【文章內(nèi)容簡介】 777772271107227722221102117712211101???????????????xxxyxxxyxxxy （ 2） 其中 0? ， 1? ，?， 7? 是 7 個(gè)待估計(jì)參數(shù)， 1x ， 2x ， 3x ,? 7x 是 7 個(gè)可以精確測量的一般變量， ,1? ,2? ? 7? 是 7 個(gè)相互獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布 ),0( ?N 的隨機(jī)變量，這就是多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型。 令 ???????????????721yyyY ? ， ???????????????777271272221171211111xxxxxxxxxX????????， 11 ???????????????710???? ? ， ???????????????721???? ? ， 那么多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型（ 2）可以寫成矩陣形式 .????XY （ 3） 其中 ? 是 7維隨機(jī)向量，它的分量是相互獨(dú)立的。 參數(shù) ? 的最小二乘估計(jì) 為了估計(jì)參數(shù) ? ，我們采用最小二乘估計(jì)法。設(shè) 01 8, , ,b b b??? 分別是參數(shù) 0? ， 1? ，?，7? 的最小二乘估計(jì)，則回歸方程為 7722110 xbxbxbby ????? ? （ 4） 由最小二乘法知道， 710 , bbb ? 應(yīng)使得全部觀察值 ?y 與回歸值 ?y? 的偏差平方和Q 達(dá)到最小，即使 ^ 2()Q y y???? ? ?? 最 小 (5) 所以Ｑ是 710 , bbb ? 的非負(fù)二次式，最小值一定存在。根據(jù)微積分學(xué)中的極值原理， 710 , bbb ? 應(yīng)是下列正規(guī)方程組的解： ^0^2 ( ) 0 ,2 ( ) 0 ,jjQ y ybQ y y xb????????? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ?? ???? (6) 顯然，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣是對稱矩陣，用 A 來表示，則 XXA ?? ，且其右端常數(shù)項(xiàng)矩陣 B 亦可采用矩陣 X 和 Y 來表示： YXB ?? 。所以可以得到回歸方程的回歸系數(shù)： YXX)X(BAb 11 ???? (7) 由于利用偏回歸平方和 iQ 可以衡量每個(gè)變量在回歸中所起的作 用大?。从绊懗潭龋O(shè) 回S 是 p 個(gè)變量所引起的回歸平方和，1回S是 p1 個(gè)變量所引起的回歸平方和（即除去 ix ），則偏回歸平方和 iQ 為： 12 iQ = 回S 1回S =1pjjj bB?? *0pjjj bB??=iiicb2 （ 8） 就是去掉變量 ix 后，回歸平方和所減少的量。 模型的求解 食品安全涉及的總類過多，我們著重考慮蔬菜，肉類，水產(chǎn)品這三種類別的數(shù)據(jù)分析銷售地區(qū)對食品安全的影響。由于深圳市有 7個(gè)區(qū)，因此，將所有的銷售地點(diǎn)以區(qū)來劃分從而分析食品安全與銷售地點(diǎn)之間的關(guān)系。 2020 年第一季度與第二季度蔬菜，肉類，水產(chǎn)品因得知屬于哪個(gè)區(qū)而無 數(shù)據(jù)。 從搜集到蔬菜類的數(shù)據(jù)（附錄表 1）中，由于食品檢測受季節(jié)因素影響，蔬菜在 2020年第一季度， 2020 年第二季度， 2020 年第四季度， 2020 年第三季度，2020 年第三季度未受檢測，無法獲取相關(guān)數(shù)據(jù)。則將以上這些不納入考慮對象中，又由于 2020年第一季度與 2020年第四季度中有些地區(qū)的數(shù)據(jù)缺失，為減少誤差，也剔除 2020 年第一季度與 2020 年第四季度數(shù)據(jù)，且不考慮地區(qū) 74,xx 得到新的數(shù)據(jù)表（附錄表 2）。 通過 MATLAB（程序見附錄 1）作圖如下： 13 此時(shí)可見第 五 個(gè)點(diǎn)是異常點(diǎn)，于是刪除原始數(shù)據(jù)中第 五 行數(shù)據(jù)。 回歸方程的求解 由附表 1和所得的公式（ 7），運(yùn)用 MATLAB 進(jìn)行編程（程序見附錄 2） 則得到： 9 1 8 ,1 0 9 ,0,2 7 7 ,0 4 2 ,1 2 4 653210 ???????? bbbbbb P=0 回歸方程 6521 xxxxy ?????? 成立。 14 偏回歸平方和 iQ 的比較 各因素的 偏回歸平方和： ix 1x 2x 3x 5x 6x iQ （ 310?? ） 0 根據(jù) iQ 的大小可判斷各 地區(qū) 對 蔬菜類食品安全 的影響程度： 31526 xxxxx ???? 判斷各地區(qū)蔬菜合格率的趨勢通過如下折線圖： 肉類 從搜集到肉類的數(shù)據(jù)（附錄表 3）中，由于食品檢測受季節(jié)，銷售的地址不夠具體等因素影響，肉類在 2020 年第一季度， 2020 年第二季度， 2020 年第四季度， 2020 年第三季度， 2020 年第三季度無法獲取相關(guān)數(shù)據(jù)。則將以上這些不納入考慮對象中，又由于 2020 年第三季度光明新區(qū)的數(shù)據(jù)缺失，為減少誤差，也剔除該區(qū)數(shù)據(jù)，即不考慮地區(qū) 7x 得到新的數(shù)據(jù)表（附錄表 4）。 通過 MATLAB（程序見附錄 3）作圖如下： 15 回歸系數(shù) 回歸系數(shù)估計(jì)值 回歸系數(shù)置信區(qū)間 b0 [ ] b1 [ ] b2 0 [0 0] b3 [ ] b4 0 [0 0] b5 [ ] b6 [ ] R2= F= p= S2= 16 由于 P=,則 回歸方程 y=+++ 不成立。 水產(chǎn)品 水產(chǎn)品的數(shù)據(jù)不完整度高，無法使用多元線性回歸的方法來求回歸方程。則使用折線圖來表示 2020 年第三季度， 2020 年第一季度， 2020年第三季度， 2020年第二季度， 2020 年第四季度都合格率分布和走勢。 模型的 分析 食品安全 通 常和很多因素有關(guān)，但它們之間并不是確定性關(guān) 系，所以我們用回歸分析來處理，并建立了多元線性回歸模型。用最小二乘的方法給出了變量間相關(guān)關(guān)系的回歸方程，針對各因素對食品安全的影響我們與偏回歸平方和聯(lián)系起來，并將各因素的影響程度進(jìn)行了排序。在討論蔬菜類中，由于 不考慮地區(qū) 74,xx ，僅考慮其他五個(gè)地區(qū)對食品安全的影響，得出 食品安全指標(biāo)（ y ）與所屬地區(qū)福田區(qū) （ 1x ），羅湖區(qū)（ 2x ），南山區(qū)（ 3x ），寶安區(qū)（ 5x ），龍崗區(qū)（ 6x ）有關(guān)。且對食品安全的影響程度由深至淺的排列為龍崗區(qū)（ 6x ），羅湖區(qū)（ 2x ），寶安區(qū)（ 5x ），福田區(qū) （ 1x ），南山區(qū)（ 3x ）。 而在肉類的討論中， 不考慮地區(qū) 7x 僅考慮其他 6個(gè)地區(qū)對食品安全的影響，無法得出 食品安全指標(biāo)（ y ）與所屬地區(qū)福田區(qū) （ 1x ），羅湖區(qū)（ 2x ），南山區(qū)（ 3x ），寶安區(qū)（ 5x ），龍崗區(qū)（ 6x ）有關(guān)，從而無法確定是否該地區(qū)與食品安全狀況存在線性關(guān)系。 在水產(chǎn)品的討論中，數(shù)據(jù)的局限性導(dǎo)致模型無法建立，無法判斷水產(chǎn)品的安全問題與銷售地區(qū)之間的線性關(guān)系。 因此，初步得出食品安全與銷售地區(qū)之間無明顯關(guān)系。再觀察其他類別的食品的安全狀況與銷售地區(qū)之間的關(guān)系， 只有部分類別的食品與地區(qū)之間存在線性關(guān)系，大部分類別的食品與地區(qū)之間并無多大關(guān)系。因此，可 以說，食品安全的情況與銷售地區(qū)無關(guān)。 但是，觀察食品合格率的走勢能很好得起到提高檢測效率和監(jiān)督的作用。因此，通過對折線圖的分析，來預(yù)測蔬菜，肉類，水產(chǎn)的未來趨勢。 此為蔬菜這三年的合格率折線圖： 17 %%%%%%%X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7蔬菜合格率折線圖2020 三2020 一2020 二2020 三2020 四 從圖可知，折線圖中蔬菜的合格率出現(xiàn)逐年增加的趨勢，每個(gè)地區(qū)的合格率都出現(xiàn)上升的現(xiàn)象，這說明食品檢測對蔬菜的合格率控制起到很大的作用。預(yù)測未來蔬菜的合格率應(yīng)該會持續(xù)在較高的水平。 此為肉類這三年的合格率折線圖： %%%%%%%X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7肉類合格率折線圖2020 一2020 二2020 四2020 一2020 二2020 四 預(yù)測對于肉類食品中羅湖區(qū)（ 2x ），寶安區(qū)（ 5x ），光明新區(qū) （ 7x ） 有明顯的合格率下降趨勢，因此，在未來的食品安全檢測中，應(yīng)著重這些地區(qū)肉制品的檢測，從而提高整體的合格率。 此為水產(chǎn)品這三年的合格率折線圖： 18 %%%%%%%X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7水產(chǎn)品合格率折線圖2020 三2020 一2020 三2020 二2020 四 剔除反常的點(diǎn)，水產(chǎn)品 的合格維持在 %%之間，但對于坐落于海邊的深圳來說，水產(chǎn)品是必不可少的，因此，仍須增強(qiáng)對水產(chǎn)品的檢測，防止不合格水產(chǎn)品大范圍流入市場。 季節(jié)因素 對于季節(jié)因素，我們 對多年的不同月份進(jìn)行采集數(shù)據(jù)整理一年數(shù)據(jù)來反映季節(jié)因素對食品質(zhì)量的影響 ，并通過數(shù)據(jù)處理用散點(diǎn)圖表示。 根據(jù)圖形可以用三次方程進(jìn)行擬合，圖形如下所示 ： (擬合程序 見附錄 ) 19 運(yùn)用 Matlab 軟件可以得到擬合直線方程 y=++ 此方程用于檢驗(yàn) 2020 年的原始數(shù) 據(jù)，誤差在合理范圍內(nèi)。從所建立的模型明顯看到 7,8,9,10 月份合格率較低，符合深圳市的氣候。深圳在 8,9， 10 月份氣溫極高微生物生長快，各種細(xì)菌瘋狂增長，食品腐爛快，保質(zhì)期短。 （三）問題三的分析與解答 生產(chǎn)基地 的合格率如下表： 由于數(shù)據(jù)有限，我們無法獲取 2020 年有關(guān)生產(chǎn)基地的相關(guān)數(shù)據(jù)，但從我們已知的這些數(shù)據(jù)中，我們很容易得到：對于生產(chǎn)基地的產(chǎn)品檢測抽樣中，水產(chǎn)品和禽畜產(chǎn)品這兩大類的產(chǎn)品合格率都高達(dá) 100%，而蔬菜的平均合格率也有%。另一方面，我們從蔬菜的合格率 分布情況可以看出：蔬菜的不合格都集中在每年的第四季度和次年的第一季度。因此，我們大膽猜測，蔬菜是由于氣候的原因而導(dǎo)致的不合格。在春冬季節(jié)里，氣溫低，蔬菜不易種植，導(dǎo)致蔬菜生產(chǎn)欠缺，因此很多農(nóng)民會選擇搭棚進(jìn)行栽培蔬菜。而這個(gè)季節(jié)里，雨水十分泛濫，使得很大一部分蔬菜直接爛在泥土里，同時(shí)害蟲活動頻繁，農(nóng)民們不得不選擇噴灑農(nóng)藥來消滅害蟲，因而導(dǎo)致這兩季度蔬菜的農(nóng)藥殘余大大增加。對于上述分析結(jié)果，我們可以通過減少抽檢水產(chǎn)品和禽畜產(chǎn)品的次數(shù)與頻率，從而減少抽檢費(fèi)用。另外，我們可以抽取部分減少的費(fèi)用來增加蔬菜的抽檢次數(shù)， 更好的反映蔬菜的質(zhì)量安全狀況，提高蔬菜的質(zhì)量水平。 對于問題一，我們得出的結(jié)論是：食品添加劑這一因素對食品安全的影響占領(lǐng)著絕大一部分的比例，而重金屬和微生物這兩因素對食品安全的影響相對于食品添加劑這個(gè)因素來較小。假設(shè)除了蔬菜及其制品，水產(chǎn)品，肉制品三類產(chǎn)品以外，其余的產(chǎn)品質(zhì)量安全都趨于穩(wěn)定且抽檢頻率為最優(yōu)。由于我們所考慮的食品中大部分產(chǎn)品屬于加工性的產(chǎn)品，而非初級產(chǎn)品，因此在食品保鮮上許多食品都加入了大量的添加劑使之保質(zhì)期延長。通過問題二的數(shù)據(jù)整理與分析，以及模型建立，我們可以得到：銷地和季節(jié)因素都會影響到 食品質(zhì)量安全，而季節(jié)因素是影響食品質(zhì)量安全的最主要的因素，但銷地對食品的影響只是對于部分產(chǎn)品。由問題二，我們得到了夏季食品的合格率偏低，由于夏季食品的保質(zhì)期較短，氣溫偏高，導(dǎo)致絕大一部分食品由于高溫產(chǎn)生變質(zhì)，從而許多加工商為了增長食品的 蔬菜 水產(chǎn)品 禽畜產(chǎn)品 2020第一季度 100% 100% 100% 2020第二季度 100% 100% 100% 2020第三季度 100% 100% 100% 2020第四季度 % 100% 100% 2020第一季度 % 100% 100% 2