【導(dǎo)讀】綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在~之間.能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.例1．已知等比數(shù)列??na中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且1a、等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；及公式的變式不熟悉，往往要先計(jì)算qda,,1等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻.na的前n項(xiàng)和為nS，公差,0?當(dāng)nS為最小時(shí)，求n的值.組求和、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等是常用的求和方法，這里利用的結(jié)論以及nnba,（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由23269aaa?故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=13. nb的通項(xiàng)公式時(shí)，遺漏了負(fù)號(hào)；，點(diǎn)(,)nnS，均在函數(shù)。該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列??nc是一個(gè)從第2項(xiàng)開始的公比為3的等比數(shù)列,nb后，由題設(shè)條件不能正確地找出求nc的方法；計(jì)算nc由①式變?yōu)棰谑綍r(shí)，缺少2?

　　

【正文】 現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到 “ 否定 ” 的結(jié)論，即不存在 .若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論 ，即得到存在的結(jié)果 .也可直接推理判斷是否存在 . 解 （ 1）當(dāng) 1?n 時(shí)，1 1 1 15 1, 4? ? ? ? ?a S a. 又 115 1 , 5 1??? ? ? ?n n n na S a S 111 15, 4即 ???? ? ? ? ?nn n n naa a a a ∴ 數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為1 14??a，公比為 14??q 的等比數(shù)列， ∴ 1()4??nna，1)4( 54 ???? nnb （ 2）不存在正整數(shù) k ，使得 4nRk? 成立 . 證 明 ：2 1 2 2 1 25 5 5 2 0 1 5 1 6 4 08 8 8 8 .( 4 ) 1 ( 4 ) 1 1 6 1 1 6 4 ( 1 6 1 ) ( 1 6 4 )? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?kkk k k k k k kbb ∴ 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，設(shè) 2 ( )n m m N??? ∴ 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( ) 8 4n m mR b b b b b b m n?? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) 2 1( )n m m N ?? ? ? ∴ 1 2 3 4 2 3 2 2 2 1( ) ( ) ( ) 8 ( 1 ) 4 8 4 4n m m mR b b b b b b b m m n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 對(duì)于一切的正整數(shù) n，都有 4nRk? ∴ 不存在正整數(shù) k ，使得我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 4nRk? 成立． （ 3 ）nnnnnnnnnnnnnn bbc 16 25)16( 16254163)16( 1625)416)(116( 162514 514 5 22122122 ?????? ???? ???????? ?? 又313,3 21 ?? bb∴341?c， 當(dāng) 1?n 時(shí)，1 32T?， 當(dāng) 2n? 時(shí)，23486924025341516 1612534)16 116 116 1(2534 232 ??????????????? ? nnnT ? 易錯(cuò)點(diǎn) ： （ 1）在第二問中對(duì) n 不加討論，導(dǎo)致結(jié)論不正確；（ 2）找不到 nc 的放縮技巧，也有可能放得過大而無法證明 變式與引 申 4： 已知數(shù)列 ??na 和 ??nb 滿足 1am? , 1nna a n?? ??, 2439nn nba? ? ?. (Ⅰ ) 當(dāng) 1m? 時(shí) ,求證 : 對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ? ,??na 一定不是等差數(shù) 列； (Ⅱ ) 當(dāng) 12??? 時(shí) ,試判斷 ??nb 是否為等比數(shù)列 . 本節(jié)主要考查： 數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用 ， 此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能 . 點(diǎn)評(píng)： （ 1） 數(shù)列與不等式作為高中數(shù)學(xué)代數(shù)五大內(nèi)容的兩大核心內(nèi)容，其在高考試卷中處于核心地位，數(shù)列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數(shù)列與不等式的主要交匯，有不等式與函數(shù)的重點(diǎn)交叉，數(shù)列與函數(shù)、 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出．當(dāng)這些兩者甚至三者交匯結(jié)合在一起的時(shí)候，問題會(huì)變得非常的靈活，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，分析問題和解決問題的能力，計(jì)算能力以及數(shù)學(xué)的思想和方法、數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有較高的要求． （ 2） 求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有： ① 建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值； ② 首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值； ③ 利用條件中的不等式關(guān)系確定最值． （ 3） 探索型問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或探索滿足某些條件的對(duì)象是 否存在，問題增加了許多可變因素，思維指向不明顯．探索型問題有： ① 猜想型，即結(jié)論未給出，解題時(shí)需要首選探索結(jié)論，然后再加以證明； ② 判斷型，即判定符合某種條件的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在或其結(jié)論是否成立，解題時(shí)常先假設(shè)存在，然后求出或?qū)С雒埽? （ 4） 數(shù)列中的不等式問題，一般有放縮，構(gòu)造函數(shù)這兩類常見的方法．用放縮法證明不等式有： ① 利用迭代法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮； ② 利用累加法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮； ③ 利用累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮； ④ 利用可求和的新數(shù)列構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮．而放縮主要是 把數(shù)列的通項(xiàng)放縮為一個(gè)可求和的數(shù)列，如放縮為等比、等 差或可裂項(xiàng)求和的數(shù)列． 習(xí)題 3－ 4 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 1． 數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式 2na n kn??,若此數(shù)列滿足 1nnaa?? (nN?? ),則 k 的取值范圍是 A, 2k?? B, 2k?? C, 3k?? D, 3k?? 2．已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列 ,它們的公比為 q , 則 q 的取值范圍是（ ） A． 15(0, )2? B． 15( ,1]2? C． 15[1, )2? D． )2 51,2 51( ??? 3． 已知 ? 為銳角，且 12tan ??? ， 函數(shù) )42s i n(2t a n)( 2 ??? ???? xxxf，數(shù)列 {an}的首項(xiàng) )(,21 11 nn afaa ?? ?. ⑴ 求函數(shù) )(xf 的表達(dá)式； ⑵ 求證： nn aa ??1 . 4 ． 函數(shù) )1,(122 ??????? yNnx nxxy的最 小值為 , nn ba 最大值為 且14( ),2n n nc a b??數(shù)列 {}nC 的前 n 項(xiàng)和為 nS ． （ Ⅰ ）求數(shù)列 }{nc 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）若數(shù)列 {}nd 是等差數(shù)列，且 nn Sd nc? ?，求非零常數(shù) c ； （ Ⅲ ）若1( ) ( )( 3 6 )nndf n n Nnd ?????，求數(shù)列 {()}fn 的最大項(xiàng)． 5． (2020全國理科 )設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 1 0a? 且111 nnaa? ???? （Ⅰ）求 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè) 111 , , 1 .nnn n k nkab b Sn ???? ? ??記 S 證 明 ： 第三講 (文 ) 數(shù)列與不等式參考答案 第一節(jié) 數(shù)列及其應(yīng)用 變式與引申 1【解析】根據(jù)題意，點(diǎn) ),( nSn 適合拋物線有以下特點(diǎn) ① 開口向上， ② 過原點(diǎn)，我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 ③ 對(duì)稱軸 2 83 ???x，（ 1）由對(duì)稱性可知，另一交點(diǎn)為 )0,11( ，表明 011?S .（ 2）當(dāng) nS為最小時(shí)， 65或?n . 變式與引申 2 【 解 析 】（ 1 ） ),2(24,24 11 ?????? ?? naSaS nnnn? 兩 式 相 減 ：),2(44 11 ??? ?? naaa nnn *),(2)2(2,2)(42 ,2),2)((4 1111121 111 Nnbaabaaaaab aabnaaa nnnnnnnnnn nnnnnn ?????????? ??????? ??????? ??? ,21 ?? ?nnbb }{nb? 是以 2為公比的等比數(shù)列， ,325,523,24,2 112121121 ???????????? baaaaaaab 而?*)(23 1 Nnb nn ???? ? （ 2） ,23 1??? nnn bC ,)1( 12l og2l og 1l ogl og 1 1222212 ?????? ??? nnCC nnnn 而 ,111)1( 1 ???? nnnn .111)111()4131()3121()211( ?????????????? nnnT n ? （ 1）因?yàn)閷?duì)任意的 nN?? ,點(diǎn) ( , )nnS ，均在函數(shù) (0xy b r b? ? ? 且 1, ,b br? 均為常數(shù) )的圖像上 .所以得 nnS b r??, 當(dāng) 1n? 時(shí) , 11a S b r? ? ? , 當(dāng) 2n? 時(shí) , 1 1 11 ( ) ( 1 )n n n n nn n na S S b r b r b b b b? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 又因?yàn)?{ na }為等比數(shù)列 , 所以 1r?? , 公比為 b , 所以 1( 1) nna b b ??? （ 2）當(dāng) b=2時(shí)， 11( 1) 2nnna b b ??? ? ?, 111114 4 2 2n nnnnnnb a ?????? ? ?? 則2 3 4 12 3 4 12 2 2 2n nnT ??? ? ? ? ? 3 4 5 1 21 2 3 4 12 2 2 2 2 2n nnT ?? ?? ? ? ? ? ? 相減 , 得2 3 4 5 1 21 2 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2n nn nT ?? ?? ? ? ? ? ? ?= 31211(1 )2211 2nnn???? ???? 123 1 14 2 2nnn???? ? ? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 所以113 1 1 3 32 2 2 2 2n n n nnnT ??? ? ? ? ? 變式與引申 4 【解析】（ 1）由表知，每年比上一年多造林 400畝 . 因?yàn)?2020年新植 1400畝，故當(dāng)年沙地應(yīng) 降為 2 3 8 0 01 4 0 02 5 2 0 0 ?? 畝，但當(dāng)年實(shí)際沙地面積為 24000畝，所以 2020年沙化土地為 200 畝 . 同理 2020 年沙化土地為200畝 . 所以每年沙化的土地面積為 200畝 （ 2）由 (1)知，每年林木的 “ 有效面積 ” 應(yīng)比實(shí)造林面積少 200畝 . 設(shè) 2020年及其以后各年的造林畝數(shù)分別為 1a 、 2a 、 3a 、 ? ，則 n 年造林面積總和為： 4002 )1(1800 ???? nnnSn 由題意： nS n 20204000 ?? 化簡得 012072 ??? nn 解得： 8?n 故 8年，即到 2017年可綠化完全部沙地 . 變式與引申 5解：（ 1）由已知得 111 , 2 ,2 nna a a n?? ? ? 2 2 13 3 1 3, 1 1 ,4 4 2 4a a a? ? ? ? ? ? ? ? 又 1 1,n n nb a a?? ? ? 1 2 1 1,n n nb a a? ? ?? ? ? 211211122)1(1111111121???????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnaaaaaananaaaaabb {}nb? 是以 34? 為首項(xiàng)，以 12 為公比的等比數(shù)列 . （ 2）由（ I）知， 13 1 3 1( ) ,4 2 2 2nn nb ?? ? ? ? ? ? 1 311,22nn naa?? ? ? ? ? ?21 311,22aa? ? ? ? ? ? 32 2311,22aa? ? ? ? ???????1 1311,22nn naa ? ?? ? ? ? ? ? 將以上各式相加得： 1 213 1 1 1( 1 ) ( ) ,2 2 2 2n na a n ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 11 111( 1 )3 1 3 1 3221 ( 1 ) ( 1 ) 2 .12 2 2 2 212nn nna a n n n???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 3 nan? ? ? ? （ 3）存在 2?? ，使數(shù)列 {}nnSTn??是等差數(shù)列 . 12 121 1