部分專題三第二講高考中的數(shù)列解答題型-資料下載頁(yè)
2025-01-07 10:09本頁(yè)面
【正文】 (2n ＋ 1－ 1)2＝ (22 n ＋ 2－ 2n ＋ 2－ 2n＋ 1) － (22 n ＋ 2－ 2 2n ＋ 1＋ 1) ＝－ 2n0 ， 所以 bnbn ＋ 2 b2n ＋ 1. 返回 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 [例 5] (2022湖南高考 )某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金 2 000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了 50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金 d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第 n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為 an萬(wàn)元． (1)用 d表示 a1， a2，并寫(xiě)出 an＋ 1與 an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過(guò) m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為 4 000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金 d的值 (用 m表示 )． 返回 [思路點(diǎn)撥 ] (1)本題的實(shí)質(zhì)是求數(shù)列 {an}的遞推關(guān)系式； (2)企業(yè)的剩余資金為 4 000萬(wàn)元，即 am＝ 4 000. [ 規(guī)范解答 ] (1) 由題意得 a1＝ 2 000(1 ＋ 50%) － d ＝ 3 000 － d ， a2＝ a1(1 ＋ 50%) － d ＝32a1－ d ＝ 4 500 －52d . an ＋ 1＝ an(1 ＋ 50%) － d ＝32an－ d . (2) 由 (1) 得 an＝32an － 1－ d ＝32 ??????32an － 2－ d － d ＝??????322an － 2－32d － d ＝ … 返回 ＝??????32n － 1a1－ d??????1 ＋32＋??????322＋ … ＋??????32n － 2， 整理得 an＝??????32n － 1(3 000 － d ) － 2 d????????????32n － 1－ 1 ＝??????32n － 1(3 000 － 3 d ) ＋ 2 d . 由題意， am＝ 4 0 00 ，即??????32m － 1(3 000 － 3 d ) ＋ 2 d ＝ 4 000 . 解得 d ＝????????????32m－ 2 1 0 00??????32m－ 1＝1 0 00 ? 3m－ 2m ＋ 1?3m－ 2m. 故該企業(yè)每年上繳資金 d 的值為1 0 00 ? 3m－ 2m ＋ 1?3m－ 2m時(shí)，經(jīng)過(guò) m ( m ≥ 3)年企業(yè)的剩余資金為 4 000 萬(wàn)元． 返回 求解數(shù)列應(yīng)用題，必須明白屬于哪種數(shù)列模型，是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；是求通項(xiàng)問(wèn)題還是求項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，或是求和問(wèn)題等；題目中涉及哪幾個(gè)量，這幾個(gè)量之間存在什么關(guān)系等等 . 返回 5．為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，長(zhǎng)沙市 計(jì)劃用若干年更換一萬(wàn)輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動(dòng)力型車．今年初投入了電力型公交車 128輛，混合動(dòng)力型公交車 400輛，計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入 a輛． (1)求經(jīng)過(guò) n年，該市被更換的公交車總數(shù) S(n)； (2)若該市計(jì)劃用 7年的時(shí)間完成全部更換，求 a的最小值． 返回 解： (1) 設(shè) an、 bn分別為第 n 年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量， 依題意知，數(shù)列 { an} 是首項(xiàng)為 128 ，公比為 1 ＋ 50% ＝32的等比數(shù)列，數(shù)列 { bn} 是首項(xiàng)為 400 ，公差為 a 的等差數(shù)列． 所以數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和 Sn＝128 ??????1 －??????32n1 －32＝ 256????????????32n－ 1 ， 數(shù)列 { bn} 的前 n 項(xiàng)和 Tn＝ 400 n ＋n ? n － 1 ?2a . 返回 所以經(jīng)過(guò) n 年，該市更換的公交車總數(shù) S ( n ) ＝ Sn＋ Tn＝ 256????????????32n－ 1 ＋ 400 n ＋n ? n － 1 ?2a . (2) 若用 7 年的時(shí)間完成全部更換，則 S (7) ≥ 10 000 ， 即 256????????????327－ 1 ＋ 400 7 ＋7 62a ≥ 10 000 ， 即 21 a ≥ 3 082 ， 所以 a ≥3 08221. 又 a ∈ N*，所以 a 的最小值為 147. 返回 1．?dāng)?shù)列求和的方法歸納： (1)轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行分組重組，使之轉(zhuǎn)化為 n個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用公式求和； (2)錯(cuò)位相減法：適用于 {anbn}的前 n項(xiàng)和，其中 {an}是等差數(shù)列， {bn}是等比數(shù)列； (3)裂項(xiàng)相消法：求 {an}的前 n項(xiàng)和時(shí)，若能將 an拆分為 an＝ bn－ bn＋ 1，則 a1＋ a2＋ … ＋ an＝ b1－ bn＋ 1； 返回 (4)倒序相加法：一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和容易求出，那么這樣的數(shù)列求和可采用此法，其主要用于求組合數(shù)列的和，這里易忽視因式為零的情況； (5)并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 {an}： a1＝ 1， a2＝ 3， a3＝ 2， an＋ 2＝ an＋ 1－ an，可證其滿足 an＋ 6＝ an，在求和時(shí)，依次 6項(xiàng)求和，再求 Sn； 返回 (6)歸納猜想法：通過(guò)對(duì) S1， S2， S3， … 的計(jì)算進(jìn)行歸納分析，尋求規(guī)律，猜想出 Sn，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)于 Sn不加證明． 2．在數(shù)列應(yīng)用題中首先確定是什么類型的數(shù)列，然后再根據(jù)已知和求解目標(biāo)，使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解答 . 返回 點(diǎn)擊下列圖片進(jìn)入“沖刺直擊高考”
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