【文章內(nèi)容簡介】 s roots([1,10,35,50,24])圖 27 不同時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線n?自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書12ans =特征方程的根都具有負實部，因而系統(tǒng)為穩(wěn)定的。2）勞斯穩(wěn)定判據(jù) routh（）勞斯判據(jù)的調(diào)用格式為：[r, info]=routh(den)該函數(shù)的功能是構(gòu)造系統(tǒng)的勞斯表。其中，den 為系統(tǒng)的分母多項式系數(shù)向量，r為返回的 routh 表矩陣，info 為返回的 routh 表的附加信息。以上述多項式為例，由 routh 判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。den=[1,10,35,50,24]。 [r,info]=routh(den)r=1 35 2410 50 030 24 042 0 024 0 0info=[ ] 由系統(tǒng)返回的 routh 表可以看出，其第一列沒有符號的變化，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3）赫爾維茨判據(jù) hurwitz（）赫爾維茨的調(diào)用格式為：H=hurwitz（den） 。該函數(shù)的功能是構(gòu)造 hurwitz 矩陣。其中，den 為系統(tǒng)的分母多項式系數(shù)向量。以上述多項式為例，由 hurwitz 判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。den=[1,10,35,50,24]。 H=hurwitz(den)H= 10 50 0 0 1 35 24 0 0 10 50 0 0 1 35 24自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書13由系統(tǒng)返回的 hurwitz 矩陣可以看出，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。與前面的分析結(jié)果完全一致。注意：routh（）和 hurwitz（）不是 MATLAB 中自帶的功能函數(shù)，須加載 文件夾（自編）才能運行。三、實驗內(nèi)容1．觀察函數(shù) step( )和 impulse( )的調(diào)用格式，假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為 14673(24???sssG可以用幾種方法繪制出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線？試分別繪制。2．對典型二階系統(tǒng) 22)(nss????1）分別繪出 ， 分別取 0, 和 時的單位階躍響應(yīng)曲線，/(2radn??分析參數(shù) 對系統(tǒng)的影響，并計算 = 時的時域性能指標 。? spret,?2）繪制出當 =, 分別取 1,2,4,6 時單位階躍響應(yīng)曲線，分析參數(shù) 對系統(tǒng)n n?的影響。3．系統(tǒng)的特征方程式為 ，試用三種判穩(wěn)方式判別該系統(tǒng)05324??ss的穩(wěn)定性。4．單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)模型為 )256)(42()2???ssKsG試分別用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍。四、實驗報告1．根據(jù)內(nèi)容要求，寫出調(diào)試好的 MATLAB 語言程序，及對應(yīng)的 MATLAB 運算結(jié)果。2. 記錄各種輸出波形，根據(jù)實驗結(jié)果分析參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響。3．總結(jié)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的方法，說明增益 K 對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。4．寫出實驗的心得與體會。自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書14五、預(yù)習要求1. 預(yù)習實驗中基礎(chǔ)知識，運行編制好的 MATLAB 語句，熟悉 MATLAB 指令及 step( )和impulse( )函數(shù)。2. 結(jié)合實驗內(nèi)容，提前編制相應(yīng)的程序。3．思考特征參量 和 對二階系統(tǒng)性能的影響。?n?4．熟悉閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件及學(xué)過的穩(wěn)定判據(jù)。實驗三 線性系統(tǒng)的根軌跡一、實驗?zāi)康?. 熟悉 MATLAB 用于控制系統(tǒng)中的一些基本編程語句和格式。2. 利用 MATLAB 語句繪制系統(tǒng)的根軌跡。3. 掌握用根軌跡分析系統(tǒng)性能的圖解方法。4. 掌握系統(tǒng)參數(shù)變化對特征根位置的影響。二、基礎(chǔ)知識及 MATLAB 函數(shù) 根軌跡是指系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無窮大時，特征方程的根在 s 平面上的變化軌跡。這個參數(shù)一般選為開環(huán)系統(tǒng)的增益 K。課本中介紹的手工繪制根軌跡的方法，只能繪制根軌跡草圖。而用 MATLAB 可以方便地繪制精確的根軌跡圖，并可觀測參數(shù)變化對特征根位置的影響。假設(shè)系統(tǒng)的對象模型可以表示為 nnmmasbsabKsG?????11210)()( ? ?系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以寫成 0)(1s對每一個 K 的取值，我們可以得到一組系統(tǒng)的閉環(huán)極點。如果我們改變 K 的數(shù)值，則可以得到一系列這樣的極點集合。若將這些 K 的取值下得出的極點位置按照各個分支連接起來，則可以得到一些描述系統(tǒng)閉環(huán)位置的曲線，這些曲線又稱為系統(tǒng)的根軌跡。1）繪制系統(tǒng)的根軌跡 rlocus（）自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書15MATLAB 中繪制根軌跡的函數(shù)調(diào)用格式為：rlocus(num,den) 開環(huán)增益 k 的范圍自動設(shè)定。rlocus(num,den,k) 開環(huán)增益 k 的范圍人工設(shè)定。rlocus(p,z) 依據(jù)開環(huán)零極點繪制根軌跡。r=rlocus(num,den) 不作圖，返回閉環(huán)根矩陣。[r,k]=rlocus(num,den) 不作圖，返回閉環(huán)根矩陣 r 和對應(yīng)的開環(huán)增益向量k。其中，num,den 分別為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母多項式系數(shù)，按 s 的降冪排列。K 為根軌跡增益，可設(shè)定增益范圍。例 31：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，繪制系統(tǒng)的根軌跡924)1()(3???ssKG的 MATLAB 的調(diào)用語句如下： num=[1 1]。 %定義分子多項式 den=[1 4 2 9]。 %定義分母多項式 rlocus (num,den) %繪制系統(tǒng)的根軌跡 grid %畫網(wǎng)格標度線 xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %給坐標軸加上說明 title(‘Root Locus’) %給圖形加上標題名則該系統(tǒng)的根軌跡如圖 31 所示： 若上例要繪制 K 在（1，10）的根軌跡圖，則此時的 MATLAB 的調(diào)用格式如下，對應(yīng)的根軌跡如圖 32 所示。num=[1 1]。 den=[1 4 2 9]。 k=1::10。 rlocus (num,den,k) 圖 31 系統(tǒng)的完整根軌跡圖形 圖 32 特定增益范圍內(nèi)的根軌跡圖形 自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書162）確定閉環(huán)根位置對應(yīng)增益值 K 的函數(shù) rlocfind（）在 MATLAB 中，提供了 rlocfind 函數(shù)獲取與特定的復(fù)根對應(yīng)的增益 K 的值。在求出的根軌跡圖上，可確定選定點的增益值 K 和閉環(huán)根 r（向量）的值。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[k,r]=rlocfind(num,den)執(zhí)行前，先執(zhí)行繪制根軌跡命令 rlocus（num,den） ，作出根軌跡圖。執(zhí)行rlocfind 命令時，出現(xiàn)提示語句“Select a point in the graphics window”，即要求在根軌跡圖上選定閉環(huán)極點。將鼠標移至根軌跡圖選定的位置，單擊左鍵確定，根軌跡圖上出現(xiàn)“+”標記，即得到了該點的增益 K 和閉環(huán)根 r 的返回變量值。例 32：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試求：（1）系統(tǒng)的25386)(23???ssG根軌跡；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 的范圍；（3）K=1 時閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。則此時的MATLAB 的調(diào)用格式為：G=tf([1,5,6],[1,8,3,25])。 rlocus (G)。 %繪制系統(tǒng)的根軌跡 [k,r]=rlocfind(G) %確定臨界穩(wěn)定時的增益值 k 和對應(yīng)的極點 r G_c=feedback(G,1)。 %形成單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng)step(G_c) %繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線則系統(tǒng)的根軌跡圖和閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖 32 所示。其中，調(diào)用 rlocfind（）函數(shù)，求出系統(tǒng)與虛軸交點的 K 值，可得與虛軸交點的K 值為 ，故系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 的范圍為 。),0264.(??3）繪制阻尼比 和無阻尼自然頻率 的柵格線 sgrid( )?n?當對系統(tǒng)的阻尼比 和無阻尼自然頻率 有要求時，就希望在根軌跡圖上作等（a）根軌跡圖形 （b）K=1 時的階躍響應(yīng)曲線圖 32 系統(tǒng)的根軌跡和階躍響應(yīng)曲線自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書17或等 線。MATLAB 中實現(xiàn)這一要求的函數(shù)為 sgrid( )，該函數(shù)的調(diào)用格式為：?n?sgrid( , ) 已知 和 的數(shù)值，作出等于已知參數(shù)的等值線。?n?n?sgrid(‘new’) 作出等間隔分布的等 和 網(wǎng)格線。?n例 33：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，由 rlocfind 函數(shù)找出能產(chǎn))2(1)(??ssG生主導(dǎo)極點阻尼 = 的合適增益，如圖 33(a)所示。?G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0])。zet=[::1]。wn=[1:10]。sgrid(zet,wn)。hold on。rlocus(G)[k,r]=rlocfind(G)Select a point in the graphics windowselected_point = + k = r = + 同時我們還可以繪制出該增益下閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，如圖 33(b)所示。事實上，等 或等 線在設(shè)計系補償器中是相當實用的，這樣設(shè)計出的增益 K= 將使得?n?整個系統(tǒng)的阻尼比接近 。由下面的 MATLAB 語句可以求出主導(dǎo)極點，即 r()點的阻尼比和自然頻率為G_c=feedback(G,1)。step(G_c)dd0=poly(r(2:3,:))。wn=sqrt(dd0(3))。zet=dd0(2)/(2*wn)。[zet,wn]ans = 我們可以由圖 33(a)中看出，主導(dǎo)極點的結(jié)果與實際系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)非常接近，設(shè)計的效果是令人滿意的。自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書184）基于根軌跡的系統(tǒng)設(shè)計及校正工具 rltoolMATLAB 中提供了一個系統(tǒng)根軌跡分析的圖形界面，在此界面可以可視地在整個前向通路中添加零極點（亦即設(shè)計控制器） ，從而使得系統(tǒng)的性能得到改善。實現(xiàn)這一要求的工具為 rltool，其調(diào)用格式為：rltool 或 rltool(G)例 34：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )50(2)5(1.)2??ssG輸入系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并對此對象進行設(shè)計。den=[conv([1,5],conv([1,20],[1,50])),0,0]。num=[1,]。G=tf(num,den)。rltool(G)該命令將打開 rltool 工具的界面，顯示原開環(huán)模型的根軌跡圖，如圖 34（a）所示。單擊該圖形菜單命令 Analysis 中的 Response to Step Command 復(fù)選框，則將打開一個新的窗口，繪制系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖 34（b）所示?？梢娺@樣直接得出的系統(tǒng)有很強的振蕩，就需要給這個對象模型設(shè)計一個控制器來改善系統(tǒng)的閉環(huán)性能。（a）根軌跡上點的選擇 （b）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖 33 由根軌跡技術(shù)設(shè)計閉環(huán)系統(tǒng) a）原對象模型的根軌跡 （b）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖 34 根軌跡設(shè)計工具界面及階躍響應(yīng)分析自動控制理論仿真實驗指導(dǎo)書19 單擊界面上的零點和極點添加的按鈕，可以給系統(tǒng)添加一對共軛復(fù)極點，兩個穩(wěn)定零點，調(diào)整它們的位置，并調(diào)整增益的值，通過觀察系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)效果，則可以試湊地設(shè)計出一個控制器 ))(()( jsjssGC ????在此控制器下分別觀察系統(tǒng)的根軌跡和閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線?？梢姡瑀ltool 可以作為系統(tǒng)綜合的實用工具，在系統(tǒng)設(shè)計中發(fā)揮作用。三、實驗內(nèi)容1．請繪制下面系統(tǒng)的根軌跡曲線 )136)(2()2???ssKsG)0()(12)1..0)(74.(5)2???ssKsG同時得出在單位階躍負反饋下使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值的范圍。2. 在系統(tǒng)設(shè)計工具 rltool 界面中，通過添加零點和極點方法，試湊出上述系統(tǒng)，并觀察增加極、零點對系統(tǒng)的影響。四、實驗報告1．根據(jù)內(nèi)容要求，寫出調(diào)試好的 MATLAB 語言程序，及對應(yīng)的結(jié)果。2. 記錄顯示的根軌跡圖形，根據(jù)實驗結(jié)果分析根軌跡的繪制規(guī)則。3. 根據(jù)實驗結(jié)果分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，觀察根軌跡上一些特殊點對應(yīng)的 K 值，確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍。4．根據(jù)實驗分析增加極點或零點對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。5．寫出實驗的心得與體會。自動控制