層次分析中的判斷向量法(編輯修改稿)
2025-07-23 12:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ） （7）規(guī)范化后有 （8）2．新方法的理論證明為證明前面提出的方法的合理性，先給出如下定義：定義1 如果數(shù)，且對(duì)任意有，則稱集合是標(biāo)度集；如果G是標(biāo)度集，且對(duì)任意有，稱G是互反的標(biāo)度集。定義2 設(shè)如果是因素與的相對(duì)重要程度標(biāo)度值，則稱V是在G上的判斷向量。定義3 如果G是互反的，且對(duì)任意的 有，對(duì)任意有其中，則稱矩陣A是標(biāo)度集G上一致的。定義4 如果對(duì)任意的 ，有其中，稱向量是標(biāo)度集G上一致的。定義5 如果存在使概率，則稱為集判斷向量；稱隨機(jī)變量為因素集在標(biāo)度集G上的集標(biāo)度。定理1 如果因素集在標(biāo)度集G上的判斷向量是一致的，則F在G上的判斷矩陣A也是一致的。其中。 （9）證明 由定義3與4，立即得證。定理2 設(shè)G是標(biāo)度集，則φ，其中由（5）式定義。證明 對(duì)任意，顯然，現(xiàn)證明φ。為此只需證明。采用數(shù)學(xué)歸納法，時(shí)，因是標(biāo)度集，故有。假設(shè)時(shí)，有，欲證當(dāng)時(shí)有。假設(shè)不然，則必有（或）。不妨設(shè)，則=由此得，這與矛盾，故必有，同理可證時(shí)的情況。根據(jù)歸納法原理，命題得證。定理3 設(shè)集合。其中，則有。證明 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng) 時(shí)，顯然有 ；假設(shè) 時(shí)有 欲證當(dāng) 時(shí)，有 。假設(shè)不然，即 則必有 或 。不妨設(shè) 由（3）和 的定義有同理當(dāng) 時(shí)，可推出。這與 矛盾，故必是 ，根據(jù)歸納法原理，命題得證。定理4 設(shè) 是標(biāo)度集G上的判斷向量，則 是一致的，其中 由（1）與（2）確定。證明 由定義4只需證明對(duì)任意的 有。由（2），（定理3）。故。因此有即 同理可證 因此。這就證明了定理4。定理5 設(shè)是在標(biāo)度集G上一致的判斷向量。則F中元素的相對(duì)權(quán)重由（8）式給出。證明 因?yàn)槭荊上一致的，所以由定理1知A是G上一致的，A由（9）式定義。記是的權(quán)重，則A的元素可記為，又因A是一致的，所以A的任一列都可以作為因素集 F中元素的相對(duì)權(quán)重向量，不妨取第一列并令，則有由（9）式，對(duì)任意有由
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