屆二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文專題3-數(shù)列量-數(shù)學(xué)-新課標(biāo)江蘇省專版68張ppt)-資料下載頁(yè)
2025-07-17 21:34本頁(yè)面
【正文】 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)于數(shù)列中的探索性問(wèn)題，和解決其他探索性問(wèn)題一樣，需要從特殊情況出發(fā)，經(jīng)過(guò)觀察、試驗(yàn)、類(lèi)比、歸納證明一般性結(jié)論． 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)四 數(shù)列應(yīng)用題 例 4 公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金 a 1 ，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 d ( d 0) ，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目 a 1 ， a 2 ， ? 是一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．如果固定年利率為 r ( r 0) ，那么，在第 n 年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a 1 (1 ＋ r )n － 1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a 2 (1 ＋r )n － 2， ?? . 以 T n 表示到第 n 年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額． 求證： T n ＝ A n ＋ B n ，其中 { A n } 是一個(gè)等比數(shù)列， { B n } 是一個(gè)等差數(shù)列． 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 T1＝ a1，對(duì) n ≥ 2 反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 Tn＝ Tn － 1(1 ＋ r) ＋ an＝ Tn － 2(1 ＋ r)2＋ an － 1(1 ＋ r) ＋ an＝ ? ＝ a1(1 ＋ r)n － 1＋ a2(1 ＋ r)n － 2＋ ? ＋ an － 1(1 ＋ r) ＋ an， ① 在 ① 式兩端同乘 1 ＋ r ，得 (1 ＋ r) Tn＝ a1(1 ＋ r)n＋ a2(1 ＋ r)n － 1＋ ? ＋ an － 1(1 ＋ r)2＋ an(1＋ r) ② ② － ① ，得 rTn＝ a1(1 ＋ r)n＋ d [(1 ＋ r)n － 1＋ (1 ＋ r)n － 2＋ … ＋(1 ＋ r)] － an ＝dr[(1 ＋ r)n－ 1 － r] ＋ a1(1 ＋ r )n－ an. 即 Tn＝a1r ＋ dr2 (1 ＋ r)n－drn －a1r ＋ dr2 . 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如果記 A n ＝a 1 r ＋ dr2 (1 ＋ r)n， B n ＝－a 1 r ＋ dr2 －drn ， 則 T n ＝ A n ＋ B n . 其中 {A n } 是以a 1 r ＋ dr2 (1 ＋ r) 為首項(xiàng)，以 1 ＋ r(r0) 為公比的等比數(shù)列； {B n } 是以－a 1 r ＋ dr2 －dr為首項(xiàng)，－dr為公差的等差數(shù)列． 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用 ， 同時(shí)也是高考考查的重要內(nèi)容 ． 解決實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)列模型主要有 ： ( 1 ) 等差數(shù)列模型 ； ( 2 ) 等比數(shù)列模型 ； ( 3 ) 等差等比綜合運(yùn)用模型 ． 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決生產(chǎn)和生活實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)社會(huì)功能化的需要 ． 環(huán)境保護(hù) ， 生態(tài)平衡越來(lái)越成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)之一 ， 也必然成為高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一 ，本題具有一定的生活背景和文化背景 ， 對(duì)學(xué)生要求既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí) ， 又要有良好的思維能力和分析 、 解決問(wèn)題的能力 ． 第 7 講 │ 規(guī)律技巧提煉 規(guī)律技巧提煉 1 ．方程思想：等差 ( 比 ) 數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和公式都是等式，可以說(shuō)，數(shù)列的學(xué)習(xí)離不開(kāi)方程．由于數(shù)列與方程之間存在著這種 “ 天然 ” 的聯(lián)系．我們自然就想到了用方程的思想來(lái)解數(shù)列問(wèn)題． 第 7 講 │ 規(guī)律技巧提煉 2 ． 函數(shù)思想 ： 數(shù)列是一種特殊的函數(shù) ， 它的定義域是N*或 N*的子集 {1 , 2 , 3 ， ? ， n } ， 其圖象是一群孤立的點(diǎn) ． 利用函數(shù)的思想研究數(shù)列常常能收到事半功倍的效果 ． 例如 ： 公差不為 0 的等差數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式 an＝ a1＋ ( n － 1 ) d ＝ dn ＋( a1－ d ) 是關(guān)于 n 的一次函數(shù) ， 因此 ， 可以利用一次函數(shù) y ＝ kx＋ b 的性質(zhì)研究等差數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題 ， 其中 k ＝ d ， b ＝ a1－ d ；等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 Sn＝ na1＋n ? n － 1 ? d2是關(guān)于 n 的二次函數(shù) ， 且Snn是關(guān)于 n 的一次函數(shù) ， 因此 ， 可以利用二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx ＋ c 其中 a ＝d2， b ＝ a1－d2， c ＝ 0 或一次函數(shù) y ＝ kx＋ b 的性質(zhì)研究有關(guān)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的問(wèn)題 ． 第 7 講 │ 江蘇真題剖析 江蘇真題剖析 [ 2022 江蘇卷 ] 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為S n ， 已知 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 ， 數(shù)列 { S n } 是公差為 d 的等差數(shù)列 ． ( 1 ) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 ( 用 n ， d 表示 ) ； ( 2 ) 設(shè) c 為實(shí)數(shù) ， 對(duì)滿足 m ＋ n ＝ 3 k 且 m ≠ n 的任意正整數(shù)m ， n ， k ， 不等式 S m ＋ S n cS k 都成立 ． 求證 ： c 的最大值為92. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 【解答】 (1) 由題意知： d 0 ， Sn＝ S1＋ ( n － 1) d ＝ a1＋ ( n － 1) d ， 2 a2＝ a1＋ a3? 3 a2＝ S3? 3( S2－ S1) ＝ S3,3[( a1＋ d )2－ a1] ＝( a1＋ 2 d )2， 化簡(jiǎn)，得： a1－ 2 a1d ＋ d2＝ 0 ， ∴ a1＝ d ， a1＝ d2. Sn＝ d ＋ ( n － 1) d ＝ nd ， Sn＝ n2d2， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn － 1＝ n2d2－ ( n － 1)2d2＝ (2 n － 1) d2，適合 n ＝ 1 的情形． 故 an＝ (2 n － 1) d2. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 (2) ( 方法一 ) S m ＋ S n cS k ? m2d2＋ n2d2 c k2d2? m2＋ n2 c k2，c m2＋ n2k2 恒成立． 又 m ＋ n ＝ 3 k 且 m ≠ n, 2( m2＋ n2)( m ＋ n )2＝ 9 k2?m2＋ n2k2 92， 故 c ≤92，即 c 的最大值為92. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 ( 方法二 ) 由 a 1 ＝ d 及 S n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ，得 d 0 ， S n＝ n2d2. 于是，對(duì)滿足題設(shè)的 m ， n ， k ， m ≠ n ，有 S m ＋ S n ＝ ( m2＋ n2) d2? m ＋ n ?22d2＝92d2k2＝92S k . 所以 c 的最大值 c m a x ≥92. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 另一方面，任取實(shí)數(shù) a 92. 設(shè) k 為偶數(shù)，令 m ＝32k ＋ 1 ， n ＝32k － 1 ，則 m ， n ， k 符合條件，且 Sm＋ Sn＝ ( m2＋ n2) d2＝ d232k ＋ 12＋32k － 12＝12d2(9 k2＋ 4) ． 于是，只要 9 k2＋ 42 ak2，即當(dāng) k 22 a － 9時(shí)， Sm＋ Sn12d22 ak2＝ aSk. 所以滿足條件的 c ≤92，從而 cm a x≤92. 因此 c 的最大值為92. 【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng) 、 求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí) ， 考查探索 、 分析及論證的能力 ． 高中代數(shù)這臺(tái)戲 ， 如果認(rèn)定函數(shù)為其主演 ， 數(shù)列為其特演 ，那么不等式則是當(dāng)之無(wú)愧的伴演 ． 函數(shù)和數(shù)列試題是彰顯的 ， 一看題目 ， 就能判斷它是不是一個(gè)函數(shù)或數(shù)列考題 ， 不等式則不盡其然 ， 它往往是隱藏的 、 滲透的 ， 有時(shí)要解到題目最后才 ( 回頭 )發(fā)現(xiàn)它是不等式問(wèn)題 ． 數(shù)列與不等式交匯常以壓軸題的形式出現(xiàn) ， 試題主要涉及到導(dǎo)數(shù) 、 函數(shù)等知識(shí) ． 考查知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式 、 前 n 項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系 、 等差數(shù)列和等比數(shù)列 、 歸納與猜想 、 大小比較 、 參數(shù)取值范圍的探求 ． 數(shù)列與不等式的結(jié)合應(yīng)主要關(guān)注以下幾點(diǎn) ： ① 求有數(shù)列參與的不等式恒成立問(wèn)題 ； ② 數(shù)列參與的不等式的證明問(wèn)題 ； ③ 求數(shù)列中的最大值問(wèn)題 ； ④ 數(shù)列與不等式結(jié)合的探索性問(wèn)題 ． 第 7 講 │ 課本挖掘提升
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