等比數(shù)列前n項(xiàng)和高考解答題試題精選-資料下載頁(yè)
2025-04-17 08:11本頁(yè)面
【正文】 ，∵an＞0，∴an+1﹣an=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，則{an}是首項(xiàng)為3，公差d=2的等差數(shù)列，∴{an}的通項(xiàng)公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵an=2n+1，∴bn===（﹣），∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=． 22．（2015?浙江）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求an與bn；（Ⅱ）記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．由題意知，當(dāng)n=1時(shí)，b1=b2﹣1，故b2=2，當(dāng)n≥2時(shí)，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原遞推式作差得，整理得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此，兩式作差得：，（n∈N*）． 23．（2015?山東）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=（an+1）?2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a公差為d，則a1＞0，∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd，令=，則==[﹣]，∴c1+c2+…+﹣1+=[﹣+﹣+…+﹣]=[﹣]==，又∵數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，∴，∴a1=1或﹣1（舍），d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）知bn=（an+1）?2=（2n﹣1+1）?22n﹣1=n?4n，∴Tn=b1+b2+…+bn=1?41+2?42+…+n?4n，∴4Tn=1?42+2?43+…+（n﹣1）?4n+n?4n+1，兩式相減，得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n?4n+1=?4n+1﹣，∴Tn=． 24．（2015?天津）已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列（1）求q的值和{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（1）∵an+2=qan（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列，∴23q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴an=；（2）由（1）知bn===，n∈N*，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=1+2?+3?+4?+…+（n﹣1）?+n?，∴2Tn=2+2+3?+4?+5?+…+（n﹣1）?+n?，兩式相減，得Tn=3++++…+﹣n?=3+﹣n?=3+1﹣﹣n?=4﹣． 25．（2015?福建）等差數(shù)列{an}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，則，解得，所以an=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）=+=2101． 26．（2015?北京）已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3，b3=a7，問(wèn)：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等？【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6與數(shù)列{an}中的第63項(xiàng)相等 27．（2015?天津）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)=anbn，n∈N*，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，由題意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，n∈N*；數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，設(shè){}的前n項(xiàng)和為Sn，則，兩式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）2n=﹣（2n﹣3）2n﹣3．∴． 28．（2014?福建）在等比數(shù)列{an}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）設(shè)bn=log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，bn=log3an，∴．則數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1=0，由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知數(shù)列{bn}是以1為公差的等差數(shù)列．∴． 29．（2014?新課標(biāo)Ⅰ）已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根為2，3．又{an}是遞增的等差數(shù)列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故an=2+（n﹣2）=n+1，（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=，①Sn=，②①﹣②得Sn==，解得Sn==2﹣． 30．（2014?北京）已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4=12，等比數(shù)列{bn}滿足b1=4，b4=20．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（1）∵{an}是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴an=3+（n﹣1）3=3n．∵等比數(shù)列{bn}滿足b1=4，b4=20，∴4q3=20，解得q=，∴bn=4（）n﹣1．（2）∵等比數(shù)列{bn}中，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn==． 第32頁(yè)（共32頁(yè)）
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