【正文】 n＝n ＋ 1? n ＋ 2 ?2a2n， 數(shù)列 { bn} 的前 n 項和為 Tn. 證明 ： 對于任意的 n ∈ N*， 都有 Tn564. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 [ 考題揭秘 ] 本題主要考查特殊數(shù)列的求和問題，意在考查考生的轉化與化歸能力以及運算求解能力． [ 審題過程 ] 第一步：審條件． S2n－ ( n2＋ n － 1) Sn－ ( n2＋ n ) ＝ 0. 第二步：審結論． (1) 求 an； (2) 證明不等式 Tn564. 第三步：建聯(lián)系． (1) 題設中等式左邊為關于 Sn的二次三項式，故可將其分解因式，求出 Sn，再利用數(shù)列和項互化公式求出 an； (2)根據(jù) (1) 可得 bn＝n ＋ 14 n2? n ＋ 2 ?2＝116??????1n2 －1? n ＋ 2 ?2 ，故自然聯(lián)想到用裂項法求 Tn. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 [ 規(guī)范解答 ] (1) 由 S2n－ ( n2＋ n － 1) Sn－ ( n2＋ n ) ＝ 0 ， 得 [ Sn－ ( n2＋ n )] ( Sn＋ 1) ＝ 0. 由于 { an} 是正項數(shù)列，所以 Sn0 ， Sn＝ n2＋ n . 于是 a1＝ S1＝ 2 ， n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ n2＋ n － ( n － 1)2－( n － 1) ＝ 2 n . 綜上，數(shù)列 { an} 的通項公式為 an＝ 2 n . (2) 證明：由于 an＝ 2 n ， 故 bn＝n ＋ 1? n ＋ 2 ?2a2n＝n ＋ 14 n2? n ＋ 2 ?2……………………………… ① ＝116????????1n2 －1? n ＋ 2 ?2 ， ……………………………………… ② 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 Tn＝116???? 1 －132 ＋122 －142 ＋132 －152 ＋ ? ＋1? n － 1 ?2 － ????1? n ＋ 1 ?2 ＋1n2 －1? n ＋ 2 ?2 ＝116????????1 ＋122 －1? n ＋ 1 ?2 －1? n ＋ 2 ?2 116 ??????1 ＋122＝564. ??????????????????????? ③ 故對于任意的 n ∈ N*，都有 Tn564. ?????????? ④ 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 [ 模型歸納 ] 數(shù)列與不等式的綜合問題多以數(shù)列的通項或求和問題為背景，主要考查數(shù)列中最值的求解或不等式的證明．解決此類問題的模型示意圖如下： 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 [ 變式訓練 ] 1 ． (2022 廣東高考 ) 設數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn. 已知 a1＝ 1 ，2 Snn＝ an＋ 1 －13n2－ n －23， n ∈ N*. (1) 求 a2的值； (2) 求數(shù)列 { an} 的通項公式； (3) 證明：對一切正整數(shù) n ，有1a1＋1a2＋ ? ＋1an74. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 解： (1) 依題意， 2 S1＝ a2－13－ 1 －23，又 S1＝ a1＝ 1 ，所以 a2＝ 4. (2) 當 n ≥ 2 時， 2 Sn＝ nan ＋ 1－13n3－ n2－23n ， 2 Sn － 1＝ ( n － 1) an－13( n － 1)3－ ( n － 1)2－23( n － 1) ， 兩式相減得 2 an＝ nan ＋ 1－ ( n － 1) an－13(3 n2－ 3 n ＋ 1) － (2 n － 1) －23， 整理得 ( n ＋ 1 ) an＝ nan ＋ 1－ n ( n ＋ 1 ) ，即an ＋ 1n ＋ 1－ann＝ 1. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 又當 n ＝ 1 時，a22－a11＝ 1 ， 故數(shù)列??????ann是首項為 1 ，公差為 1 的等差數(shù)列， 所以ann＝ 1 ＋ ( n － 1) 1 ＝ n ，所以 an＝ n2. (3) 證明：當 n ＝ 1 時，1a1＝ 174； 當 n ＝ 2 時，1a1＋1a2＝ 1 ＋14＝5474； 當 n ≥ 3 時，1an＝1n2 1? n － 1 ? n＝1n － 1－1n，此時 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 1a 1＋1a 2＋ ? ＋1a n＝ 1 ＋122 ＋132 ＋142 ＋ ? ＋1n2 1 ＋14＋??????12－13＋??????13－14＋ ? ＋????????1n － 1－1n＝ 1 ＋14＋12－1n＝74－1n74. 綜上，對一切正整數(shù) n ，有1a 1＋1a 2＋ ? ＋1a n74. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 2 ． 已知首項為32的等比數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn( n ∈ N*) ， 且 －2 S2， S3 ,4 S4成等差數(shù)列 ． ( 1 ) 求數(shù)列 { an} 的通項公式 ； ( 2 ) 證明 ： Sn＋1Sn≤136( n ∈ N*) ． 解： (1) 設等比數(shù)列 { a n } 的公比為 q ，因為－ 2 S 2 ， S 3, 4 S 4 成等差數(shù)列，所以 S 3 ＋ 2 S 2 ＝ 4 S 4 － S 3 ，即 S 4 － S 3 ＝ S 2 － S 4 ，可得 2 a 4 ＝－ a 3 ，于是 q ＝a 4a 3＝－12. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 又 a1＝32，所以等比數(shù)列 { an} 的通項公式為 an＝32??????－12n － 1＝ ( － 1)n － 132n . (2) Sn＝ 1 －??????－12n， Sn＋1Sn＝ 1 －??????－12n＋11 －??????－12n＝????? 2 ＋12n? 2n＋ 1 ?， n 為奇數(shù)，2 ＋12n? 2n－ 1 ?， n 為偶數(shù) .當 n 為奇數(shù)時， Sn＋1Sn隨 n 的增大而減小，所以 Sn＋1Sn≤ S1＋1S1＝136；當 n 為偶數(shù)時， Sn＋1Sn隨 n 的增大而減小，所以 Sn＋1Sn≤ S2＋1S2＝2512. 故對于 n ∈ N*，有 Sn＋1Sn≤136. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 預測演練提能 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 謝 謝 觀 看 山東天成書業(yè)有限公司制作 數(shù) 學