【導讀】曲線與方程是解析幾何的基本概念,在近年的高考試題中,重點考查曲線與方程的關系,中檔題,難度值一般在~之間.考試要求⑴了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.⑵掌握一般曲線方程的求解方法和用定義法求圓錐曲線方程.的點不都在曲線C上”是正確的,即一定有不在曲線C上的點,并且其坐標滿足方。的(,)xy只有一解,則②錯；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③錯.00(,)Pxy不在直線l：(,)0fxy?上運動時,求點P的軌跡方程.易錯點：忽視軌跡方程中的0x?點的距離分別是7和1.離心率),求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.式中,化簡后可得到點M的軌跡方程,然后說明其軌跡是什么曲線,并指明變量x的取值范圍.,故點M的軌跡方程為473yx?????交1l與點P,求線段1PF垂直平分線與2l的交點M的軌跡方程,并指明曲線類型.,故考察區(qū)域邊界曲線的方程為22

　　

【正文】 2OM bK ac? ??. 又AB bK a??且 //OM AB ， 2bbac a?? ?? ， 故 bc? 從而 22e? cFFarrQFFrQFrQF 2,2, 2121212211 ??????? ?設 2 2 2 2 2 221 2 1 2 1 22121 2 1 2 1 24 ( ) 2 4c os 1 1 022 () 2r r c r r r r c bb rrr r r r r r?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??當且僅B M O 1F Q P A x y 2F 圖 642?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 當 12rr? 時，上式成立 . 0 cos 1?? ? ? 故 0,2?? ???????. （ 3） , 2 ,b c a c?? ?設橢圓方程為 2212xycc?? 2, , 2 ,2A B P QP Q A B K K? ? ? ? ??直線 PQ 的方程為 2( ),y x c??代入橢圓方程，得 225 8 2 0,x cx c? ? ? 228 4 2 6) ( ) ( 1 2) 25 5 5cPQ c c?????? ? ? ? ?????????. 又點 1F 到 PQ 的距離 26,3dc?121 1 2 6 6 2 4 3 ,2 2 3 5 5F P QS d P Q c c c?? ? ? ? ? ? 由 243 20 3,5 c ? 得 2 25,c ? 故 22 50c ? .?所求橢圓方 程為 22150 25xy??. （注：此問亦可用1 1212pF P Q QS F F y y? ??求得） 點評：本例中第（ 1）問是課本題，第（ 2）（ 3）問是該題的引申，像這種源與課本，又有拓寬引申的題常常是高考試題的來源之一，應引起大家的重視，注意掌握好這一類問題 . 變式與引申 y2＝ 2px（ p0）的準線與圓（ x－ 3） 2＋ y2＝ 16相切，則 p的值為 （ ） 題型四 直線與圓錐曲線的關系 【 例 4】設 O 為拋 物線的頂點， F 為拋物線的焦點且 PQ為過焦點的弦，若 |OF|=a， |PQ|=b，求 △ OPQ 的面積 . 點撥：結合拋物線方程的特點，可設方程為 y2=4ax（ a0）， F（ a， 0），再運用拋物線的定義，找出 P 、 Q 兩點橫坐標 1x 、 2x 關系，最后設過方程的直線為( ),y k x a?? （ 還要注意斜率 k 存在與否的討論）由21222121 2 yyyyyy ???? 求解即可 . 解： 如圖 8 所示，由題意知拋物線的方程為 ? ?042 ?? aaxy ， F? ?,0,a 設 ? ? ? ?, 221,1 yxQyxP ，由拋物線的定義知： QFPFPQ ?? baxxaxax ???????? 22121 所以 abxx 221 ??? 由 abayayaxy 244:4 22212 ???? 得 故 ? ?abayy 242221 ??? 設過 F 的弦的斜率為 k，則其方程為 ( ),y k x a?? 將其與拋物線方程聯(lián)立知： ky2－ 4ay－ 4a2k=0 2221 44 ak kayy ????故 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 若斜率不存在，則其兩個交點為（ a， 2a）與（ a，－ 2a），同樣有 221 4ayy ?? 那么 ? ? ? ? abaabayyyyyy 242242 221222121 ????????? 因此： abayyOFSopq ????? 1221 易錯：（ 1）不會使用焦半徑公式而導致運算復雜；（ 2）直接設過 F 的弦的斜率為 k，則其方程為 ( ),y k x a??后面沒有對斜率 k 是否存在進行討論 . 變式與引申 4．（ 2020 年高考四川卷文 ）過點 C(0， 1)的橢圓 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 32，橢圓與 x 軸交于兩點 ( ,0)Aa 、 ( ,0)Aa? ，過點 C 的直線 l 與橢圓交于另一點 D，并與 x 軸交于點 P， 直線 AC 與直線 BD 交于點 Q． （ I）當直線 l 過橢圓右焦點時，求線段 CD 的長； （ Ⅱ ）當點 P 異于點 B 時，求證： OPOQ? 為定值 ． 本節(jié)主要考察： （ 1）基礎知識有 圓錐曲線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質 .以及這些知識的綜合應用 .（ 2）基本方法有求圓錐曲線的定義法、待定系數(shù)法、相關點法、點差法、設而不求的整體思想以及坐標法和 “幾何問題代數(shù)化 ”等解析幾何的基本方法 .（ 3） 基本思想有數(shù)形結合思想、方程思想、等價轉化思想等 .（ 4）基本能力有邏輯推理能力、運算求解能力、探究創(chuàng)新能力，并嘗試考察解決實際問題的能力 . 點評： （ 1）圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數(shù)學的重點內容，同時又是熱點和壓軸點之一，主要考察圓錐曲線的定義與性質，求圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關系，以圓錐曲線為載體的探索性問題等 . （ 2）恰當利用圓錐曲線的定義和幾何特征，運用數(shù)形結合思想，可避免繁瑣的推理和運算 . （ 3） 求圓錐曲線主要方法有定義法、待定系數(shù)法、相關點法，另外還有直接法、參數(shù)法等 . （ 4）圓 錐曲線的性質如范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、焦半徑、焦點三角形、通徑等都是高考命題點，它們源于課本，高于課本，應引起重視，注意掌握這類問題的求解方法與策略 .如求離心率的大小或范圍，只需列出關于基本量 a、 b、 c 的一個關系式即可 . （ 5）求參數(shù)的最值或范圍問題是圓錐曲線的一種常見問題，主要方法一是根據條件建立含參數(shù)的等式，再分離參數(shù)求其值域；另一是列出含參數(shù)的不等式，進而求之 .列不等式的思路有 ① 運用判別式 △ 0 或 0?? ； ② 點在圓錐曲線的內部或外部； ③ 利用圓錐曲線的幾何 意義（如橢圓中 a≤x≤a）； ④ 根據三角形兩邊之和大于第三邊（注意共線情況）等 . （ 6）充分利用向量的工具作用，運用坐標法，把幾何問題變?yōu)榧兇鷶?shù)問題，體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法 . （ 7）運用韋達定理的解題方法是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的核心方法，其解題步驟是 “設 ”（點的坐標，直線、曲線方程）、 “聯(lián) ”（聯(lián)立方程組）、 “消 ”（消去一元，得到一元二次方程）、 “用 ”（ 運用韋達定理、中點坐標公式、弦長公式等）、 “判 ”（ 運用判別式檢驗、求參數(shù)的值或縮小參數(shù)的取值范圍） . （ 8）關注解析幾何中的探究創(chuàng)新問題， 解題思路往往是先假設滿足題意，即從承認結論、變結論為條件出發(fā)，然后通過歸納，逐步探索待求結論 . （ 9）適當關注解析幾何應用題，它體現(xiàn)圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用 .標準卷更 重視應用意識的考查 . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 10）由于對 雙曲線的要求明顯降低，以它作為載體的解析幾何大題的可能性已減少，所以解析幾何大題的最大可能素材是用坐標法解決直線與橢圓、拋物線的位置關系等問題 . 練習 64 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的左焦點為 F ，右頂點為 A ，點 B 在橢圓上，且 BF x?軸， 直線 AB 交 y 軸于點 P ．若 2AP PB? ，則橢圓的離心率是（ ） A． 32 B． 22 C． 13 D． 12 1 的直線 l 與橢圓 14 22 ??yx 相交于 BA, 兩點，則 AB 的最大值為 （ ） A. 2 B． 554 C． 5104 D. 5108 2 2 ( 0)y px p??的焦點為 F ，點 (0, 2)A .若線段 FA 的中點 B 在拋物線上，則 B到該拋物線準線的距離為 _____________. 4． 已知 橢圓 1C 、 拋物線 2C 的焦點均在 x 軸 上， 1C 的中心和 2C 的頂點均為原點 O ，從每條曲線 上取兩個點，將其坐標記錄于下表中： x 3 ? 2 4[來源 :學 |科 |網 Z| X| X| K] 2 y 32? 0 ? 4 22 （Ⅰ） 求 12CC、 的標準方程； （Ⅱ） 請問是否存在 直線 l 滿足條件：①過 2C 的焦點 F ；②與 1C 交不同兩點 ,MN、 且滿足 OM ON? ？ 若存在 ， 求出直線 l 的 方程；若不存在 ， 說明理由． 5. 已知橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的右焦點為 2(3,0)F ，離心率為 .e （Ⅰ）若 32e? ，求橢圓的方程； （Ⅱ）設直線 y kx? 與橢圓相交于 A， B 兩點，若22 230, 22A F B F e? ? ? ?且，求 k的取值范圍。 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 第六講 解析幾何 (文科 )參考答案 第一節(jié) 曲線與方程 變式與引申 1. B 提示： 由 0xy? ,結合選項知選 B. 2. A 提示： 由題意 00( , ) 0f x y ? ,又 0 0 0 0( , ) ( , ) 0f x y f x y??,∴ 直線 ( , ) 0f x y ? 與直線 00( , ) ( , ) 0f x y f x y??平行 ,且點 P 在直線 00( , ) ( , ) 0f x y f x y??上 ,選 A. 3. 解： 設 ( , )Nxy , ( ,0)Ma , (0, )Pb,則 ( , )MN x a y?? , ( , )NP x b y? ? ? .由 25MN NP?, 得 25( , ) ( , )x a y x b y? ? ? ?,∴ 25x a x? ??, 25()y b y??, 即 75ax?, 72by?. 又22| | 7abMP ???, ∴ 227752( ) ( ) 49xy??,即 2225 4 1xy??,故動點 N 的軌跡方程為 2225 4 1xy??. 4. 解： ⑴ 由 33e?得 22 23ba ?, 又 2 211b ???,∴ 2 2b? , 2 3a? , 故橢圓 C 的方程為22321xy??. ⑵ 由 ⑴ 知 1( 1,0)F? , 2(1,0)F ,由題意可設 (1, )( 0)P t t ? ,則線段 1PF 的中點為2(0, )tN. 設 ( , )Mxy 是所求軌跡上的任意一點 ,由于2( , )tMN x y? ? ?, 1 ( 2, )PF t? ? ? ,則 1 22 ( ) 0tM N P F x t yyt? ? ? ? ? ??? ??? ,消去參數(shù) t 得 2 4 ( 0)y x x?? ? ,故所求點 M 的軌跡方程為2 4 ( 0)y x x?? ? ,其軌跡為頂點在原點、開口向左、焦點為 ( 1,0)? 的拋物線 (除去原點 ). 5. 解： ⑴ 設曲線方程為 2y ax b??,將點 647(0, )M, (8,0)D 代入曲線方程 , 得 6470 64bab? ???????,∴ 17a??, 647b?,故曲線方程為 21 6477yx?? ?. 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 ⑵ 設變軌點為 ( , )Cxy ,聯(lián)立 22100 25641771yxyx? ????? ?? ??,得 24 7 36 0yy? ? ? ,∴ 4y? 或 94y??(舍去 ). 由 4y? , 得 6x? 或 6x?? (舍去 ).∴ 點 (6,4)C , 此時 , 22 5| | ( 4 6 ) ( 0 4 ) 2AC ? ? ? ? ?, 22| | ( 9 6) ( 0 4) 5BC ? ? ? ? ?.故當觀測點 A 、 B 測得 AC 、 BC 的距離分別為 5| | 2AC? 、| | 5BC? 時 ,應向航天器發(fā)出變軌指令 . 習題 61 1 . D 提示： 由 2x xy x??得 , ( 1) 0x x y? ? ? ,∴ 0x? 或 10xy? ? ? ,故方程的曲線是兩條直線 . 2 . 224 12 1xy?? 提示： 由漸近線方程可知 3ba?① .∵ 拋物線的焦點為 (4,0) ,∴ 4c? ② . 又 2 2 2c a b??③ .聯(lián)立 ①②③ ,解得 2 4a? , 2 12b? ,∴ 雙曲線的方程為 224 12 1xy??. 3 .解： ⑴∵ a 、 c 、 b 成等差數(shù)列 ,∴ 24a b c? ? ? ,即 | | | | 4CA CB??,∴ 點