【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 漸近線傾角：。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點(diǎn)：。 ④ 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：。⑤ 該系統(tǒng)根軌跡如題244解圖所示。（2）系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不出現(xiàn)超調(diào)的條件是特征根在左半平面的實(shí)軸上。根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)的K值已由（1）求得，所以在時(shí)系統(tǒng)不產(chǎn)生超調(diào)。（3）串聯(lián)微分校正環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)橄到y(tǒng)特征方程為若是根軌跡上的點(diǎn)，則必滿足特征方程。代入特征方程，得： 245 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）試?yán)L制參數(shù)由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）判斷點(diǎn)是否在根軌跡上；（3）由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比時(shí)a的值?！窘狻浚海?）系統(tǒng)的特征方程為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，a由變化為一般根軌跡。題245解圖① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點(diǎn)由 得 解得為分離點(diǎn)，不在根軌跡上，舍去。④ 共軛復(fù)根的出射角⑤ 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題245解圖所示。（2）把代入相角條件中，若滿足則是根軌跡上的點(diǎn)，反之則不是。點(diǎn)不在根軌跡上。（3）求等超調(diào)線與根軌跡的交點(diǎn)方法一 ，設(shè)等超調(diào)線與根軌跡交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)部為，則，有 令等式兩邊s各次項(xiàng)系數(shù)分別相等，得方法二 由特征方程，按照典型二階系統(tǒng)近似計(jì)算得：另外，把代入特征方程也可求得同樣結(jié)果。246 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）試?yán)L制參數(shù)由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出臨界阻尼比時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)?！窘狻浚海?）系統(tǒng)特征方程為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 題246解圖a由變化為一般根軌跡。① 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：，漸近線傾角：。③ 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。④ 分離點(diǎn)由 得 解得為起點(diǎn)，為分離點(diǎn)。⑤ 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令，代入特征方程得⑥ 該系統(tǒng)根軌跡如題246解圖所示。（2）時(shí)，對(duì)應(yīng)實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)。因?yàn)椋捎砷_(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和等于閉環(huán)極點(diǎn)之和求得另一實(shí)軸上的極點(diǎn)坐標(biāo)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為題247解圖247 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ：（1）試?yán)L制由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出使系統(tǒng)產(chǎn)生相重實(shí)根和純虛根時(shí)的值?！窘狻浚海?）根軌跡方程為由變化，為根軌跡。① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)解得為會(huì)合點(diǎn)，為分離點(diǎn)。 ④ 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)特征方程為 令，代入特征方程得⑤ 該系統(tǒng)根軌跡如題247解圖所示。（2）實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)即為相重實(shí)根，其K值分別為 純虛根時(shí)的K值即為根軌跡與虛軸交點(diǎn)的K值，由（1）所求得之。 （1） （2）題248圖248 系統(tǒng)方框圖如題248圖所示，試?yán)L制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。 【解】：（1）根軌跡方程為由變化為零度根軌跡。① 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 該系統(tǒng)根軌跡如題248解（1）圖所示。（2）根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。① 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：，漸近線傾角：。③ 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。題248解圖④ 分離點(diǎn) （1） （2）題248解圖⑤ 復(fù)平面上的根軌跡與漸近線重合，如題248解圖（2）所示。249 單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。【解】：等效根軌跡方程為當(dāng)由時(shí)為零度根軌跡。① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。，有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)的極點(diǎn)。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)解得為分離點(diǎn)，為會(huì)合點(diǎn)。題249解圖④ 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)特征方程為 令，代入特征方程得⑤ 復(fù)平面上的根軌跡是圓，如題249解圖所示。2410 系統(tǒng)方框圖如題2410圖所示，試求：（1）當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的值；（2）在上面所確定的值下，當(dāng)由變化的閉環(huán)根軌跡圖。題2410圖【解】：（1）特征方程為 閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的系統(tǒng)特征方程為 兩方程聯(lián)立求解得： 題2410解圖 （2）系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為等效根軌跡方程為： 當(dāng)由時(shí)為一般根軌跡。① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 ③ 會(huì)合點(diǎn)解得為起點(diǎn)，為會(huì)合點(diǎn)。④ 復(fù)平面上的根軌跡是圓，如題2410解圖所示。2411 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程分別如下，試概略繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。（1） （2）題2411（1）解圖【解】：（1）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)解得（起點(diǎn)），（分離點(diǎn)），（會(huì)合點(diǎn)），（舍去）。④ 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根據(jù)特征方程列勞斯表令行等于零，得，代入行輔助方程，得 ⑤ 該系統(tǒng)根軌跡如題2411（1）解圖所示。（2）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) 漸近線傾角 ③ 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。④ 分離點(diǎn)解得（分離點(diǎn)），（舍去），（舍去）。⑤ 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根據(jù)特征方程列勞斯表題2411（2）解圖令行等于零，得，代入行輔助方程，得 ⑥ 該系統(tǒng)根軌跡如題2411（2）解圖所示。2412 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）試概略繪制由和變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出其單位階躍響應(yīng)為單調(diào)衰減、振蕩衰減、等幅振蕩、增幅振蕩、單調(diào)增幅時(shí)的值。【解】：（1）特征方程為，等效根軌跡方程為：（a）由變化時(shí)為一般根軌跡。① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 會(huì)合點(diǎn)題2412解圖解得（舍去），（會(huì)合點(diǎn)）。④ 出射角 ⑤ 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2412解圖實(shí)線部分所示。（b）由變化為零度根軌跡。① 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。② 會(huì)合點(diǎn)計(jì)算同上。會(huì)合點(diǎn)為。③ 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的另一部分，如題2412解圖虛線部分所示。（2）由根軌跡看出，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)。根軌跡在實(shí)軸上重合時(shí)。根軌跡在復(fù)平面上時(shí)。結(jié)論：系統(tǒng)無(wú)等幅和增幅振蕩。在取值時(shí),為衰減振蕩；時(shí)為單調(diào)衰減；時(shí)為單調(diào)增幅。2413 系統(tǒng)方框圖如題2313圖所示，繪制由的閉環(huán)根軌跡圖，并要求：（1）求無(wú)局部反饋時(shí)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調(diào)節(jié)時(shí)間；（2）討論時(shí)局部反饋對(duì)系統(tǒng)性能的影響；（3）求臨界阻尼時(shí)的值。題2413圖【解】： 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為題2413解圖系統(tǒng)特征方程為 等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。① 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。② 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。③ 會(huì)合點(diǎn) 解得（舍去），（會(huì)合點(diǎn)）。會(huì)合點(diǎn)時(shí)的a值 ④ 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2413解圖所示。（1） 穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，Ⅰ型系統(tǒng)。阻尼比和調(diào)節(jié)時(shí)間方法一：根據(jù)題意，對(duì)應(yīng)根軌跡起點(diǎn)方法二： 對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有（2）由根軌跡看出，此時(shí)系統(tǒng)特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根，系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，穩(wěn)定性變好。但由于其中一個(gè)實(shí)根更靠近虛軸，使調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)。系統(tǒng)仍為Ⅰ型，開(kāi)環(huán)增益減小，斜坡信號(hào)輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差增大。（3）系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡在實(shí)軸上出現(xiàn)會(huì)合點(diǎn)時(shí)為臨界阻尼情況，此時(shí)。從特征方程上也可以直接看出。2414 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 確定值，使根軌跡分別具有：0，1，2個(gè)分離點(diǎn)，畫出這三種情況的根軌跡?！窘狻浚焊壽E分離點(diǎn)由下式確定，為原點(diǎn)處重極點(diǎn)的分離點(diǎn)，實(shí)軸上其他的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)。（1） 0個(gè)分離點(diǎn)只要原點(diǎn)處有兩個(gè)極點(diǎn)，無(wú)論何種情況，至少有一個(gè)分離點(diǎn)，所以令，則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)由變化，即零度根軌跡時(shí)沒(méi)有分離點(diǎn)。其根軌跡如題2214解圖（1）所示。（2） 1個(gè)分離點(diǎn)對(duì)于一般根軌跡，是一個(gè)分離點(diǎn)。所以當(dāng)不存在，即，時(shí)，根軌跡具有一個(gè)分離點(diǎn)。設(shè)漸近線傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)分別為 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。其根軌跡如題2214解圖（2）所示。（3