【正文】 Ai－ Bi＝ ai－ ai ＋ 1＝ a1(1 － q ) qi － 1. 因此 di≠ 0 且di ＋ 1di＝ q ( i ＝ 1,2 ， ? ， n － 2) ， 即 d1， d2， ? ， dn － 1是等比數(shù)列． 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 (3) 證明：設(shè) d 為 d1， d2， ? ， dn － 1的公差． 對 1 ≤ i ≤ n － 2 ，因為 Bi≤ Bi ＋ 1， d 0 ， 所以 Ai ＋ 1＝ Bi ＋ 1＋ di ＋ 1≥ Bi＋ di＋ d Bi＋ di＝ Ai. 又因為 Ai ＋ 1＝ max{ Ai， ai ＋ 1} ，所以 ai ＋ 1＝ Ai ＋ 1 Ai≥ ai. 從而 a1， a2， ? ， an － 1是遞增數(shù)列． 因此 Ai＝ ai( i ＝ 1,2 ， ? ， n － 1) ． 又因為 B1＝ A1－ d1＝ a1－ d1 a1， 所以 B1 a1 a2 ? an － 1. 因此 an＝ B1. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 所以 B 1 ＝ B 2 ＝ ? ＝ B n － 1 ＝ a n . 所以 a i＝ A i＝ B i＋ d i＝ a n ＋ d i . 因此對 i ＝ 1,2 ， ? ， n － 2 都有 a i ＋ 1 － a i＝ d i ＋ 1 － d i＝ d ， 即 a 1 ， a 2 ， ? ， a n － 1 是等差數(shù)列． 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 —————————— 規(guī)律 總 結(jié) ———————————— 證明 ( 或判斷 ) 數(shù)列是等差 ( 比 ) 數(shù)列的四種基本方法 ( 1) 定義法： an ＋ 1－ an＝ d ( 常數(shù) )( n ∈ N*) ? { an} 是等差數(shù)列；an ＋ 1an＝ q ( q是非零常數(shù) ) ? { an} 是等比數(shù)列； ( 2) 等差 ( 比 ) 中項法： 2 an ＋ 1＝ an＋ an ＋ 2( n ∈ N*) ? { an} 是等差數(shù)列； a2n ＋ 1＝an an ＋ 2( n ∈ N*， an≠ 0) ? { an} 是等比數(shù)列； ( 3) 通項公式法： an＝ pn ＋ q ( p ， q 為常數(shù) ) ? { an} 是等差數(shù)列； an＝ a1 qn－ 1( 其中 a1， q 為非零常數(shù)， n ∈ N*) ? { an} 是等比數(shù)列． ( 4) 前 n 項和公式法： Sn＝ An2＋ Bn ( A ， B 為常數(shù) ) ? { an} 是等差數(shù)列；Sn＝ Aqn－ A ( A 為非零常數(shù)， q ≠ 0,1) ? { an} 是等比數(shù)列 . —————————————— — — — — —— ——————— 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 1 ． 已知數(shù)列 { an} ， { bn} 滿足 ： a1＝ 0 ， b1＝ 2 013 ， 且對任意的正整數(shù) n ， an， an ＋ 1， bn和 an ＋ 1， bn ＋ 1， bn均成等差數(shù)列 ． ( 1 ) 求 a2， b2的值 ； ( 2 ) 證 明 ： { an－ bn} 和 { an＋ 2 bn} 均成等比數(shù)列 ； ( 3 ) 是否存在唯一的正整數(shù) c ， 使得 an c bn恒成立 ？ 證明你的結(jié)論 ． 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 解： (1) a2＝a1＋ b12＝2 0132， b2＝a2＋ b12＝6 0394. (2) 證明：依題意，對任意的正整數(shù) n ，有 ????? an ＋ 1＝an＋ bn2，bn ＋ 1＝an ＋ 1＋ bn2?????? an ＋ 1＝12an＋12bn，bn ＋ 1＝14an＋34bn，因為an ＋ 1－ bn ＋ 1an－ bn＝??????12an＋12bn－??????14an＋34bnan－ bn＝14， n ∈ N*，又 a1－ b1＝－ 2 013 ≠ 0 ，所以， { an－ bn} 是首項為－ 2 013 ，公比為14的等比數(shù)列； 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 因為an ＋ 1＋ 2 bn ＋ 1an＋ 2 bn＝??????12an＋12bn＋ 2??????14an＋34bnan＋ 2 bn＝ 1 ， n ∈ N*，又 a1＋2 b1＝ 4 026 ≠ 0 ，所以， { an＋ 2 bn} 是首項為 4 026 ，公比為 1 的等比數(shù)列． (3) 由 (2) 得????? an＋ 2 bn＝ 4 026 ，an－ bn＝－2 0134n － 1，解得????? an＝ 1 342 －1 3424n － 1，bn＝ 1 342 ＋6714n － 1，n ∈N*. 顯然， { an} 是單調(diào)遞增數(shù)列， { bn} 是單調(diào)遞減數(shù)列，且 an1 342 bn， n ∈ N*. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 即存在正整數(shù) c ＝ 1 342 ，使得對任意的 n ∈ N*，有 an1 342 bn. 又令????? 1 3424n － 11 ，6714n － 11 ，得 22 n － 21 342. 而 210＝ 1 024 ， 212＝ 4 096 ，所以 2 n － 2 ≥ 12 ， n ≥ 7. 即對任意的 n ∈ N*當 n ≥ 7 時， 1 341 an1 342 bn1 343 ， 所以正整數(shù) c ＝ 1 342 也是唯一的． 綜上所述，存在唯一的正整數(shù) c ＝ 1 342 ，使得對任意的 n ∈ N*，有 an c bn恒成立． 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 [ 例 2] ( 2022 南昌模擬 ) 下表是一個由正數(shù)組成的數(shù)表，數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列，各列依次成等比數(shù)列，且公比都相等，已知 a 1 , 1 ＝ 1 ， a 2 , 3 ＝ 6 ， a 3 , 2 ＝ 8. 數(shù)列求和問題 ? ? ? ? ? ? a4,4 a4,3 a4,2 a4,1 ? a3,4 a3,3 a3,2 a3,1 ? a2,4 a2,3 a2,2 a2,1 ? a1,4 a1,3 a1,2 a1,1 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 (1) 求數(shù)列 { a n, 2 } 的通項公式； (2) 設(shè) b n ＝a 1 ， na n ， 2， n ＝ 1,2,3 ， ? ，求數(shù)列 { b n } 的前 n 項和 S n . [ 自主解答 ] ( 1 ) 設(shè)各行依次組成的等差數(shù)列的公差是 d ，各列依次組成的等比數(shù)列的 公比是 q ( q 0 ) ， 則 a 2 , 3 ＝ qa 1 , 3 ＝ q ( 1 ＋ 2 d ) ? q ( 1 ＋ 2 d ) ＝ 6 ， a 3 , 2 ＝ q2a 1 , 2 ＝ q2( 1 ＋ d ) ? q2( 1 ＋ d ) ＝ 8 ， 解得 d ＝ 1 ， q ＝ 2. a 1 , 2 ＝ 2 ? a n , 2 ＝ 2 2n － 1＝ 2n. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構(gòu)建 預測演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學 ( 2 ) bn＝n2n ，則 S n ＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ， 則12Sn＝122 ＋223 ＋324 ＋ ? ＋n2n ＋ 1 ， 兩式