數(shù)列與不等式的綜合問題-資料下載頁
2025-03-25 02:51本頁面
【正文】 分)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝can＋(c為正實數(shù)，n∈N*)，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(1)證明：當(dāng)c＝2時，2n＋1－2≤Sn≤3n－1(n∈N*)；(2)求實數(shù)c的取值范圍，使得數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列．解 (1)證明：易得an0(n∈N*)，由an＋1＝2an＋，得＝2＋2，所以{an}是遞增數(shù)列，從而有an≥2，故≤2＋3，(2分)由此可得an＋13an32an－1…3na1＝23n，所以Sn≤2(1＋3＋32＋…＋3n－1)＝3n－1，(4分)又有an＋12an22an－1…2na1＝2n＋1，所以Sn≥2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2，(6分)所以，當(dāng)c＝2時，2n＋1－2≤Sn≤3n－1(n∈N*)成立．(8分)(2)由a1＝2可得a2＝2c＋2，解得c，(10分)若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，則＝c＋1，得an，記t＝，①又an＋1－t＝(an－t)，因為an－t(n∈N*)均為正數(shù)，所以c－0，即an.②由①an0(n∈N*)及c，t0可知an＋1－tc(an－t)…(a1－t)＝(2－t)，進而可得 an－1(2－t)＋t.③由②③兩式可得，對任意的自然數(shù)n，－1(2－t)＋t恒成立．因為0c，t2，所以t，即t2＝，解得c.(14分)下面證明：當(dāng)c時，數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列．當(dāng)c時，由an＋1＝can＋及an＝can－1＋(n≥2)，兩式相減得an＋1－an＝(an－an－1).由an＋1＝can＋有an≥2成立，則an－1an4c，即c.又當(dāng)c時，a2－a10成立，所以對任意的自然數(shù)n，an＋1－an0都成立．綜上所述，實數(shù)c的取值范圍為c.
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