江蘇省20xx屆高考數(shù)學二輪復習：第20講數(shù)形結(jié)合思想-資料下載頁
2025-01-07 22:10本頁面
【正文】 (x)≥ 0 顯然成立；當 x＞ 0 即 x∈ (0,1]時， f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1≥ 0 可化為 a≥ 3x2－ 1x3. 設(shè) g(x)＝ 3x2－ 1x3，則 g′ (x)＝ 3?1－ 2x?x4 ， 所以 g(x)在區(qū)間 ?? ??0， 12 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 ?? ??12， 1上單調(diào)遞 減，因此 g(x)max＝ g?? ??12 ＝ 4，從而 a≥ 4； 當 x＜ 0 即 x∈ [－ 1,0)時， f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1≥ 0 可化為 a≤ 3x2－ 1x3， g′ (x)＝ 3?1－ 2x?x4 ＞ 0. g(x)在區(qū)間 [－ 1,0)上單調(diào)遞增，因此 g(x)max＝ g(－ 1)＝ 4，從而 a≤ 4， 綜上 a＝ 4. 5. 解： (1) 由題知得 A(－ 3,0)， B(3,0)， F(2,0)， 設(shè)點 P(x， y)， 則 PF2－ PB2＝ [(x－ 2)2＋ y2]－ [(x－ 3)2＋ y2]＝ 4， 整理得 x＝ 92. 故所求點 P 的軌跡為直線 x＝ 92. (2) 由 x1＝ 2， x129 ＋y125 ＝ 1 及 y10 得 M?? ??2， 53 ，從而得直線 AM 的方程為 y＝ 13x＋ 1；由 x2＝ 13， x229 ＋y225 ＝ 1 及 y20，得 N?? ??13，－ 209 ，從而 BN 的方程為 y＝ 56x－ 52. 10 由??? y＝ 13x＋ 1，y＝ 56x－ 52，解得????? x＝ 7，y＝ 103 . 所以點 T 的坐標為 ?? ??7， 103 . (3) 由題設(shè)知，直線 AT 的方程為 y＝ m12(x＋ 3)，直線 BT 的方程為 y＝ m6 (x＋ 3)．點 M(x1，y1)滿足??? y1＝ m12?x1＋ 3?，x129 ＋y125 ＝ 1，得 ?x1－ 3??x1＋ 3?9 ＝－ m2122?x1＋ 3?25 .因為 x≠ － 3，則x1－ 39 ＝－m2122x1＋ 35 ， 解得 x1＝ 240－ 3m280＋ m2 ，從而 y1＝40m80＋ m2. 點 N(x2， y2)滿足????? y2＝ m6?x2＋ 3?，x229 ＋y225 ＝ 1，x2≠ 3解得 x2＝ 3m2－ 6020＋ m ， y2＝－ 20m20＋ m2. 若 x1＝ x2，則由 240－ 3m280＋ m2 ＝3m2－ 6020＋ m2 及 m0，得 m＝ 2 10，此時直線 MN 的方程為 x＝ 1，過點 D(1,0)； 若 x1≠ x2，則 m≠ 2 10，直線 MD 的斜率 kMD＝40m80＋ m2240－ 3m280＋ m2 － 1＝ 10m40－ m2， 直線 ND 的斜率 kND＝－ 20m20＋ m23m2－ 6020＋ m2 － 1＝ 10m40－ m2，所以 kMD＝ kND. 所以直線 MN 過 D 點．綜上，直線 MN 必過 x 軸上的點 (1,0)． 6. 解： (1) 當 a＝ 1 時， f(x)＝ x3－ 32x2＋ 1， f(2)＝ 3； f′ (x)＝ 3x2－ 3x， f′ (2)＝ 線 y＝ f(x)在點 (2， f(2))處的切線方程為 y－ 3＝ 6(x－ 2)， 即 y＝ 6x－ 9. (2) f′ (x)＝ 3ax2－ 3x＝ 3x(ax－ 1)．令 f′ (x)＝ 0，解得 x＝ 0 或 x＝ 1a. 以下分兩種情況討論： ① 若 0＜ a≤ 2，則 1a≥ 12，當 x 變化時， f′ (x)， f(x)的變化情況如下表： 11 x ?? ??－ 12， 0 0 ?? ??0， 12 f′ (x) ＋ 0 － f(x) 極大值 當 x∈ ?? ??－ 12， 12 時， f(x)＞ 0 等價于??? f?? ??－ 12 ＞ 0，f?? ??12 ＞ 0，即??? 5－ a8 ＞ 0，5＋ a8 ＞ 0. 解不等式組得－ 5a 0＜ a≤ 2. ② 若 a2，則 0＜ 1a＜ x 變 化時， f′ (x)， f(x)的變化情況如下表： x ?? ??－ 12， 0 0 ?? ??0， 1a 1a ?? ??1a， 12 f′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 當 x∈ ?? ??－ 12， 12 時， f(x)0 等價于??? f?? ??－ 12 ＞ 0，f?? ??1a ＞ 0，即??? 5－ a8 ＞ 0，1－ 12a2＞ 0. 解不等式組得 22 ＜ a＜ 5 或 a＜－ 22 .因此 2a5. 綜合 ①② ，可知 a 的取值范圍為 0a5.
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