【導(dǎo)讀】能力,要學(xué)會(huì)設(shè)置條件,靈活運(yùn)用三角公式,掌握運(yùn)算、化簡(jiǎn)及證明的方法和技能.理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.中，內(nèi)角,,ABC的對(duì)邊分別是,,abc，若223abbc??理，正確進(jìn)行邊化角、角化邊，探尋解答.題（２）最困難的地方在于確定α+2β的范圍，一般地，根據(jù)已知條件，把角的范圍限制得越精確，結(jié)果也越準(zhǔn)確.及正弦定理，得23cb?，（選用余弦定理合理。放大，導(dǎo)致錯(cuò)誤.變變式式與與引引申申1：：已知α，β為銳角，tanα=17，sinβ=1010,求2α+β的值.恒等變形求出sinC,再利用正弦定理求出c.例3．已知函數(shù)2()sin2sin()sin()44fxxxxx???????點(diǎn)撥通過(guò)“切化弦”，“降次”等手段，再利用萬(wàn)能公式或“齊次式”可解決第題；第題則首先化為一個(gè)三角函數(shù)的形式，再根據(jù)角的范圍來(lái)求()fx的取值范圍.號(hào)處理帶來(lái)的麻煩等等.例4已知角,,ABC是三角形的ABC?

　　

【正文】 O A nO B? ( , )mn R? ，則 nm 等于（ ） A. 31 C. 33 D. 3 題型三 平面向量與平面幾何綜合的問(wèn)題 圖 242?? x C y F E D A B o P 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 例３： ⑴ 已知 ABC? 中，過(guò)重心 G 的直線交 AB 于 P ，交邊 AC 于 Q ，設(shè) APQ? 的面積為1S ， ABC? 的面積為 2S ， AP pPB? ， AQ qQC? ，則 ① pqpq?? ， ② 12SS 的取值范圍是 ； ⑵ 已知圓 O 的半徑為１， ,PAPB 為該圓的兩條切線， A 、 B 為兩切點(diǎn)，那么 PAPB? 的最小值為（ ） Ａ． 42?? Ｂ． 32?? Ｃ． 4 2 2?? Ｄ． 3 2 2?? 點(diǎn)撥： ⑴ 令 12, , , , ,A B a A C b A P a A Q b P Q P G? ? ?? ? ? ? ?通過(guò)引入中間變量根據(jù)三角形的重心和平面向量的基本定理演算出 p 和 q 之間的關(guān)系式； ⑵ 用 APB? 的三角函數(shù)形式表示出 PAPB? ，再使用均值不等式得到答案；或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算形式求解 . 解： ⑴ 1pqpq?? ； 12SS 41[ , ).92?設(shè) 12, , , ,A B a A C b A P a A Q b??? ? ? ?因?yàn)?G 是 △ ABC的 重 心 ， 故 1 ()3AG a b??，又111()33P G A G A P a b?? ? ? ? ?，21P Q A Q A P b a??? ? ? ?，因?yàn)?PG 與 PQ 共線，所以 PQ PG?? ，即1 1 211[ ( ) ] ( ) 033ab? ? ? ? ?? ? ? ? ?，又 a 與 b 不共線， 所以111()3? ? ?? ??及213???，消去 ? ，得 1 2 1 23? ? ???? ； ① 121 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 3 2 1pq ??? ? ? ? ? ? ? ?，故 1pqpq?? ； ② 1211 1()3 1 3???????，那么12| | | | s inSA P A Q B A CA B A C B A C? ? ?? 2112 21111 3 931 ()24???? ?? ? ?? ? ? ?，當(dāng) P 與 B 重合時(shí)，1 1?? ，當(dāng) P 位于 AB 中點(diǎn)時(shí)， 1 12?? ，故 1 1[ ,1]2?? ，故 12SS 41[ , ].92? ， 但因?yàn)?P 與 B 不能重合，故 12SS 41[ , ).92? A P B Q G C 圖 2 4 3?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 圖 2 4 6?? ⑵ 選 一：如圖 244?? ，令 ,0APB ? ? ?? ? ? ? c o sP A P B P A P B ??? 22222221 22ta n 2( 1 s in ) ( 1 2 s in )c o s( ) c o s ( 1 2 s in )2s in s in??? ???? ??? ? ? ?， 令 2si n , 0 12xx?? ? ?， ( 1 ) ( 1 2 ) 12 3 2 2 3xxP A P B xxx??? ? ? ? ? ? ?； 方法二：以圓心 O 的坐標(biāo)原點(diǎn)，以 OP 為 x 軸，建立坐標(biāo)系：圓的方程為 221xy??， 設(shè) 11( , )Ax y ， 11( , )B x y? ， 0( ,0)Px ，2 2 21 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1( , ) ( , ) 2P A P B x x y x x y x x x x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，由 AO PA??1 1 1 0 1( , ) ( , ) 0x y x x y? ? ? 221 1 0 1 1 001x x x y x x? ? ? ? ? ?， 所以有 2 2 21 1 0 0 12P A P B x x x x y? ? ? ? ?2 2 2 2 21 0 1 1 02 ( 1 ) 2 3 2 2 3x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 易錯(cuò)點(diǎn)： ⑴ 沒(méi)有正確引入中間變量使得 p 和 q 之間的關(guān)系 式運(yùn)算出錯(cuò)： ⑵ 對(duì) PAPB? 的三角形式化簡(jiǎn)方向偏離正確結(jié)構(gòu)或建立坐標(biāo)系沒(méi)有利用 AO PA? 得出 101xx? ，難以繼續(xù)演算． 變式與引申 5： ⑴ （ 2020 合肥一中） O 是平面上一定點(diǎn)， ,ABC 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 滿足 OP OA ??? , [ 0 , )s in | | s in | |A B A CB A B C A C ???? ? ? ?????則 P 的軌跡一定通過(guò) ABC? 的 ( ) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 2 4 5?? ，半圓的直徑 4AB? ， O 為圓 心， C 是圓弧上不同于 ,AB的任意 一點(diǎn)，若 P 為半徑 OC 上的動(dòng)點(diǎn)，則 ()PA PB PC??的最小值是 ； 題型四 平面向量與圓錐曲線綜合的問(wèn)題 例 4： 如圖 2 4 6?? ,已知雙曲線 C： 221xyab??( 0 0)ab??， ，直線 21 alxc?：與一條漸近線 l2 交于點(diǎn) ,MF是雙曲線 C的右焦點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . ⑴求證： OM MF? ； ⑵若 1MF? ,且雙曲線 C的離心率 62e? ，求雙曲線 C 的方程； ⑶在⑵的條件下，直線 l3 過(guò)點(diǎn) (0,1)A 與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn) ,PQ，且 P 在 ,AQ之間，滿足 AP AQ?? ，試判斷 ? 的范圍，并 用代數(shù)方法給出證明 . 【 注 】 考慮課程標(biāo)準(zhǔn) 和教材 關(guān)于 雙 曲線 的準(zhǔn)線方程不作 要求，所以題目里給出 的直線B 圖 244?? P A O A C B P O 圖 2 4 5?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 21 alxc?：實(shí)際上就是雙曲線的 右準(zhǔn)線 . 點(diǎn)撥： ⑴由題意寫(xiě)出點(diǎn) ,MF的坐標(biāo)，判斷 0OM MF??即可； ⑵由離心率和 1MF? 建立關(guān)于 ,ab方程組求解出 ,ab的值； ⑶ 由題意可初步猜想出 0 1? ?? ，用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來(lái)進(jìn)一步推證 . 解： ⑴ 因?yàn)?21 alxc?：，漸近線2 bl y xa?：；所以 2()a abM cc， ， 又 ( ,0)Fc ， 2 2 2c a b?? ， 得 出 2()a abOM cc? ， ， 22( ) ( )a a b b a bM F c c c c c? ? ? ? ?， ，有2 2 2 222a b a bO M M F cc? ? ?0?，所以 OM MF? . ⑵因?yàn)?62e? ，所以 2 21 2b ea ? ? ? ，即 222ab? ；又 1MF? ，故 4 2 2221b a bcc??，2 2 22()1b b ac? ?， 解得 2212ba??， ， 即所求的雙曲線 C 的方程為： x y2 22 1? ? ． ⑶ 由題意可得 0 1? ?? ．證明：設(shè) 3l ： 1y kx??，點(diǎn) 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， 由 2222xy??和 1y kx?? 聯(lián)立消去 y 得出方程： 22(1 2 ) 4 4 0k x k x? ? ? ?，因?yàn)?3l 與雙曲線 C 右支交于不同的兩點(diǎn),PQ 得出不等式組：22212 212 21 2 016 16 (1 2 ) 040124012kkkkxxkxxk? ???? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ????；化簡(jiǎn)得2222101 2 0kkkk????????? ??? ???；解得21 2k? ? ?? ；又 AP AQ?? ，有 1 1 2 2( 1 ) ( 1 )x y x y?? ? ?， ，成立， 12xx?? ；故2 24(1 ) 12kx k????， 22 2412x k? ?? ?，消 2x 得 2(1 )??? ? 222 2 21 6 4 224 (1 2 ) 2 1 2 1kkk k k? ? ?? ? ? ?；因?yàn)?21 2k? ? ?? ，有 20 2 1 1k? ? ? 成立，得出我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 2(1 ) 4??? ? ， 解得 ??? 且 1?? ，根據(jù)題意知 P 在 ,AQ之間，所以 ? 的取值范圍是 (0,1) ． 易錯(cuò)點(diǎn)： 在第⑶問(wèn)中字母的代數(shù)式運(yùn)算出錯(cuò)，解得 ??? 且 1?? 之后，不結(jié)合題意分析 ? 的取值范圍 . 變式與引申 7 已知定點(diǎn) A (1,0)和 B (1,0)， P 是圓 22( 3) ( 4) 4xy? ? ? ?上的一動(dòng)點(diǎn)，則22PA PB? 的最大值是 ；最小值是 . 本節(jié)主要考查 ⑴ 知識(shí)點(diǎn)有平面向量的加減法、向量共線定理、平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積 的 幾何意義及運(yùn)算，平面向量平行和垂直位置關(guān)系； ⑵ 演繹推理能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)； ⑶ 數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)、不等式思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和應(yīng)用向量法分析 解決問(wèn)題． 點(diǎn)評(píng) ⑴ 認(rèn)識(shí)向量的幾何特性．對(duì)于向量問(wèn)題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究，掌握平面向量相關(guān)概念的幾何意義，正確地 運(yùn)用 向量的各種運(yùn)算來(lái)處理向量與幾何的綜合應(yīng)用問(wèn)題（如例 例 2），要善于利用向量 “數(shù) ”與 “形 ”兩方面的特征； ⑵ 理解向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律、性質(zhì)幾何意義，并能靈活應(yīng)用處理與向量的夾角、模長(zhǎng)和垂直的相關(guān)問(wèn)題； ⑶ 平面向量能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)， 注意 向量在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，要關(guān)注平面向量與三角形等平面幾何知識(shí)相結(jié)合的綜合問(wèn)題（如例３）及平面向量作為解析幾何問(wèn)題的已知條 件與之交織在一起的綜合問(wèn)題（例４）； ⑷ 平面向量重視考查綜合能力，體現(xiàn)了向量的工具性及學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，學(xué)生要善于運(yùn)用向量方法解題，樹(shù)立運(yùn)用向量知識(shí)解題的意識(shí)； ⑸ 知曉 三角形五 “心 ”向量形式的充要條件， 設(shè) O 為 ABC? 所在平面上一點(diǎn)，角 ,ABC 所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 ,abc，則 ① O 為 ABC? 的外心 2 2 2O A O B O C? ? ?； ② O 為 ABC? 的重心 0OA OB OC? ? ? ?； ③ O 為 ABC? 的垂心 O A O B O B O C O C O A? ? ? ? ? ?； ④ O 為 ABC? 的內(nèi)心 0a O A bO B c O C? ? ? ?； ⑤ O 為 ABC? 的 A? 的旁心 a O A b O B c O C? ? ?； 習(xí)題２－４ 1． 已知非零向量 AB 與 AC 滿足 (| | | |AB ACAB AC?) BC =0，且| | | |AB ACAB AC?= 12 , 則△ ABC為 ( ) 形 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問(wèn)我的空間 2. 設(shè) P 為 ABC? 內(nèi)一點(diǎn)，且 3145A P A B A C??，則 ABP? 的面積與 ABC? 面積之比為 （ ） A. 14 B. 34 C. 15 D. 45 3．已知 20ab??，關(guān)于 x 的函數(shù) 3211 ()32y x a x a b x? ? ? ? 在 R 上有極值，則 a 與 b夾角的范圍 是 _ _____ _ . ４． 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A(－ 1,－ 2)、 B(2,3)、 C(－ 2,－ 1)。 (1)求以線段 AB、 AC 為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)； (2)設(shè)實(shí) 數(shù) t 滿足 ( OCtAB? ) OC =0，求 t 的值 . 5. 已知橢圓 139 22 ?? yx ，斜率為 1 且過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F 的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，)1,3( ???a ， ??? ?? OBOAb . （ 1）判斷 ?a 與 ?b 是否共線； （ 2）設(shè) M 為橢圓上任意一點(diǎn)，且 ??? ?? OBOAOM ?? （ R???, ），證明： 22 ??? 為定值 . 第二