數(shù)列與不等式的綜合問題(參考版)
2025-03-28 02:51本頁面
【正文】 金麗衢十二校聯(lián)考](本小題滿分20分)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝can＋(c為正實數(shù)，n∈N*)，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(1)證明：當(dāng)c＝2時，2n＋1－2≤Sn≤3n－1(n∈N*)；(2)求實數(shù)c的取值范圍，使得數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列．解 (1)證明：易得an0(n∈N*)，由an＋1＝2an＋，得＝2＋2，所以{an}是遞增數(shù)列，從而有an≥2，故≤2＋3，(2分)由此可得an＋13an32an－1…3na1＝2m02n02n.(15分)從而對于任意mn，均有|an|2＋m2n≤n－1＝n，數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.(8分)(2)證明：∵bn＝，∴bn＝＝－，(11分)∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋－＋…＋＝－，(18分)∴Tn.(20分)8．[20162＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，寫出Tn關(guān)于n的表達(dá)式，并求滿足Tn時n的取值范圍．解 (1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n－1(n≥2)．兩式相減得an＝(n≥2)，(4分)又a1＝1滿足上式，∴an＝(n∈N*)，(5分)(2)由(1)知bn＝，(6分)Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋.兩式相減得Tn＝＋2－，Tn＝＋2－，(9分)Tn＝1＋4－＝3－，(10分)由Tn－Tn－1＝3－－＝，當(dāng)n≥2時，Tn－Tn－10，所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增．(12分)T4＝3－＝，又T5＝3－＝＝，所以n≥5時，Tn≥T5，故所求n≥5，n∈N*.(15分)7．[2016
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