【導讀】互為反函數(shù)；⑤理解有理指數(shù)冪的含義,掌握冪的。運算(性質),掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念,對數(shù)的運算性質；.點拔函數(shù)是三次函數(shù)與三角函數(shù)復合函數(shù)而成的，令sin,[1,1]txt???的值域.三次函數(shù)求值域常用導數(shù)的方法.；②錯誤地認為最值一定在端點處取得.變式與引申1：函數(shù)3sin1sin2x+yx??例2已知函數(shù)fx()對任意實數(shù)xy，都有()()()fxyfxfy???判斷1()fx與2()fx的大小關系.下面只要求出。fx()[]在，21上的值域為]24[，?易錯點利用性質“當x?0時，()0fx?”證明單調性，易出錯.Rxf在)(上是減函數(shù).為非奇偶非函數(shù)；若定義域關于原點對稱，則進行第二步：驗證()fx?）則()fx為奇函數(shù).當難于得出()()fxfx??．討論()fx的奇偶性.例4關于x的方程2||10xxa????有四個不同的解，求a的取值范圍.點拔此題有多種思考方法：法1：原方程看作含絕對值的方程，則采用去絕對值的方法，的負數(shù)解.問題就轉化為兩個一元二次方程根的分布問題.，則原問題等價于。，問題等價于函數(shù)。的圖像有四個不同的交點.事實上，我們還有下面各種變形：。有2個不等的正數(shù)解.

　　

【正文】 ????? 在點 x=1 處的切線與直線 0273 ??? yx 垂直，且 f（ － 1） =0，求函數(shù) f(x)在區(qū)間 [0， 3]上的最小值 . 4．已知函數(shù) 2( ) ( 1 ) lg | 2 |f x x a x a? ? ? ? ?, 2)( aaR???新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆 （ 1）若 )(xf 能表示成一個奇函數(shù) )(xg 和一個偶函數(shù) )(xh 的和，求 )()( xhxg 和 的解析式； （ 2）命題 P：函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ),)1[( 2 ???a 上是增函數(shù)； 命題 Q：函數(shù) )(xg 是減函數(shù)新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆 如果命題 P、 Q有且僅有一個是真命題，求 a的取值范圍； 5． （ 2020年高考北京卷。文） 已知函數(shù) ( ) ( ) xf x x k e?? . （ Ⅰ ）求 ()fx的單調區(qū)間； （ Ⅱ ）求 ()fx在區(qū)間 [0,1]上的最小值 . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 第五節(jié) 函數(shù)的綜合應用 (2) 函數(shù)、導數(shù)、不等式等這三部分或它們的綜合 ,在每年高考試題中都有大量出現(xiàn) ,綜合性都比較強 ,，題目都有較高的難度；利用函數(shù)解不等式 ,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 ,求函數(shù)的極值和最值等是考查的重點 .特別今后 ,高考的應用題不一定是概率題 ,那么函數(shù)作為解決生活實際問題的重要方法 ,其應用題出現(xiàn)在高考試題中 ,并且可能常態(tài)化那也在情理之中 . 考試要求 能結合實例 ,借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 ,能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 ,會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及生活中的優(yōu)化問題 .能夠利用函數(shù)解決一些生活實際問題 . 題型一 函數(shù)與不等式 例 1 設函數(shù)???????????1 141 )1()( 2xxxxxf ，則使得 1)( ?xf 的自變量 x 的取值范圍為 （ ） A. ]10,0[]2,( ???? B. ]1,0[]2,( ???? C. ]10,1[]2,( ???? D. ]10,1[)0,2[ ?? 點撥：由 分段函數(shù)的表達式知，需分成兩類： 解析：由 1)( ?xf ，則21( 1) 1xx ??? ???或 14 1 1xx???? ? ? ???， 解該不等式組得， ( , 2] [ 0 ,10 ]a ? ?? ? .選 A 例 2 已知函數(shù) f(x)=|lgx|.若 0ab,且 f(a)=f(b),則 a+2b的取值范圍是 A (2 2, )?? B [2 2, )?? C (3, )?? D [3, )?? 點撥： 注意 a 的取值范圍，利用均值不等式求解 . 解： 作出函數(shù) f(x)=|lgx|的圖象，由 ( ) ( ), 0f a f b a b? ? ?知 0 1 , l g l g , 1a b a b ab? ? ? ? ? ? ?， 22a b a a? ? ? ? ，考察函數(shù) 2yxx?? 的單調性可知，當 01x??時，函數(shù)單調遞減，223a b a a? ? ? ? ?， 故選 C. 易錯點： 例 1分段函數(shù)不等式一般通過分類討論的方式求解，解對數(shù)不等式?jīng)]注意到真數(shù)大于 0，或沒注意底數(shù)在（ 0， 1）上時，或不等號的方向寫錯等；例 2直接利用均值不等式求解得 22 2 2a b a a? ? ? ? ?最小值為 22等錯誤 . 變式與引申 1 已知函數(shù) ( 2 ) 1, 1()lo g , 1aax xfx x x?? ??? ? ??.若 ()fx在 ( , )???? 上單調遞增，則實數(shù)a 的取值范圍為 ________ . 變式與引申 2 已知二次函數(shù) cxbxaxxf ??? 2)( ，不等式 xxf 2)( ?? 的解集為 )3,1( ． 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 ① 若方程 06)( ?? axf 有兩個相等的實根，求 )(xf 的解析式； ② 若 )(xf 的最大值為正數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍． 題型二 函數(shù)與數(shù)列 例 3 已知函數(shù) .21)1()())(( ????? xfxfRxxfy 滿足 （ 1）求 *))(1()1()21( Nnnnfnff ???和的值； （ 2）若數(shù)列 )1()1()2()1()0(}{ fnnfnfnffaa nn ??????? ?滿足，求列數(shù) }{na的通項公式； （ 3）若數(shù)列 {bn}滿足1433221,41 ??????? nnnnn bbbbbbbbSba ?，則實數(shù) k 為何值時，不等式 nn bkS ?2 恒成立 . 點撥 （ 2）注意到 1 1 2 20 1 1nnn n n n??? ? ? ? ? ? ?，及 1( ) (1 ) 2f x f x? ? ?，構成對進行運算；（ 3）求出 nb ，將1 1112nnbb nn? ????裂項，并求和求出 nS ，再利用二次函數(shù)單調性性質求解 . 解： （ 1）令 41)21(21)211()21(21 ?????? fffx ，則 . 令 21)1()1(21)11()1(1 ??????? nnfnfnfnfnx ，即，則 （ 2） ∵ )1()1()2()1()0( fnnfnfnffan ??????? ? ① ∴ )0()1()2()1()1( fnfnnfnnffan ???????? ? ② 由（ 1），知 21)1()1( ??? nnfnf ∴①+② ，得 .4 )1(2 ?????? nanan （ 3） ∵ 11,41,4 1 ?????? nbbanannnn,∴ 1433221 ?????? nnn bbbbbbbbS ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? )2(22121 ????? n nn )2)(1( 2)1(11222?? ?????????? nn nkknnn knbkS nn 由條件，可知當 02)1(2 ???? nkkn 恒成立時即可滿足條件 . 設 2)1()( 2 ???? nkknnf ,當 k＞ 0時，又二次函數(shù)的性質知 02)1(2 ???? nkkn 不可能恒成立； 當 k=0 時， f （ n） =－ n－ 2＜ 0 恒成 立；當 k＜ 0 時，由 于對稱 軸直線2121212 )1( ???????? kk kn . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 ∴f （ n）在 ),1[ ?? 上為單調遞減函數(shù) ∴ 只要 f（ 1）＜ 0，即可滿足 02)1(2 ???? nkkn 恒成 立 , ∴ 由 0,23,02)1()1( ??????? kkkkf 又得， ∴k ＜ 0. 綜上知， k≤0 ，不等式 nn bkS ?2 恒成立 . 易錯點 沒有發(fā)現(xiàn) 1 1 2 20 1 1nnn n n n??? ? ? ? ? ? ?，可以結合 1( ) (1 ) 2f x f x? ? ?，進行逆序求和；對 1433221 ?????? nnn bbbbbbbbS ?不能裂項求和或求和中出錯，對02)1(2 ???? nkkn 恒成立的討論不夠嚴謹造成錯誤 . 變式與引申 3： 已知 ()fx定義在 R 上的函數(shù) ,對于任意的實數(shù) ,ab都有 ( ) ( ) ( )f a b a f b b f a??,且 (2) 1f ? . ① 求 12()f的值 ； ② 求 (2 )( *)nf n N? ? 的解析式 . 變式與引申 4： 一企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品在不做電視廣告的前提下，每天銷售量為 b 件 . 經(jīng)市場調查后得到如下規(guī)律：若 對產(chǎn)品進行電視廣告的宣傳，每天的銷售量 S （件）與電視廣告每天的播放量 n （次）的關系可用如圖所示的程序框圖來體現(xiàn) . ① 試寫出該產(chǎn)品每天的銷 售量 S （件）關于電視廣告每天的播放量 n （次）的函數(shù)關系式； ② 要使該產(chǎn)品每天的銷售量比不做電視廣告時的銷售量至少增加 90% ，則每天電視廣告的播放量至少需多少次？ 題型三 含參數(shù)的函數(shù)極值問題 例 4 設 x )0()()( 223212 ????? axabxaxxfxxx 是函數(shù) 的兩個極值點 . （ 1）若 2,1 21 ??? xx ，求函數(shù) f(x)的解析式； （ 2）若 bxx 求,22|||| 21 ?? 的最大值； （ 3）若 )()()(, 1221 xxaxfxgaxxxx ??????? 函數(shù)且 ， 求證： .)23(121|)(| 2?? aaxg 點點 撥撥 （ 2）根據(jù)根與系數(shù)關系得出兩根異號，則 21 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | ( ) 4x x x x x x x x? ? ? ? ? ?，再用導數(shù)求 b 的最大值；（ 3）將不等式問題轉化為求函數(shù)的最大值問題 . 解 ).0(23)( 22 ????? aabxaxxf （ 1） 2,1 21 ??? xx? 是函數(shù) f(x)的兩個極值點， .0)2(,0)1( ?????? ff .9,6,0412,023 22 ?????????? baabaaba 解得.3696)( 23 xxxxf ???? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 2） ∵ x x2是 f(x)是兩個極值點， .0)()( 21 ????? xfxf ∴ x x2是方程 023 22 ??? abxax 的兩根 .∵△= 4 b2 + 12a3， ∴△0 對一切 a 0，Rb? 恒成 立 .1223baxx? ?? 12 3axx??,∵ 0a? ,∴ 120xx? . .3494)3(4)32(|||||| 2222121 aabaabxxxx ?????????? 由 ).6(3,22349422|||| 222221 aabaabxx ??????? 得 .60,0)6(3,0 22 ?????? aaab? 令.369)(),6(3)( 22 aaahaaah ?????? 則 )(0)(,40 ahaha ????? 時 在（ 0， 4）內是增函數(shù)； 0)(,64 ???? aha 時 ∴ h (a)在（ 4， 6）內是減函數(shù) .∴ a = 4 時， h(a)有極大值為 96， ? ?6,0)( 在ah? 上的最大值是 96， ∴ b的最大值是 .64 （ 3）證法一： ∵ x x2是方程 0)( ?? xf 的兩根， ))((3)( 21 xxxxaxf ????? ，22121 )2 |31|||(3|31|||3|)(| ??????????? xxxxaxxxxaxg .31,3.)31(43)]31()[(43|)(|,0,0,12212122212121???????????????????????xaxaxxxxaxxxxaxgxxxxxxx?? .)23(121)3131(43|)(| 22 ??????? aaaaxg 證法二： ∵ x x2是方程 0)( ?? xf 的兩根， ))((3)( 21 xxxxaxf ????? . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 .31,3 1221 ??????? xaxaxx? |]1)(3)[31(|.|)31())(31(3||)(| ?????????? axxaxaaxxaxg ∵ 12x x x?? , )133)(31(|)(| ?????? axxaxg3221 3 1 3 13 3 2 4 33 ( ) ( ) 3 ( )a a aa x x a x a a?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 )23(3143 223 ????? aaaaa 易錯點 本題討論、計算較多，不小心都容易出錯，對問題的轉化能力要求較高 . 變式與引申 5： 若函數(shù) ? ? ? ? 112131 23 ????? xaaxxxf 在區(qū)間 ? ?4,1 上是減函數(shù)，在區(qū)間? ???,6 上是增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍． 變式與引申 6： 已知函數(shù) ? ? ? ?0221ln 2 ???? axaxxxf 存在單調遞減區(qū)間，求 a的取值范圍； 題型四 函數(shù)應用題 例 5 2020 年上海世博會組委會為保證游客參觀的順利進行，對每天在各時間段進入園區(qū)和離開園區(qū)的人數(shù)作了一個模擬預測 . 為了方便起見，以 10分鐘為一個計算單位，上午 9點10分作為第一