【文章內容簡介】 漸近線傾角：。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點：。 ④ 根軌跡與虛軸的交點坐標：。⑤ 該系統(tǒng)根軌跡如題244解圖所示。（2）系統(tǒng)的階躍響應不出現超調的條件是特征根在左半平面的實軸上。根軌跡在實軸上的分離點的K值已由（1）求得，所以在時系統(tǒng)不產生超調。（3）串聯微分校正環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數變?yōu)橄到y(tǒng)特征方程為若是根軌跡上的點，則必滿足特征方程。代入特征方程，得： 245 已知單位負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為 （1）試繪制參數由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）判斷點是否在根軌跡上；（3）由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比時a的值。【解】：（1）系統(tǒng)的特征方程為等效開環(huán)傳遞函數為：，a由變化為一般根軌跡。題245解圖① 開環(huán)零點，開環(huán)極點。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點由 得 解得為分離點，不在根軌跡上，舍去。④ 共軛復根的出射角⑤ 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題245解圖所示。（2）把代入相角條件中，若滿足則是根軌跡上的點，反之則不是。點不在根軌跡上。（3）求等超調線與根軌跡的交點方法一 ，設等超調線與根軌跡交點坐標實部為，則，有 令等式兩邊s各次項系數分別相等，得方法二 由特征方程，按照典型二階系統(tǒng)近似計算得：另外，把代入特征方程也可求得同樣結果。246 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）試繪制參數由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出臨界阻尼比時的閉環(huán)傳遞函數。【解】：（1）系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數為： 題246解圖a由變化為一般根軌跡。① 開環(huán)極點。② 漸近線與實軸的交點：，漸近線傾角：。③ 實軸上的根軌跡在區(qū)間。④ 分離點由 得 解得為起點，為分離點。⑤ 根軌跡與虛軸的交點令，代入特征方程得⑥ 該系統(tǒng)根軌跡如題246解圖所示。（2）時，對應實軸上根軌跡的分離點。因為，可由開環(huán)極點之和等于閉環(huán)極點之和求得另一實軸上的極點坐標系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為題247解圖247 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ：（1）試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出使系統(tǒng)產生相重實根和純虛根時的值。【解】：（1）根軌跡方程為由變化，為根軌跡。① 開環(huán)零點，開環(huán)極點。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點和會合點解得為會合點，為分離點。 ④ 根軌跡與虛軸的交點特征方程為 令，代入特征方程得⑤ 該系統(tǒng)根軌跡如題247解圖所示。（2）實軸上根軌跡的分離點和會合點即為相重實根，其K值分別為 純虛根時的K值即為根軌跡與虛軸交點的K值，由（1）所求得之。 （1） （2）題248圖248 系統(tǒng)方框圖如題248圖所示，試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。 【解】：（1）根軌跡方程為由變化為零度根軌跡。① 開環(huán)極點。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 該系統(tǒng)根軌跡如題248解（1）圖所示。（2）根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。① 開環(huán)極點。② 漸近線與實軸的交點：，漸近線傾角：。③ 實軸上的根軌跡在區(qū)間。題248解圖④ 分離點 （1） （2）題248解圖⑤ 復平面上的根軌跡與漸近線重合，如題248解圖（2）所示。249 單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 ，繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖?！窘狻浚旱刃Ц壽E方程為當由時為零度根軌跡。① 開環(huán)零點，開環(huán)極點。，有一個無窮遠的極點。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點和會合點解得為分離點，為會合點。題249解圖④ 根軌跡與虛軸的交點特征方程為 令，代入特征方程得⑤ 復平面上的根軌跡是圓，如題249解圖所示。2410 系統(tǒng)方框圖如題2410圖所示，試求：（1）當閉環(huán)極點為時的值；（2）在上面所確定的值下，當由變化的閉環(huán)根軌跡圖。題2410圖【解】：（1）特征方程為 閉環(huán)極點為時的系統(tǒng)特征方程為 兩方程聯立求解得： 題2410解圖 （2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為等效根軌跡方程為： 當由時為一般根軌跡。① 開環(huán)零點，開環(huán)極點。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 ③ 會合點解得為起點，為會合點。④ 復平面上的根軌跡是圓，如題2410解圖所示。2411 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程分別如下，試概略繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。（1） （2）題2411（1）解圖【解】：（1）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。① 開環(huán)零點，開環(huán)極點。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點和會合點解得（起點），（分離點），（會合點），（舍去）。④ 根軌跡與虛軸的交點根據特征方程列勞斯表令行等于零，得，代入行輔助方程，得 ⑤ 該系統(tǒng)根軌跡如題2411（1）解圖所示。（2）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。① 開環(huán)零點，開環(huán)極點。② 漸近線與實軸的交點 漸近線傾角 ③ 實軸上的根軌跡在區(qū)間。④ 分離點解得（分離點），（舍去），（舍去）。⑤ 根軌跡與虛軸的交點根據特征方程列勞斯表題2411（2）解圖令行等于零，得，代入行輔助方程，得 ⑥ 該系統(tǒng)根軌跡如題2411（2）解圖所示。2412 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）試概略繪制由和變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出其單位階躍響應為單調衰減、振蕩衰減、等幅振蕩、增幅振蕩、單調增幅時的值。【解】：（1）特征方程為，等效根軌跡方程為：（a）由變化時為一般根軌跡。① 開環(huán)零點，開環(huán)極點② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 會合點題2412解圖解得（舍去），（會合點）。④ 出射角 ⑤ 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2412解圖實線部分所示。（b）由變化為零度根軌跡。① 實軸上的根軌跡在區(qū)間。② 會合點計算同上。會合點為。③ 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的另一部分，如題2412解圖虛線部分所示。（2）由根軌跡看出，根軌跡與虛軸的交點在原點。根軌跡在實軸上重合時。根軌跡在復平面上時。結論：系統(tǒng)無等幅和增幅振蕩。在取值時,為衰減振蕩；時為單調衰減；時為單調增幅。2413 系統(tǒng)方框圖如題2313圖所示，繪制由的閉環(huán)根軌跡圖，并要求：（1）求無局部反饋時系統(tǒng)單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調節(jié)時間；（2）討論時局部反饋對系統(tǒng)性能的影響；（3）求臨界阻尼時的值。題2413圖【解】： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為題2413解圖系統(tǒng)特征方程為 等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。① 開環(huán)零點，開環(huán)極點。② 實軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 會合點 解得（舍去），（會合點）。會合點時的a值 ④ 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2413解圖所示。（1） 穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為，Ⅰ型系統(tǒng)。阻尼比和調節(jié)時間方法一：根據題意，對應根軌跡起點方法二： 對應開環(huán)傳遞函數有（2）由根軌跡看出，此時系統(tǒng)特征根為兩個不相等的實根，系統(tǒng)無超調，穩(wěn)定性變好。但由于其中一個實根更靠近虛軸，使調節(jié)時間增長。系統(tǒng)仍為Ⅰ型，開環(huán)增益減小，斜坡信號輸入時穩(wěn)態(tài)誤差增大。（3）系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡在實軸上出現會合點時為臨界阻尼情況，此時。從特征方程上也可以直接看出。2414 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 確定值，使根軌跡分別具有：0，1，2個分離點，畫出這三種情況的根軌跡?！窘狻浚焊壽E分離點由下式確定，為原點處重極點的分離點，實軸上其他的分離點和匯合點。（1） 0個分離點只要原點處有兩個極點，無論何種情況，至少有一個分離點，所以令，則開環(huán)傳遞函數為當由變化，即零度根軌跡時沒有分離點。其根軌跡如題2214解圖（1）所示。（2） 1個分離點對于一般根軌跡，是一個分離點。所以當不存在，即，時，根軌跡具有一個分離點。設漸近線傾角和漸近線與實軸的交點分別為 實軸上的根軌跡在區(qū)間。其根軌跡如題2214解圖（2）所示。（3