屆三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-05-13 11:28本頁(yè)面
【正文】 憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) 要點(diǎn)梳理主頁(yè) △ ABC中 : 設(shè)若 是 正 三 角 形( 1 ) , , ,。B C a C A b A B ca b b c a c A B C? ? ?? ? ? ? ? △若 |,則 是 正 三 角 形 .( 3 ) 0 , | | | | |O A O B O C O A O B O CABC? ? ? ? ?△若則 是 正 三 角 形 .( 2 ) , , , ,O A O B O B O C O C O AABC? ? ? ? ? ? ? ?△ ABCD中 : 若 則( 1 ) | | | |, ( ) ( ) 0 。AB AD AB AD AB AD? ? ? ? ?若 則( 2 ) , | | | | .AB AD AB AD AB AD? ? ? ?憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) 要點(diǎn)梳理主頁(yè) 題型四 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 例 4： (2021年安徽 )在數(shù) 1和 100之間輸入 n個(gè)實(shí)數(shù) ， 使得這 n＋2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列 ， 將這 n＋ 2個(gè)數(shù)的乘積記作 Tn， 再令an＝ lgTn， n≥ 1. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn＝ tanantanan＋ 1， 求數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)和 ． 解析： (1)設(shè) t1， t2， t3， ? ， tn＋ 2構(gòu)成等比數(shù)列， 其中 t1＝ 1， tn＋ 2＝ 100， 則 Tn＝ t1t2t3? tn＋ 2， ① Tn＝ tn＋ 2tn＋ 1tn? t1. ② 主頁(yè) ① ② 得： ( Tn)2＝ ( t1tn ＋ 2) ( t2tn ＋ 1) ( t3tn) ? ( tn ＋ 2t1) ＝ 100n ＋ 2， 所以 an＝ lg Tn＝ n ＋ 2. (2) 由題意和 (1) 中計(jì)算結(jié)果，知 bn＝ ta n( n ＋ 2) ta n( n ＋ 3) ， 又因?yàn)?ta n1 ＝ ta n[ ( k ＋ 1) － k ] ＝ta n ? k ＋ 1 ? － t an k1 ＋ ta n ? k ＋ 1 ? ta n k， 所以 ta n( k ＋ 1)tan k ＝ta n ? k ＋ 1 ? － t an kta n1－ 1. 主頁(yè) 所以數(shù)列 { b n } 的前 n 項(xiàng)和 S ＝23[nk??? ta n ( k ＋ 1) ta n k ] ＝ta n4 － ta n3ta n1－ 1 ＋ta n5 － ta n4ta n1－ 1 ＋ ? ＋ta n ? n ＋ 3 ? － t an ? n ＋ 2 ?ta n 1－ 1 ＝ta n ? n ＋ 3 ? － t an 3ta n 1－ n . 本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)及運(yùn)算，如果通過(guò)求公比，由于字母太多，非常煩瑣；構(gòu)造 T n ＝ t 1 t 2 ? t n ＋ 2 ， T n ＝ t n＋ 2 t n ＋ 1 ? t 1 ，兩式相乘，然后運(yùn)用性質(zhì) “ 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，則 a m a n＝ a p a q ” 來(lái)處理比較簡(jiǎn)便．本題利用三角函數(shù)公式裂項(xiàng)相消，很有新意，注意公式變形 ta n ( k ＋ 1) ta n k ＝ta n ? k ＋ 1 ? － t an kta n 1－ 1. 主頁(yè) 【 互動(dòng)探究 】 4．設(shè)函數(shù) f(x)＝ sinx－ cosx＋ x＋ 1,0x2π，求函數(shù) f(x)的單調(diào) 區(qū)間與極值． 解： 由 f ( x ) ＝ sin x － cos x ＋ x ＋ 1,0 x 2 π ， 知 f ′ ( x ) ＝ 1 ＋ 2 sin??????x ＋π4. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，從面 sin??????x ＋π4＝－22，得 x ＝ π 或 x ＝3π2. 主頁(yè) 當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x ) 變 化情況如下表： x (0 ， π ) π ??????π ，3π2 3π2 ??????3π2， 2π f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞增 π ＋ 2 單調(diào)遞減 32π 單調(diào)遞增 因此，由上表知 f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 (0 ， π ) 和??????3π2， 2π ， 單調(diào)遞減區(qū)間是??????π ，3π2，極小值為 f??????3π2＝3π2，極大值為 f ( π )＝ π ＋ 2.
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