江蘇省20xx屆高考數(shù)學二輪復習：第20講數(shù)形結合思想(已修改)
2025-01-19 22:10 本頁面
【正文】 1 第 20講 數(shù)形結合思想 數(shù)形結合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想．它包含兩個方面： (1) “ 以形助數(shù) ” ，把抽象問題具體化．這主要是指用幾何的方法去解決代數(shù)或三角問題； (2) “ 以數(shù)解形 ” ，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確．這主要是指用代數(shù)或三角的方法去解決幾何問題．數(shù)形結合思想不僅是解決數(shù)學問題的一種策略和思想，而且是解決數(shù)學問題的一種重要的方法，因而在高 考中占有非常重要的地位． 數(shù)形結合思想中的 “ 數(shù) ” 主要是指數(shù)和數(shù)量關系； “ 形 ” 主要是指圖形，有點、線、面、體等．實現(xiàn)數(shù)形結合的渠道主要有： (1) 實數(shù)與數(shù)軸上點的對應； (2) 函數(shù)與圖象的對應；(3) 曲線與方程的對應； (4) 以幾何元素及幾何條件為背景，通過坐標系來實現(xiàn)的對應，有復數(shù)、三角、空間點的坐標等． 數(shù)形結合思想主要用于解填空題和選擇題，有直觀、簡單、快捷等特點；而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，圖形只是輔助手段，最終要用 “ 數(shù) ” 寫出完整的解答過程． 1. 已知 A， B 均為集合 U＝ {1,3,5,7,9}的子集，且 A∩ B＝ {3}， ( B)∩ A＝ {9}，則 A＝ ________. 2. 函數(shù) y＝ Asin(ωx＋ φ)(A， ω， φ 為常數(shù)， A0， ω0)在閉區(qū)間 [－ π， 0]上的圖象如圖所示，則 ω＝ ________. 3. 直線 y＝ 1 與曲線 y＝ x2－ |x|＋ a 有四個交點，則實數(shù) a 的取值范圍是 ________． 4. 某班共 30 人，其中 15 人喜愛籃球運動， 10 人喜愛兵乓球運動， 8 人對這兩 項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為 ________． 【例 1】 已知函數(shù) f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)＋ B(A0， ω0)的一系列對應值如下表： x － π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y － 1 1 3 1 － 1 1 3 2 (1) 根據(jù)表格提供的數(shù) 據(jù)求函數(shù) f(x)的一個解析式； (2) 根據(jù) (1)的結果，若函數(shù) y ＝ f(kx)(k0)周期為 2π3 ，當 x∈ ?? ??0， π3 時，方程 f (kx) ＝ m恰有兩個不同的解，求實數(shù) m 的取值范圍． 【例 2】 如圖，甲船以每小時 30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于 A1處時，乙船位于甲船的北偏西 105176。的方向 B1處，此時兩船相距20 海里．當甲船 航行 20 分鐘到達 A2處時，乙船航行到甲船的北偏西 120176。方向的 B2處，此時兩船相距 10 2海里，問乙船每小時航行多少海里？ 【例 3】 在平面直角坐標系 xOy 中，設二次函數(shù) f(x)＝ x2＋ 2x＋ b(x∈ R)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為 C. (1) 求實數(shù) b 的取值范圍； (2) 求圓 C 的方程； (3) 問圓 C 是否經(jīng)過某定點 (其坐標與 b 無關 )？請證明你的結論． 【例 4】 已知 f(x)是二次函數(shù)，不等式 f(x)0 的解集是 (0,5) ，且 f(x)在區(qū)間 [－ 1,4]上的最大值是 12. (1) 求 f(x)的解析式； 3 (2) 是否存在自然數(shù) m 使得方程 f(x)＋ 37x ＝ 0 在區(qū)間 (m， m＋ 1)內有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出 m 值；若不存在，說明理由． 1. (2022福建 )已知 O 是坐標原點，點 A(－ 1,1)，若點 M(x， y)為平面區(qū)域????? x＋ y≥ 2，x≤ 1，y≤ 2上的一個動點，則 OA→ OM→ 的取值范圍是 ________． 2.(2022江蘇 )在平面直角坐標系 xOy 中，過坐標原點的一條直線與函數(shù) f(x)＝ 2x的圖象交于 P、 Q 兩點，則線段 PQ 長的最小值是 ________． 3. (2022全國 )如圖，三棱錐 ABCD 的側面是頂角為 40176。，腰長均為 1 的全等三角形，動點 P 從三棱錐 ABCD 的頂點 B 沿側面運動一圈再回到點 B，則動點 P 所走的最短路徑長為________． 4.(2022江蘇 )設函數(shù) f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1(x∈ R)，若對于 x∈ [－ 1,1]都有 f(x)≥ 0 成立，則實數(shù) a 的值為 ________． 5.(2022江蘇 )在平面直角坐標系 xOy 中，如圖，已知橢圓 x29＋y25＝ 1 的左、右頂點為 A、B，右焦點為 T(t， m)的直線 TA、 TB 與此橢圓分別交于點 M(x1，
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