全國高考湖北卷文科數(shù)學(xué)解析-資料下載頁
2025-06-07 16:13本頁面
【正文】 ①因為點在單位圓上運動，所以. ②將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 因為，所以當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為，. （Ⅱ）解法1：如圖3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即.因為點H在直線QN上，所以.于是，. 而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有. 圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖 解法2：如圖3，設(shè)，則，因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得. ③ 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，故. 于是由③式可得. ④又，三點共線，所以，即. 于是由④式可得.而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有. 22．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，為正整數(shù)，a，b為常數(shù). 曲線在 處的切線方程為.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函數(shù)的最大值；（Ⅲ）證明：.考點分析：本題主要考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，要求能夠通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。難易度：★★★解析：（Ⅰ）因為，由點在上，可得，即. 因為，所以. 又因為切線的斜率為，所以，即. 故，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.令，解得，即在上有唯一零點. 在上，故單調(diào)遞增；而在上，單調(diào)遞減.故在上的最大值為. （Ⅲ）令，則.在上，故單調(diào)遞減；而在上，單調(diào)遞增.故在上的最小值為. 所以，即. 令，得，即，所以，即.由（Ⅱ）知，故所證不等式成立. 數(shù)學(xué)（文史類）試題參考答案 第14頁（共14頁）
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