與上海的東風(fēng)相加, 使風(fēng)速為零. 不管是上?；蚴潜本? 東風(fēng)加北風(fēng)都可以是東北風(fēng),風(fēng)速v 加上風(fēng)速 v 就是靜風(fēng)